1、1数学辅导讲义年级： 高一 授课类型 任意角的三角函数教学内容初中锐角的三角函数是如何定义的？在 中，设 对边为 ， 对边为 ， 对边为 ，锐角 的正弦、余弦、正切依次为RtABCaBbCcA,absincostnA角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。1三角函数定义在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ，它与原点的距离为P(,)xy，那么22(| 0)rxyxy（1）比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ；siniyr（2）比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ；来源:学科网 ZXXKxrcosx（3）比值 叫做 的正切，记作 ，即 ；y
2、xtantyx（4）比值 叫做 的余切，记作 ，即 ；ycotty（5）比值 叫做 的正割，记作 ，即 ；rxsecrx（6）比值 叫做 的余割，记作 ，即 ycsy2说明： 的始边与 轴的非负半轴重合， 的终边没有表明 一定是正角或负角，以及 的大小，只表明与 的x终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角 ，六个比值不以点 在 的终边上的位置的改变而改变大小；(,)Pxy当 时， 的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标 都等于 ，所以 与()2kZy 0tanyx无意义；同理，当 时， 与 无意义；secrx()kZxcoycsry除以上两种情况外，对于确定的值 ，比值
3、、 、 、 、 、 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、rx正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域:Zxxk.Com例 1：已知角 的终边经过点 ，求 、 、 。(2,3)Psincotan函 数 定 义 域 值 域sinyR1,cotay|,2kZR3例 2：求下列各角的三个三角函数值：（1） ；（2） ；（3） 023三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值 对于第一、二象限为正（ ） ，对于第三、四象限为负（ ） ；yr0,yr0,yr余弦值 对于第一、四象限为正（ ） ，
4、对于第二、三象限为负（ ） ；x,x ,x正切值 对于第一、三象限为正（ 同号） ，对于第二、四象限为负（ 异号） yx,y,ysin ，cos ，tan 在各个象限的符号如下：44.同角三角函数基本关系式：（1）平方关系： （2）商数关系：1cossin22cosintaZk,2例 3：确定下列三角函数值的符号：（1） ；（2） ；（3） ；（4） cos50sin()4tan(672)1tan31.已知角 的终边上一点 ，且 ，求 的值。(3,)Pm2sin4cos,in2.已知 且 ，sin0ta（1）求角 的集合；（2）求角 终边所在的象限；（3）试判断 的符号。2tan,sico25
5、3.化简 10sin10sinco22当角的终边上一点 的坐标满足 时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。(,)Pxy21xy1单位圆：圆心在圆点 ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。O2有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。3三角函数线的定义：6设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P ，过 作 轴的垂线，垂足Ox (,)xyx为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 .M(1,0)AT来源:学科网由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向
6、线段 ，于是有,OMxPy， ，sin1yMPrcos1xrtaATxO我们就分别称有向线段 为正弦线、余弦线、正切线。,A（）（）（）（）7说明：三条有向线段的位置：正弦线为 的终边与单位圆的交点到 轴的垂直线段；余弦线在 轴上；正切线在过单位xx圆与 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。x三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向 垂足；正切线由切点指向与 的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线段凡与 轴或 轴同向的为正值，与 轴或 轴反向的为负值。xyxy三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
7、例 1：利用单位圆写出符合下列条件的角 的范围。来源:学科网x（1） ； （2） ； （3） 且 1cos2x；1sin2x1cos20,sinx（4） ； （5） 且 |co|inxta1.若 0，则点 Q(cos ，sin )位于第_象限 22.已知角 的终边过点 P ，则 sin cos _231，83.若角 的终边过点 P(2sin 30，2cos 30)，则 _4.若ABC 中，cos Acos B0，则此三角形的形状是_ 5.若 sin A ，且 A 是三角形的一个内角，则 _45 5sin A 815cos A 76.已知下列三角函数，其中函数值为负的有（ ）sin(-680)
8、cos(-730) tan320 sin(-130)cos850A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个7.角 的终边有一点 P（a,a）(a0),则 sin 的值是（ ）A. 2 B.- 2 C. 2 D.18.函数 y= xcossin的定义域是( )A.k+ 2,(2k+1) （kZ） B.2k+ 2,(2k+1) （kZ）C.k+ ,(k+1) （kZ） D.2k,(2k+1) （kZ）9.已知 为第二象限角，其终边上一点为 P（x, 5）,且 cos= 42x,则 sin 的值为（ ）A. 410 B. 46 C. 42 D.- 1010.y= xxtan|cos|sin| 属
9、于（ ）A.1，-1 B.-1，1，3 C.-1，3 D.1，311.已知 为第三象限角，且|cos 2|=-cos ,则角 2属于（ ）9A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知 sinsin,那么下列命题成立的是（ ）A.若 、 是第一象限角，则 coscos B.若 、 是第二象限角，则 tantanC.若 、 是第三象限角，则 coscos D.若 、 是第四象限角，则 tantan13.已知角 的终边经过点 ，求 的正弦、余弦、正切值.(2,3)变式 1：已知角 的终边经过点 ，且 ，求 的值.),3(y54siny变式 2：已知角 的终边经过点 ，求 的正弦、余弦、正切值.)0(4,3a14.求值:（1） 125sin750si6co1470ssin（2） tan526i10
