1、 1函数零点问题的求解【教学目标】知识与技能：1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.过程与方法：1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理转化为函数问题进行解决.2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了学生的数学思想方法的应用.情感、态度与价值观:1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；2.让学生在自我
2、解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合.【教学过程】一、引例（1） 函数 e2xf的零点所在的一个区间是（ ） A. 2, B. 1,0 C. 0,1 D. ,2解法一:代数解法解：(1)因为 0e2f，1e0f，所以函数 x的零点所在的一个区间是 0,故选 C.二、 基础知识回顾1函数零点概念对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点yfx0fxxyfx22. 零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断一条曲线，并且yf
3、xa,b有 ，那么，函数 在区间 内有零点.即存在 ，使得0fabf, ca,b，这个 c 也就是方程 的根.fc0fx问题 1:函数 ,有 ,那么在 上函数1fx112,20ff2,有零点吗?f问题 2:函数 在区间 有零点吗?2()68fx1,3 0, 1,5引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?解法二:几何解法(1). e2xf 可化为 2xe画出函数 和 的图象，可观察得出 C 正确.xy函数零点、方程的根与函数图像的关系函数 有零点 方程 有实数根yFxfgx0Fxfgx函数 图像有交点.12,fy三、能力提升1.利用函数图像求函数零点问题例 1：（1）函
4、数 的零点有 （ ） lgcosfxxA4 个 B3 个 C2 个 D1 个432116 4 2 2 4y = x + 2y = ex0 xy108642245 10 15 20 25o y=cosxy=lgxyx3变式 1：若函数为 ，则有 个零点.lgcosfxx变式 2：若函数为 ，则有 个零点.解:由 ,可化为 ,画出 和 的图像,可得lgcos0fxxlgcosxlgyxcosx出 B 正确. 有 4 个零点, 有 6 个零点.f(2)函数 与 的图像在 有 个交点,1yx2sinx2,交点的横坐标之和为 解:函数 与 的图像在 有 8 个交点,因为图像都关于 点对1yx2sinx2
5、,41,0称,故交点的横坐标之和为 4.（3）:若关于 的方程 有两个不同的实数根,求 的取值范围.2a0aa解 1:设 ,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2,yx有两个不同的实数根. 与 的图像，当 时，在第一象2axy21限平行，第二象限有一个交点，当 时只有一个交点在第二象限，当 时有两个交1aa点，故 .1解 2:设 ,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2,yxa有两个不同的实数根.只有当 的斜率小于 1 时有两个交点，即2a axy12， .21O654321126 4 2 2 4 6 8xy5432112344 2 2 4 6 8 10y = g(x)
6、y = 1x 1y = sin2x xyo42.利用零点性质求参数的取值范围探究： 在 上有三个零点，求a的取值范围.32()69fxxR解：由 得213(4)3()1xx令 ，得 或 ， ,()0fx0f得 13在 ， 上单调递增，在()f,)(,)上单调递减,，()=(1)40fxfa极 大 值 43极 小 值.40a变式1：方程 在 上有实32690xa2,4数解，求a的取值范围.解：由方程 在 上有实数32,解，即 69xa由 的图像可得：32fx04a变式2： 在 上有实数解，求a的取值范围.3290xa,4解1：由 ， .2,2x136,2变式3：若不等式 在 上恒成立，求a的取值
7、范围.3290a,4解：转化为 恒成立问题，即 得 .(),1x min9(),13x,6a54321128 6 4 2 2 4Oyx6.565.554.543.532.521.510.50.515 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8A xoy4.543.532.521.510.50.511.522.6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7xoy5四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用
8、可以有效解决和零点相关的问题.课后练习:1. 已知函数 的周期为 2，当 时 ，那么函数 的图yfx1,x2fxyfx象与函数 的图象的交点共有 （ ）lgA10 个 B9 个 C8 个 D1 个2 已知函数 若方程 有且只有两个不相等的实210(),)()xfffxa数根，则实数 a 的取值范围是( )(A)（-，0 (B)(-,1)(C)0,1 (D)0,+)3.若函数 3()fx有 3 个不同的零点,则实数 a的取值范围是 （ ）A.2, B. 2, C.,1 D.,4若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=( )（A） （B）3 （C
9、） （D）45275. 已知 a 是实数，函数 aaxf32，如果函数 xfy在区间 1,上有零点，求 a 的取值范围. 6. 已知 是函数 的一个极值点3x2()ln(1)0fxax（）求 ；a（）求函数 的单调区间；()f（）若直线 与函数 的图像有 3 个交点，求 的取值范围yb()yfxb7.设 为实数，函数 a32()fa（）求 的极值；x6（）当 在什么范围内取值时，曲线 与 轴仅有一个交点a()yfx8.已知函数 ，其中 是的导函数.31, 5fxagfafx（）对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围；0gx（）设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与直线2myf只有一个公共点3y
