1、启 蒙 师第 1 页 共 4 页函 数 零 点 的 求 法 及 零 点 的 个 数题 型 1： 求 函 数 的 零 点 。例 1 求 函 数 22 23 xxxy 的 零 点 .解 题 思 路 求 函 数 22 23 xxxy 的 零 点 就 是 求 方 程 022 23 xxx 的 根解 析 令 3 22 2 0x x x ， 2( 2) ( 2) 0x x x ( 2)( 1)( 1) 0x x x ， 1 1 2x x x 或 或即 函 数 22 23 xxxy 的 零 点 为 -1， 1， 2。反 思 归 纳 函 数 的 零 点 不 是 点 ， 而 是 函 数 函 数 ( )y f x
2、 的 图 像 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 ， 即 零 点 是 一 个 实 数 。题 型 2： 确 定 函 数 零 点 的 个 数 。例 2 求 函 数 f(x)=lnx 2x 6的 零 点 个 数 .解 题 思 路 求 函 数 f(x)=lnx 2x 6的 零 点 个 数 就 是 求 方 程 lnx 2x 6=0的 解 的 个 数解 析 方 法 一 ： 易 证 f(x)= lnx 2x 6在 定 义 域 (0, ) 上 连 续 单 调 递 增 ，又 有 (1) (4) 0f f ， 所 以 函 数 f(x)= lnx 2x 6只 有 一 个 零 点 。方 法 二 ： 求 函 数 f(x)
3、=lnx 2x 6的 零 点 个 数 即 是 求 方 程 lnx 2x 6=0的 解 的 个 数即 求 ln6 2y xy x 的 交 点 的 个 数 。 画 图 可 知 只 有 一 个 。反 思 归 纳 求 函 数 )(xfy 的 零 点 是 高 考 的 热 点 ， 有 两 种 常 用 方 法 ： （ 代 数 法 ） 求 方 程 0)( xf 的 实 数 根 ； （ 几 何 法 ） 对 于 不 能 用 求 根 公 式 的 方 程 ， 可 以 将 它 与 函 数 )(xfy 的 图 像 联 系 起 来 ， 并 利 用 函 数 的 性 质 找 出 零 点 。题 型 3： 由 函 数 的 零 点
4、特 征 确 定 参 数 的 取 值 范 围例 3 (2007广 东 )已 知 a是 实 数 ,函 数 axaxxf 322 2 ,如 果 函 数 xfy 在 区 间 1,1 上 有 零 点 ，求 a的 取 值 范 围 。解 题 思 路 要 求 参 数 a 的 取 值 范 围 ， 就 要 从 函 数 xfy 在 区 间 1,1 上 有 零 点 寻 找 关 于 参 数 a 的 不 等 式（ 组 ） ， 但 由 于 涉 及 到 a作 为 2x 的 系 数 ， 故 要 对 a进 行 讨 论解 析 若 0a , ( ) 2 3f x x ,显 然 在 1,1 上 没 有 零 点 , 所 以 0a .令
5、24 8 3 8 24 4 0a a a a , 解 得 3 72a 当 3 72a 时 , y f x 恰 有 一 个 零 点 在 1,1 上 ; 当 05111 aaff ， 即 1 5a 时 ， y f x 在 1,1 上 也 恰 有 一 个 零 点 。 当 y f x 在 1,1 上 有 两 个 零 点 时 , 则启 蒙 师第 2 页 共 4 页 2 08 24 4 011 121 01 0aa aaff 或 2 08 24 4 011 121 01 0aa aaff 解 得 5a 或 3 52a 综 上 所 求 实 数 a的 取 值 范 围 是 1a 或 3 52a 。反 思 归 纳
6、 二 次 函 数 、 一 元 二 次 方 程 和 一 元 二 次 不 等 式 是 一 个 有 机 的 整 体 ， 也 是 高 考 热 点 ， 要 深 刻 理 解它 们 相 互 之 间 的 关 系 ， 能 用 函 数 思 想 来 研 究 方 程 和 不 等 式 ， 便 是 抓 住 了 关 键 . 二 次 函 数 2( )f x ax bx c 的 图 像 形 状 、 对 称 轴 、 顶 点 坐 标 、 开 口 方 向 等 是 处 理 二 次 函 数 问 题 的 重 要 依据 。考 点 3 根 的 分 布 问 题例 5 已 知 函 数 2( ) ( 3) 1f x mx m x 的 图 像 与 x
7、轴 的 交 点 至 少 有 一 个 在 原 点 的 右 侧 ， 求 实 数 m 的 取 值范 围解 题 思 路 由 于 二 次 函 数 的 图 象 可 能 与 x轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 应 分 情 况 讨 论解 析 （ 1） 若 m=0， 则 f（ x） = 3x+1， 显 然 满 足 要 求 .（ 2） 若 m 0， 有 两 种 情 况 ：原 点 的 两 侧 各 有 一 个 ， 则 01 04)3(21 2mxx mm m 0；都 在 原 点 右 侧 ， 则 ,01 ,023 ,04)3(21 21 2mxx mmxx mm 解 得 0 m 1， 综 上 可 得 m （ ，
8、1 。反 思 归 纳 二 次 方 程 根 的 分 布 是 高 考 的 重 点 和 热 点 ， 需 要 熟 练 掌 握 有 关 二 次 方 程 ax2+bx+c=0（ a0） 的 根的 分 布 有 关 的 结 论 ： 方 程 f（ x） =0的 两 根 中 一 根 比 r大 ， 另 一 根 比 r小 af（ r） 0. 二 次 方 程 f（ x） =0的 两 根 都 大 于 r .0)( ,2 ,042rfa rab acb 二 次 方 程 f（ x） =0在 区 间 （ p， q） 内 有 两 根 .0)( ,0)( ,2 ,042pfa qfa qabp acb 二 次 方 程 f（ x）
9、=0在 区 间 （ p， q） 内 只 有 一 根 f（ p） f（ q） 0， 或 f（ p） =0， 另 一 根 在 （ p， q）内 或 f（ q） =0， 另 一 根 在 （ p， q） 内 . 方 程 f（ x） =0的 两 根 中 一 根 大 于 p， 另 一 根 小 于 q（ p q） .0)( ,0)(qfa pfa（ 二 ） 、 强 化 巩 固 训 练1、 函 数 2 2 1f x mx x 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 的 零 点 ， 则 实 数 m的 取 值 范 围 是 （ ） 。启 蒙 师第 3 页 共 4 页A ,1 ； B ,0 1 ； C ,0 0,1 ；
10、D ,1解 析 B； 依 题 意 得 （ 1） 0)0( 04)2(0 2f mm 或 （ 2） 0)0( 04)2(0 2f mm 或（ 3） 04)2(0 2 mm 显 然 （ 1） 无 解 ； 解 （ 2） 得 0m ； 解 （ 3） 得 1m又 当 0m 时 12)( xxf ， 它 显 然 有 一 个 正 实 数 的 零 点 ， 所 以 应 选 B。2、 方 程 22 3x x 的 实 数 解 的 个 数 为 _ 。解 析 2； 在 同 一 个 坐 标 系 中 作 函 数 xy )21( 及 32 xy 的 图 象 ， 发 现 它 们 有 两 个 交 点故 方 程 22 3x x 的
11、 实 数 解 的 个 数 为 2。3、 已 知 二 次 函 数 2 2( ) 4 2( 2) 2 1f x x p x p p ,若 在 区 间 1， 1 内 至 少 存 在 一 个 实 数 c,使 f(c)0,则 实 数 p的 取 值 范 围 是 _。解 析 ( 3， 23） 只 需 2(1) 2 2 9 0f p p 或 2( 1) 2 1 0f p p 即 3 p 23或 21 p 1. p ( 3, 23)。4、 设 函 数 3 21( )2 xy x y 与 的 图 象 的 交 点 为0 0( , )x y ， 则 0x 所 在 的 区 间 是 （ ） 。A.(0,1) B.(1,2
12、) C.(2,3) D.(3,4) 答 案 B。5、 若 方 程 2 ( 2) 2 1 0x k x k 的 两 根 中 ,一 根 在 0和 1之 间 ,另 一 根 在 1和 2之 间 ,求 实 数 k的 取 值 范 围 。解 析 1 22 3k ； 令 12)2()( 2 kxkxxf ， 则 依 题 意 得 0)2( 0)1( 0)0(fff ， 即 012424 01221 012 kk kkk ， 解 得 1 22 3k 。（ 三 ） 、 小 结 反 思 ： 本 课 主 要 注 意 以 下 几 个 问 题 ： 1 利 用 函 数 的 图 象 求 方 程 的 解 的 个 数 ； 2 一
13、元 二 次 方程 的 根 的 分 布 ； 3 利 用 函 数 的 最 值 解 决 不 等 式 恒 成 立 问 题 。补 充 题 ： 1、 定 义 域 和 值 域 均 为 -a,a (常 数 a0)的 函 数 y=f(x)和 y=g(x)的 图 像 如 图 所 示 ， 给 出 下 列 四个 命 题 中 ：(1) 方 程 fg(x)=0有 且 仅 有 三 个 解 ； (2) 方 程 gf(x)=0有 且 仅 有 三 个 解 ；(3) 方 程 ff(x)=0有 且 仅 有 九 个 解 ； (4)方 程 gg(x)=0有 且 仅 有 一 个 解 。那 么 ， 其 中 正 确 命 题 的 个 数 是 （
14、 )。 A 1; B. 2; C. 3; D. 4。解 析 B； 由 图 可 知 ， )( aaxf ， ， )( aaxg ， ， 由 左 图 及 fg(x)=0得a a xyyf(x) Oaa a a xy yg(x)O aa启 蒙 师第 4 页 共 4 页2)( 1 aaxxg ， ， 02)( 2 ，axxg ， 2)( axg ， 由 右 知 方 程 fg(x)=0有 且 仅 有 三 个 解 ， 即 (1)正 确 ；由 右 图 及 gf(x)=0 得 )2()( 0 aaxxf ， ， 由 左 图 知 方 程 gf(x)=0有 且 仅 有 一 个 解 ， 故 (2)错 误 ； 由 左
15、图 及 ff(x)=0得 2)( 1 aaxxf ， ， 02)( 2 ，axxf ， 2)( axf ， 又 由 左 图 得 到 方 程 ff(x)=0最多 有 三 个 解 ， 故 (3)错 误 ； 由 右 图 及 gg(x)=0得 )2()( 0 aaxxg ， ， 由 右 图 知 方 程 gg(x)=0有 且 仅 有一 个 解 ， 即 (4)正 确 ， 所 以 应 选 择 B2、 已 知 关 于 x的 二 次 方 程 2 2 2 1 0x mx m 。(1)若 方 程 有 两 根 ,其 中 一 根 在 区 间 ( 1， 0)内 ， 另 一 根 在 区 间 (1， 2)内 ， 求 m的 范
16、 围 。(2)若 方 程 两 根 均 在 区 间 (0， 1)内 ， 求 m的 范 围 。解 析 (1)条 件 说 明 抛 物 线 2( ) 2 2 1f x x mx m 与 x轴 的 交 点 分 别 在 区 间 ( 1， 0)和 (1， 2)内 ， 画 出 示意 图 ， 得 65,21,21056)2( ,024)1( ,02)1( ,012)0( mm Rmmmf mff mf 2165 m .(2)据 抛 物 线 与 x轴 交 点 落 在 区 间 (0， 1)内 ， 列 不 等 式 组 10 ,0 ,0)1( ,0)0( mff .01 ,2121 ,21,21m mmmm 或(这 里 0 m1 是 因 为 对 称 轴 x= m 应 在 区 间 (0， 1)内 通 过 ) 即 解 得1 1 22 m 1,1 22m
