1、二次函数经典例题及答案1. 已知抛物线的顶点为 P（4， ），与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C，252其中 B点坐标为（1，0）。 （1）求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交 x轴于点 D，则在线段 AC上是否存在这样的点 Q，使得ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由y= x2+4x - ；存在点 Q1（-1，-4），Q 2（2 -9，- ），Q 3（- ，- ）析12 92 5132 54试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式 y=a（x+4） 2- ，然后把点 B的252坐标代入解析式求出 a的值，即可得解；
2、（2）先根据顶点坐标求出点 D的坐标，再根据抛物线解析式求出点 A、C 的坐标，从而得到 OA、OC、AD 的长度，根据勾股定理列式求出 AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出OAC 的正弦值与余弦值，再分AD=Q 1D时，过 Q1作 Q1E1x 轴于点 E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出 AQ1，再利用OAC 的正弦求出 Q1E1的长度，根据OAC 的余弦求出AE1的长度，然后求出 OE1，从而得到点 Q1的坐标；AD=AQ 2时，过 Q2作 Q2E2x 轴于点E2，利用OAC 的正弦求出 Q2E2的长度，根据OAC 的余弦求出 AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点 Q2的坐标；AQ
3、 3=DQ3时，过 Q3作 Q3E3x 轴于点 E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出 AE3的长度，然后求出 OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出 Q3E3的长度，从而得到点 Q3的坐标试题解析：（1）抛物线顶点坐标为（-4，- ），252设抛物线解析式为 y=a（x+4） 2-252抛物线过点 B（1，0），a（1+4） 2- =0，解得 a= ，252所以，抛物线解析式为 y= （x+4） 2- ， 即 y= x2+4x- ；252（2）存在点 Q1（-1，-4），Q 2（2 -9，- ），Q 3（- ，- ）理由如下：抛物线顶点坐标为（-4，- ），252点 D的坐标为（-4，0
4、），令 x=0，则 y=- ，令 y=0，则 x2+4x- =0，整理得，x 2+8x-9=0，解得 x1=1，x 2=-9，点 A（-9，0），C（0，- ），OA=9，OC= ，AD=-4-（-9）=-4+9=5，在 RtAOC 中，根据勾股定理，AC=sinOAC=cosOAC= ，AD=Q 1D时，过 Q1作 Q1E1x 轴于点 E1，根据等腰三角形三线合一的性质，AQ 1=2ADcosOAC=25 ，Q1E1=AQ1sinOAC= =4，AE1=AQ1cosOAC= =8，所以，OE 1=OA-AE1=9-8=1，所以，点 Q1的坐标为（-1，-4）；AD=AQ 2时，过 Q2作 Q
5、2E2x 轴于点 E2，Q2E2=AQ2sinOAC=5 = ，AE2=AQ2cosOAC=5 =2 ，所以，OE 2=OA-AE2=9-2 ，所以，点 Q2的坐标为（2 -9，- ）；AQ 3=DQ3时，过 Q3作 Q3E3x 轴于点 E3，则 AE3= AD= 5= ，所以，OE 3=9- = ，Q 3E3x 轴，OCOA，AQ 3E3ACO， ，即 ，解得 Q3E3= ，所以，点 Q3的坐标为（- ，- ），综上所述，在线段 AC上存在点 Q1（-1，-4），Q 2（2 -9，- ），Q 3（- ，- ），使得ADQ 为等腰三角形2. 如图，直线 y=x+3 与 x轴，y 轴分别交于 B
6、，C 两点，抛物线 y=x 2+bx+c经过B，C 两点，点 A是抛物线与 x轴的另一个交点（1）求 B、C 两点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPAB =SCAB ，若存在，求出 P点坐标，若不存在，请说明理由 1）B（3，0）C（0，3）（2）此抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3（3）存在这样的 P点，其坐标为 P（0，3），（2，3）（1+ ，3）或（1 ，3 ）试题分析：（1）已知了过 B、C 两点的直线的解析式，当 x=0时可求出 C点的坐标，当 y=0是可求出 B点的坐标（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将 B、C 两点的
7、坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出 A点的坐标，由此可求出 AB的长，由于 SPAB =SCAB ，而 AB边为定值由此可求出 P点的纵坐标，然后将 P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 P点的坐标试题解析：（1）直线 y=x+3 经过 B、C当 x=0时 y=3当 y=0时 x=3B（3，0）C（0，3）（2）抛物线 y=x 2+bx+c经过 B、C b=2，c=3此抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3（3）当 y=0时，x 2+2x+3=0；x 1=1，x 2=3A（1，0）设 P（x，y）S PAB =SCAB 4|y|= 43y=3 或
8、y=3当 y=3时，3=x 2+2x+3x 1=0，x 2=2P（0，3）或（2，3）当 y=3 时，3=x 2+2x+3x 1=1+ ，x 2=1P（1+ ，3）或（1 ，3）因此存在这样的 P点，其坐标为 P（0，3），（2，3）（1+ ，3）或（1 ，3）3已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+2与 x轴的交点是 A（3，0）、B（6，0），与 y轴的交点是 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P（x，y）（0x6）是抛物线上的动点，过点 P作 PQy 轴交直线 BC于点Q当 x取何值时，线段 PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点 P，使OAQ 为直角三角形？若存在
9、，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由（1） 所求抛物线的函数表达式是 y= x2x+2（2）当 x=3时，线段 PQ的长度取得最大值最大值是 1（3）P（3，0）或 P（ ， ）或 P（ ， ）析试题分析：（1）已知了 A，B 的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式（2）QP 其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据 B，C 的坐标，用待定系数法求出那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于 PQ，x 的函数关系式，那么可根据函数的性质求出 PQ的最大值以及相对应的 x的取值（3）分三种情况进行讨论：当QOA=90时，Q
10、与 C重合，显然不合题意因此这种情况不成立；当OAQ=90时，P 与 A重合，因此 P的坐标就是 A的坐标；当OQA=90时，如果设 QP与 x轴的交点为 D，那么根据射影定理可得出 DQ2=ODDA由此可得出关于 x的方程即可求出 x 的值，然后将 x 代入二次函数式中即可得出 P 的坐标试题解析：（1）抛物线过 A（3，0），B（6，0）， ，解得： ，所求抛物线的函数表达式是 y= x2x+2（2）当 x=0 时，y=2 ，点 C 的坐标为（0，2）设直线 BC 的函数表达式是 y=kx+b则有 ，解得： 直线 BC 的函数表达式是 y= x+20x6，点 P、Q 的横坐标相同，PQ=y
11、 Qy P=（ x+2）（ x2x+2）= x2+ x= （x3） 2+1当 x=3 时，线段 PQ 的长度取得最大值最大值是 1解：当OAQ=90时，点 P 与点 A 重合，P（3，0）当QOA=90时，点 P 与点 C 重合，x=0（不合题意）当OQA=90时，设 PQ 与 x 轴交于点 DODQ+ADQ=90，QAD+AQD=90，OQD=QAD又ODQ=QDA=90，ODQQDA ，即 DQ2=ODDA（ x+2） 2=x（3x），10x239x+36=0，x 1= ，x 2= ，y 1= （ ） 2 +2= ；y2= （ ） 2 +2= ；P（ ， ）或 P（ ， ）所求的点 P 的
12、坐标是 P（3，0）或 P（ ， ）或 P（ ， ）4. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）经过 A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与 y轴交点为 C，其顶点为 D，连接 BD，点 P是线段 BD上一个动点（不与 B，D 重合），过点 P作 y轴的垂线，垂足为 E，连接 BE（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D的坐标；（2）如果 P点的坐标为（ ， ），PBE 的面积为 ，求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围.（1） ，D（ 1，4）；（2） （ ）解析试题分析：（1）本题需先根据抛物线 经过A（1，0）、B（3，0）两点，分别求出 a、b 的值，再代入抛物线即可求出
13、它的解析式（2）本题首先设出 BD解析式 ，再把 B、D 两点坐标代入求出 k、b 的值，得出 BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值试题解析：（1）抛物线 （ ）经过 A（1，0）、B（3，0）两点把（1，0）B（3，0）代入抛物线得： ， ，抛物线解析式为：， = ，顶点 D的坐标为（1，4）；（2）设直线 BD解析式为： （ ），把 B、D 两点坐标代入，得：，解得5. 如图，抛物线与 x轴相交于 B，C 两点，与 y轴相交于点 A，点 P（ ，）（a 是任意实数）在抛物线上，直线 经过 A，B 两点（1）求直线 AB的解析式；（2）平行于 y轴的直线 交直线 AB于点 D，交抛物线于
14、点 E直线 （0t4）与直线 AB相交 F，与抛物线相交于点 G若 FGDE34，求 t的值；将抛物线向上平移 m（m0）个单位，当 EO平分AED 时，求 m的值1) ；（2）1 或 3； 解析试题分析：（1）根据点 P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出 A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线 AB的解析式；（2）根据点 E（2，5），D（2，1），G（ ， ），F（ ， ），表示出 DE、FG，再由 FG：DE=3：4，可得出 t的值；设点 A（0，2+m），则点 E（2，5+m），作 AHDE，垂足为 H，在 RtAEH 中利用勾股定理求出 AE，根据 EO平分AED 及平行线的性质
15、可推出AEO=AOE，AO=AE，继而可得出 m的值试题解析：（1）P（ ， ）（a 是实数）在抛物线上，抛物线的解析式为 = ，当 时，即 ，解得 ， ，当 x=0时，y=2A（0，2），B（4，0），C（ ，0），将点 A、B 的坐标代入 ，得： ，解得： ，故直线 AB的解析式为 ；（2）点 E（2，5），D（2，1），G（ ， ），F（ ， ），DE=4，FG= = ，FG： DE=3：4， ，解得 ， 设点 A（0，2+m），则点 E（2，5+m），作 AHDE，垂足为 H， = ，即 AE= ，EO 平分AED，AEO=DEO，AOED，DEO=AOE，AEO=AOE，AO=AE，
16、即，解得 m= 6. 如图，二次函数 y= x2+bx+c的图象与 x轴交于 A（3，0），B（1，0），与 y轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A点出发，都以每秒 1个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点 C的坐标；（2）当 P，Q 运动 t秒时，APQ 沿 PQ翻折，点 A恰好落在抛物线上 D点处，请判定此时四边形 APDQ的形状并求说明理由（3）当点 P运动到 B点时，点 Q停止运动，这时，在 x轴上是否存在点 E，使得以A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E点坐标；若不存在，请说明理由（1）
17、y= x2 x4C（0，4）；（2）四边形 APDQ为菱形；（3）存在满足条件的点 E，点 E的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（1，0）或（7，0）解析试题分析：（1）将 A，B 点坐标代入函数 y= x2+bx+c中，求得 b、c，进而可求解析式及 C坐标（2）注意到 P，Q 运动速度相同，则APQ 运动时都为等腰三角形，又由 A、D 对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得 E大致位置，设边长为 x，表示其他边后利用勾股定理易得 E坐标试题解析：（1）二次函数 y= x2+bx+c的图
18、象与 x轴交于 A（3，0），B（1，0）， ，解得 ，y= x2 x4C（0，4）（2）四边形 APDQ为菱形理由如下：如图，D 点关于 PQ与 A点对称，过点 Q作，FQAP 于 F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形 AQDP为菱形（3）存在如图 1，过点 Q作 QDOA 于 D，此时 QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0）AB=4，OA=3，OC=4，AC= =5，当点 P运动到 B点时，点 Q停止运动，AB=4，AQ=4QDOC， ， ，QD= ，AD= 作 AQ的垂直平分线，交 AO于 E，此时 AE=EQ，即AEQ 为
19、等腰三角形，设 AE=x，则 EQ=x，DE=ADAE= x，在 RtEDQ 中，（ x） 2+（ ） 2=x2，解得 x= ，OAAE=3 = ，E（ ，0）以 Q为圆心，AQ 长半径画圆，交 x轴于 E，此时 QE=QA=4，ED=AD= ，AE= ，OAAE=3 = ，E（ ，0）当 AE=AQ=4时，1当 E在 A点左边时，OAAE=34=1，E（1，0）2当 E在 A点右边时，OA+AE=3+4=7，E（7，0）综上所述，存在满足条件的点 E，点 E的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（1，0）或（7，0）7.如图，已知抛物线 与 x轴的一个交点为 A（-1，0），另一个交点为 B，与
20、y轴的交点为 C（0，-3），其顶点为 D，对称轴为直线 （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为 y轴上的一个动点，当ACM 是以 AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将OBC 沿 x轴向右平移 m个单位长度（0m3）得到另一个三角形EFG，将EFG 与BCD 重叠部分的面积记为 S，用含 m的代数式表示 S（1） ；（2）M 的坐标为 ， ；（3） 解析试题分析：（1）抛物线与 x轴的一个交点为 A（-1，0），对称轴为直线，得到抛物线与 x轴的另一个交点为 B（3，0），把 A、B、C 的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；（2）当 AC=AM时 C、M 关于 x轴对称，
21、得到 M ；当 AC=CM时，AC= ，以 C为圆心，AC 为半径作圆与 y轴有两个交点，为 M 或 M ；（3）分别求出直线 BC、BD 的解析式，分两段计算重叠的面积： ，试题解析：（1）由题意可知，抛物线 与 x轴的另一个交点为B（3，0），则， ，解得 ，故抛物线的解析式为： ；（2）当 AC=AM时 C、M 关于 x轴对称，得到 M ；当 AC=CM时，AC= ，以 C为圆心，AC 为半径作圆与 y轴有两个交点，为 M 或 M ；所以，点 M的坐标为 ， ， ； （3）记平移后的三角形为EFG设直线 BC的解析式为 y=kx+b，则： ，解得： ，则直线 BC的解析式为 ，OBC 沿
22、 x轴向右平移 m个单位长度（0m3）得到EFG，易得直线 FG的解析式为 设直线 BD的解析式为 y=kx+b，则： ，解得 ，则直线 BD的解析式为 ，连结 CG，直线 CG交 BD于 H，则 H（ ，-3）在OBC 沿 x轴向右平移的过程中，当 时，如图 1所示设 EG交 BC于点 P，GF 交 BD于点 Q，则 CG=BF=m，BE=PE=3m，联立 ，解得 ，即点 Q（3m ，-2m），= = 当 时，如图 2所示设 EG交 BC于点 P，交 BD于点 N，则 OE=m，BE=PE=3m，又因为直线 BD的解析式为，所以当 x=m时，得 y=2m6，所以点 N（m，2m-6）= =
23、=，综上所述，8. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x轴交于点 A（2，0）和点 B（6，0），与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 轴交于点 M ，在对称轴上存在点 P，使CMP 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标（3）设点 Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点 Q满足 最大时，求出 Q点的坐标（4）如图，若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时 E点的坐标（1）y=- x2-2x+6；（2）P（-2， ）或 P（-2， 2 ）或 P（-2，-2 ）或 P（-2，12）；（3）当 Q
24、在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）最大值为 ；E 坐标为（-3， ）解析试题分析：（1）将点 A（2，0）和点 B（-6，0）分别代入 y=ax2+bx+6，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出 a、b 的值，进而得到抛物线的解析式；（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为 x=-2，再求出 M点的坐标，由于 C是抛物线与 y轴的交点，因此 C的坐标为（0，6），根据 M、C 的坐标求出 CM的距离然后分三种情况进行讨论：CP=PM；CM=MP；CM=CP；（3）由抛物线的对称性可知 QB=QA，故当 Q、C、A 三点共线时，|QB-QC|最大，连结 AC并
25、延长，交对称轴于点 Q，利用待定系数法求出直线 AC的解析式，再将 x=-2代入，求出 y的值，进而得到 Q点的坐标；（4）由于四边形 BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE分割成规则的图形进行计算，过 E作 EFx 轴于 F，四边形 BOCE的面积=三角形 BFE的面积+直角梯形 FOCE的面积直角梯形 FOCE中，FO 为 E的横坐标的绝对值，EF 为 E的纵坐标，已知 C的纵坐标，就知道了 OC的长在三角形 BFE中，BF=BO-OF，因此可用 E的横坐标表示出 BF的长如果根据抛物线设出 E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE的面积与 E的横坐标的函数
26、关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE的最大值及对应的 E的横坐标的值即可求出此时 E的坐标试题解析：（1）由题知：，解得： ，故所求抛物线解析式为：y=- x2-2x+6；（2）抛物线解析式为：y=- x2-2x+6，对称轴为 x= ，设 P点坐标为（-2，t），当 x=0时，y=6，C（0，6），M（-2，0），CM 2=（-2-0） 2+（0-6） 2=40当 CP=PM时，（-2） 2+（t-6） 2=t2，解得 t= ，P 点坐标为：P 1（-2， ）；当 CM=PM时，40=t2，解得 t=2 ，P 点坐标为：P 2（-2，2 ）或 P3（-2，-2 ）；当 CM=CP时，
27、由勾股定理得：40=（-2） 2+（t-6） 2，解得 t=12，P 点坐标为：P 4（-2，12）综上所述，存在符合条件的点 P，其坐标为 P（-2， ）或 P（-2，2 ）或 P（-2，-2）或 P（-2，12）；（3）点 A（2，0）和点 B（-6，0）关于抛物线的对称轴 x=-2对称，QB=QA，|QB-QC|=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，则连结 AC并延长，与直线 x=-2相交于点 Q，即点 Q为直线 AC与直线 x=-2的交点，设直线 AC的解析式为 y=kx+m，A（2，0），C（0，6）， ，解得 ，y=-3x+6，当 x=-2时，y=-3（-2）+6=12，故当
28、Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）过点 E作 EFx 轴于点 F，设 E（n，- n2-2n+6）（-6n0），则 EF=- n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n ，S 四边形 BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF= （n+6）（ -n2-2n+6）+ （6- n2-2n+6）（-n）=- n2-9n+18=- （n+3） 2+ ，所以当 n=-3时，S 四边形 BOCE最大，且最大值为此时，点 E坐标为（-3， ）9. 如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线 ，与 y轴负半轴交于C点，与 x轴交于 A、B 两点，其中 B点的坐标为（3，0），且 OBO
29、C（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P是直线 AG下方的抛物线上一动点，当点 P运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P点的坐标和APG 的最大面积.（3）若平行于 x轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点（其中点 M在点 N的右侧），在 x轴上是否存在点 Q，使MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由（1） ；（2）P 点的坐标为 ， 的最大值为 ；（3）Q（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（1，0）解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为 ，根据已知得到 C（0，3），A（1，0），代入得到方程组
30、，求出方程组的解即可；（2）过点 P作 y轴的平行线与 AG交于点 F，求出点 G的坐标（2，3），设直线 AG为 ，代入得到 ，求出方程组的解得出直线 AG为，设 P（x， ），则 F（x，x1），PF ，根据三角形的面积公式求出APG 的面积，化成顶点式即可；（3）存在根据 MNx 轴，且 M、N 在抛物线上，得到 M、N 关于直线 x=1对称，设点M为（m， ）且 m1，得到 MN=2（m1），当QMN=90，且 MN=MQ时，由MNQ 为等腰直角三角形，得到 ，求出 m的值，得出点 M和点 Q的坐标；当QNM=90，且 MN=NQ时，同理可求点 Q的坐标，当NQM=90，且 MQ=NQ
31、时，过 Q作 QEMN 于点 E，则 QE= MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点 Q的坐标试题解析：（1）设抛物线的解析式为 ，由已知得：C（0，3），A（1，0）， ，解得 ，抛物线的解析式为 ；（2）过点 P作 y轴的平行线与 AG交于点 Q，由 ，令 x=2，则 y=3，点 G为（2，3），设直线 AG为 ， ，解得： ，即直线 AG为，设 P（x， ），则 F（x，x1），PF ，当 时，APG 的面积最大，此时 P点的坐标为 ，（3）存在MNx 轴，且 M、N 在抛物线上，M、N 关于直线 x=1对称，设点 M为（ ， ）且 ， ，当QMN=90，且 MN=MQ时，M
32、NQ 为等腰直角三角形，MQMN 即 MQx 轴， ，即 或 ，解得 ， （舍）或 ， （舍），点 M为（ ， ）或（ ， ），点 Q为（ ，0）或（ ，0），当QNM=90，且 MN=NQ时，MNQ 为等腰直角三角形，同理可求点 Q为（ ，0）或（ ，0），当NQM=90，且 MQ=NQ时，MNQ 为等腰直角三角形，过 Q作 QEMN 于点 E，则 QE= MN， ，方程有解，由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点 Q为（1，0），综上所述，满足存在满足条件的点 Q，分别为（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ， 0）或（1，0）10在梯形 ABCD中，ADBC，BAAC，ABC = 45
33、 0，AD = 2，BC = 6，以 BC所在直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A在 y轴上.（1）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式；（2）求ADC 的外接圆的圆心 M的坐标，并求M 的半径；（3）E 为抛物线对称轴上一点，F 为 y轴上一点，求当 EDECFDFC 最小时，EF的长；（4）设 Q为射线 CB上任意一点，点 P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点 P、Q，使得以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADC 相似？若存在，直接写出点 P、Q 的坐标，若不存在，则说明理由. （1）由题意知 C（3，0）、A（0，3）如图 1，过 D作 x轴垂线，由矩形性质得
34、 D（2，3）由抛物线的对称性可知抛物线与 x轴另一交点为（1，0）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x3）将（0，3）代入得 a=1，所以 （2）由外接圆知识知 M为对称轴与 AC中垂线的交点由等腰直角三角形性质得 OM平分AOC，即 yOM=x，M（1，1）连 MC得 MC= ，即半径为 （3）如图 2，由对称性可知：当 ED+EC+FD+FC最小时，E 为对称轴与 AC交点，F 为 BD与 y轴交点，B=45，AOB=90，AO=BO=3，故 B点坐标为：（3，0），再利用 D（2，3），代入 y=ax+b，得：，解得： ，故 BD直线解析式为： ，当 x=0，y= ，根据对称轴为直
35、线 x=1，则 y=2，故 F（0， ）、 E（1，2），EF= = = （4）可得ADC 中，AD=2，AC= ，DC= 假设存在，显然QCP90，则QCP=45或QCP=CAD如图 3，当QCP=45时，OR=OC=3，则 R点坐标为（0，3），将 C，R 代入 y=ax+b得出：，解得： ，这时直线 CP的解析式为 y=x3，同理可得另一解析式为：y=x+3当直线 CP的解析式为 y=x3 时，则 ，解得： ，可求得 P（2，5），故 PC= = 设 CQ=x，则 ，解得：x= 或 x=15Q （ ，0）或（12，0）当 y=x+3 即 P与 A重合时，CQ=y，则 = ，即 = ，或
36、= ，解得 CQ=2或 9，故 Q （1，0）或（6，0）如图 4，当QCP=ACD 时，设 CP交 y轴于 H，连接 ED，则 EDAC，DE= ，EC= ，易证：CDECHQ，所以 = ，HO= 可求 HC的解析式为 联解 ，得 P ，PC= 设 CQ=x，知 ，x= 或 x= ，Q 或 同理当 H在 y轴正半轴上时，HC 的解析式为 P ，PC= ，CQ= 或 ，所以 Q 或 综上所述，P1（2，5）、Q1（ ，0）或（12，0）； P2（0，3）、Q2（1，0）或（6，0）；P3 、 Q3 或 ；P4 、Q4 或试题分析：（1）过 D作 x轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与 x轴另一交点为（1，0）再根据交点式即可求出过 A、D、C 三点的抛物线的解析式；（2）由外接圆知识知 M为对称轴与 AC中垂线的交点由等腰直角三角形性质可得 M点的坐标，连 MC得 MC= ，即为半径；（3）由对称性可知：当 ED+EC+FD+FC最小时，E 为对称轴与 AC交点，F 为 BD与 y轴交点，再根据待定系数法求出 BD直
