1、1、定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函cbaxy,(2)0ayx数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数 的性质：2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴；y y（2）函数 的图像与 的符号关系：当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点。a（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 。 （P21-y2axy）（ 012）3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线。cbxy24、二次函数 用配方法可化成： 的形式，akhxay2其中 。kh42，5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ；
2、 ； ； ；2axyxy22hxaykhxay2。cb6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；00相等，抛物线的开口大小、形状相同。a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 。 （P23-9,10）yhxyx7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的a开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是bacxacbaxy4222 ，对称轴是直线 。 （P26-9），（ cab42b（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线
3、的解析式化为 的形式，得到khxay2顶点为( , )，对称轴是直线 。hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。9、抛物线 中， 的作用（P29-例 2,1,10）cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样。2xya（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线 的对称轴是直b cbxy2线。，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称ax0b0a轴在 轴左侧； （即 、 异号）时
4、，对称轴在 轴右侧。yaby（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置。ccxy2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcycbxay2yc ，抛物线经过原点； ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负c0c0cy半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 。0ab10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2xy（ 轴）0xy（0,0）ka（ 轴） (0, )khh( ,0)hxy2 x( , )cba当 时0a开口向上当 时开口向下 ab2( )abc422，11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-
5、12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51- 例、P54-16）（1）一般式： 。已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式。cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：1x2。21xay261 （ 用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，yabc x0x0函数的值是 0，因此 就是方程 的一个根。x0abc202. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根
6、的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。262 实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。例题讲解：一、选择题1由二次函数 ，可知（ ）2(3)1yxA其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 3xC其最小值为 D当 时， 随 的增大而增大13xy2、抛物线 的图象过原点，则 为（ ）122mxy mA、0 B、1 C、1 D、13.已知二次函数 ，它的顶点坐标为（ ）24()3A.（-2,3） B.（-2，-3） C.（2，-3） D.（2,3）4.对于二次函数 ， 和 ，下列说法正确
7、的是（ ）2yx213yxA.开口都向上，且都关于 y 轴对称 B. 开口都向上，且都关于 x 轴对称 C.顶点都是原点，且都关于 y 轴对称 D. 顶点都是原点，且都关于 x 轴对称 5抛物线 （ ）2yxA与 轴只有一个交点 B与 轴有两个交点 C在 轴上方 D在 轴下xx方6.无论 m 取何值，代数式 一定是（ ）247mA.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数二、填空题1.写出一个开口向下，顶点在 y 轴的二次函数解析式_.2.已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程2yxmx的解为 3.-120x3.已知抛物线与 与直线 的图像只有一个交点，则 到直线 的距231y
8、x:lyxbol离为_.4将抛物线 向上平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是 2yx5、将二次函数 的图象向下平移一个单位，则平移后的的解析式为 6、已知， 的对称轴是 ，则 的值是 13-2bxy1xb7.已知二次函数 ，当 x=_时，y 的值是 .0.443yxO 1第 8 题图8如图是抛物线 的一部分，其对称轴为直线 ，与 轴一交点为cbxay2 1xB（3，0） ，则由图象可知，不等式 的解集是 x302cbxa或 x-19若二次函数 ，当 时， 随 的增大而减2()1yxmxyx小，则 的取值范围是 m 110、已知抛物线 yax 2bx c 的图象如图所示， 则 y 随 x
9、的增大而减小的自变量 x 的取值范围是 方程 ax2bxc =0 的两个根是 三、解答题1、 （已知，二次函数的顶点是（4，-8） ，且过点（6,0）求此二次函数的解析式2、画二次函数 的图象34-2xy3、已知点 （ ， ）在抛物线 （ ）上，求当 时 的值。A132yax09yx解：4、已知抛物线过三点：（-1，-1 ） 、 （0，-2） 、 （1,1）.求抛物线所对应的二次函数的关系式.5. （本题满分 9 分）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如2yaxbcxy下表： x 1012y 048（1）根据上表填空： 抛物线与 轴的交点坐标是 和 ；x 抛物线经过点（ ， ） ；3
10、 在对称轴右侧， 随 增大而 ；y（2）试确定抛物线 的解析式。2axbc解：6、(8 分) 已知，二次函数 22kxy（1） 当 时，求函数图象与 轴的交点坐标。 （1.0） （2,0）3-k（2）命题“函数 的图象一定与 x 轴有两个交点” 是否正确，若正确22kxy请证明 ，若不正确，请举反例说明.7.抛物线 与 y 轴交于点（0,5） 2(1)yxm（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线顶点坐标；（3）画出这条抛物线（描五点即可） ；（4）根据图像回答：当 x 取什么值时，y 的值随 x 的增大而减小？当 x 取什么值时，y0？ （9 分）8 （本题满分 12 分） 已知关于 的方程
11、.x2(31)0mx（1）求证：不论 为任何实数，此方程总有实数根；m（2）若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，且 为正整数，231ymxx m试确定此抛物线的解析式；m=1（3）若点 ， 与 ， 在（2）中抛物线上（点 、 不重合)， P1(x)yQ1(xn)yPQ且 求代数式 的值. 12y24568解：9、 （11 分）如果一条抛物线 2=+0yaxbc与 x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）若抛物线 2-0yx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b的值；2（2）若 OAB是抛物线 2=-+0yxb的“抛物线三角形”，
12、是否存在以原点 O为对称中心的矩形 CD？若存在，求出过 OCD、 、 三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由10.如图 10，已知抛物线 经过点 C（0,3） ，它与 X 轴相交于 A,B 两点，抛2yxm物线的对称轴为直线 l 交 x 轴于点 E，D 为对称轴 l 上异于 E 的一个动点。（1）求点 A、B 的坐标； （2 分 A(-1,0 ) B（3,0）（2）求ADC 的周长的最小值，并求此时 D 的坐标； （5 分）D （1,2）11、 （10 分）26 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为，二次函数 的图象记为抛物线 （1）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过点 ，但不过点 ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可） （2）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过 两点，记为抛物线 ，如图，求抛物线的函数表达式（3）设抛物线 的顶点为 ， 为 轴上一点若 ，求点 的坐标（4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线 上是否存在点 ，使 为等腰三角形若存在，请判断点 共有几个可能的位置（保留作图痕迹） ；若不存在，请说明理由AyOCxBEl图 10
