1、1浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果 ，特别注意 a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2 acbaxy是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。)0,(2 cbaxy是 常 数 ，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法- 五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 与坐标轴的交点：cbxay2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两
2、个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例 1】 、已知函数 y=x2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（
3、1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时， y=0； y0知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（1）一般 一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）两根 当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 有实根02cbxa和 存在时，根据二次三项式的分解因式 ，二次函数 可转化为1x )(212 xcy两根式 。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xaya 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点 顶点式： 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我)0,()(2akhaxay是 常 数 ，们最好设顶点式，这样最简洁。2【例 1】 、抛
4、物线 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，且过（-1，16） ，求抛物线的解析式。cbaxy2【例 2】 、如图，抛物线 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2 ，0）和（-1，0）之间（包括这两点） ，顶点cbaxy2C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （或或=）（2）a 的取值范围是 【例 3】 、下列二次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A y = (x 2)2 + 1 B y = (x + 2)2 + 1 C y = (x 2)2 3 D y = (x + 2)2 3知识点三、二次函数的最值 如果自
5、变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时，abx2。abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在此范围内，21xab221x则当 x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范ab2abcy4最 值 21x围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时， ，当 时， ；如果在此2xcbxay2最 大 1cbxay12最 小范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当 时， 。11最 大 2x2最 小【例 1】 、已知二次函数的图像（0x3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下
6、列说法正确的是( )A有最小值 0，有最大值 3 B有最小值1,有最大值 0C有最小值1,有最大值 3 D有最小值1,无最大值【例 2】 、某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10的正整数倍) （1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式
7、；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?OO-1OxOy132 33知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；4当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A y = x2 B y = x C y = x D y = 34 1x【例 6】 、若二次函数 2()1m当 l 时， 随 的增大而减小，则 m的取值范围是（ ） A =l B l C l D ml知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线 y=ax2
8、+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式 ，再遵循左加右减，上加下减的的原则2yaxhk化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。 沿 轴平移：向上（下）平移 （m0）个单位， 变成cbxay2y cbxay2（或 ）mxcbxa2 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式：向左（右）平移 （m0）个单位， 变成cbay2 cbxay2（或 ）xx)()( cxbxay)()(2【例 1】 、将抛物线 2y向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是( )A ()x B x C 2()
9、yx D 2yx【例 2】 、将抛物线 y=x22x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_.【例 3】 、抛物线 y可以由抛物线 2平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位5【补】抛物线 y=2x2-3x-7 在 x 轴上截得的线段的长度为_【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为_知识点六、抛物线 中， a、b、c 的作用ay（1） 决定开口
10、方向及开口大小，这与 中的 完全一样.a2xy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故： 时，b cbxay2 abx20对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴y0abb0y右侧.口诀-左同，右异 （a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧）（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxy2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcba2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0cy0y以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .yab
11、【例 1】 、如图为抛物线 2yaxbc的图像， A、 B、 C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb0 Bb0 Cc0 Dabc0【例 3】 、如图所示的二次函数 2xc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） 240bac；（2） c1；（3）2 a b0 ）与双曲线 y= 4x交于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，则 2x1y27x 2y1 的值等于_3、如图，双曲线 )0(2xy经过四边形 OABC 的顶点 A、C，ABC90，OC 平分 OA 与 x轴正半 轴的夹角，AB x轴，将ABC 沿 AC 翻折后得到AB C ，B点落在 OA 上，则四边形 OABC 的面积是 .
