1、已知：抛物线 y= -x2 +2x +8交 X 轴于 A、B 两点（A 在 B 左侧） ，O 是坐标原点。 1、动点 P 在 X 轴上方的抛物线上（ P 不与 A、B 重合） ， D 是 OP 中点，BD 延长线交 AP于 E 问：在 P 点运动过程中，PE：PA 是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。 2、在第1问的条件下，是否存在点 P，使PDE 的面积等于1 ？ 若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 解：1.y= -x2 +2x +8=-(x-4)(x+2) 所以 OA=2 OB=4 自己画图,由面积等于底*高/2. 可以知道 PE:EA=SPDE:SADE 由于 P
2、D=OD,那么 SPDE=SODE 所以 PE:EA=SODE:SADE 由图可知ODE 和ADE 同底, 则 SODE:SADE=两三角形高之比 OG:AH 显然BAH 和BOG 相似,那么 OG:AH=OB:AB=2:3 所以 PE:EA=2:3 那么 PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值 2.设 P 点为 (X,Y) PE：PA=2:5 所以 SPDE=(2/5)*SPDA SAOP=Y*2/2=Y SAOD=Y/2(因为 D 是 OP 中点 ) 所以 SADP=SAOP-SAOD=Y/2 则 SPDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5 当 SPDE=1时 Y=5 对应 X=-1或2
3、 则 P 点坐标为(-1,5)或(2,5) 2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？ 解：先建立直角坐标系 设隧道横截面抛物线的解析式为 y=ax 平方 +6 当 x=6时，y=0，a=1/6 解析式是 y=1/6 x 的平方+6 当 x=6-2=4时，y=3/10 因为顶部与。 。 。 。有1/3的空隙 所以只能达到3米 （这题是要你看清题目中的条件，函数最重要的就是定义域，一定要准确把握定义域的范围）3.平面直角坐标系中
4、，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（ 6，0 ） ， （6，8） 。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作 NPBC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。 （1）P 点的坐标为（ ， ） ；（用含 x 的代数式表示） （2）试求 MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。 （3）请你探索：当 x 为何值时，MPA 是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。 （1） （6x , 4/3 x ）; (2)设MPA 的面积为 S，在M
5、PA 中，MA=6 x，MA 边上的高为 x，其中，0x6.S= （6 x） 4/3 x= (x 的平方+6x) = - 2/3 (x3)的平方+6 S 的最大值为6, 此时 x =3. (3)延长 NP 交 x 轴于 Q，则有 PQOA 若 MPPA PQMA MQQA x. 3x=6, x=2; 若 MPMA ，则 MQ6 2x，PQ= 4/3x，PMMA6x 在 RtPMQ 中， PM2MQ 方PQ 方 (6x)的平方=(62x)的平方+ ( 4/3x)的平方x= 108/43 若 PAAM， PA5/3 x，AM6x 5/3 x=6x x= 9/4 综上所述，x=2，或 x= 108/
6、43，或 x=9/4 。【例1】平时同学们在跳长绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线。如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，则学生丁的身高为（如图建立的平面坐标系）( )（A）1.6米（B）1.625米（C）1.63米（D）1.64米【解】设所求函数的解析式为 y=ax2+bx+c，由已知条件知，函数的图像过(-1，1) 、(0，1.5)、(3 ，1)三点，将三点坐标代入，易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为1.5，代入其解析式可求得
7、其纵坐标为1.625。故丁的身高为1.625米，答案为 B。【例2】 （东阳卷）如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面1米的 A 处飞出（A 在 y 轴上） ，运动员乙在距 O 点6米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取）运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？（取）【解】 再向前跑10米。【例3】 （兰州卷）如图，某公路隧道横截面为抛物线，
8、其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米。现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系。直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB 使 C,D 点在抛物线上， A,B 点在地面 OM 上，则这“支撑架”总长的最大值是多少？【解】M(12，0)，P(6，6)。设抛物线解析式为：y=a(x-6)2+6 抛物线 y=a(x-6)2+6经过点(0，0) ， 0=a(0-6)2+6，即 抛物线解析式为：设 A(m,0)，则 B(12-m,0)， “支撑架” 总长 AD+DC+CB = 此二次函数的图像开口向下 当 m=3米时，
9、有最大值为15米。【例4】 （重庆卷）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4 元/ 千克，且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数。请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份 y 与 x 的函数关系式，并求出5月份 y 与 x 的函数关系式；若4月份此种蔬菜的进价 m（元/ 千克）与周数 x 所满足的函数关系为 5月份此种蔬菜的进价 m（元/千克）与周数 x 所
10、满足的函数关系为试问4 月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜1000克的利润最大？且最大利润分别是多少？若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜。从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少 a，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a，若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出 a 的整数值。（参考数据：3721369，3821444，3921521，4021600，4121681）【解】4月份 y 与 x 满足的函数关系式为 y=
11、0.2x+1.8，把 x=1,y=2.8和 x=2,y=2.4分别代入：解得 b=-0.25,c=3.1，所以5月份 y 功能 x 满足的函数关系式为 y=-0.05x2-0.25x+3.1。设4月份第 x 周销售此种蔬菜1000克为 W1元，5月份第 x 周销售此种蔬菜1000克的利润为 W2元，W1 (0.2x+1.8)- =-0.05x+0.6， -0.05250时，购买一个需3500元，故 y13500x；所以，y2=500080%x=4000x 。当0x100时，y1=5000x5000001400000 ；当100x250时，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+9000001400000；所以，由3500x=1400000，得 x=400；由4000x=1400000，得 x=350。故选择甲商家，最多能购买400个路灯。
