1、第一章 1.5 1.5.1、2一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )Ayx 2 By |x|Cy Dyx1x解析： 由于函数 y 的定义域为(，0) (0，)，故其图象不是连续不断的曲1x线答案： D2当 n 很大时，函数 f(x)x 2 在区间 上的值可以用下列哪个值近似代替( )i 1n，inAf Bf(1n) (2n)Cf Df(0)(in)解析： 当 n 很大时，f(x )x 2 在区间 上的值可用该区间上任何一点的函数值i 1n，in近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替答案： C3对于由直线 x1，y 0 和曲线 yx 3
2、 所围成的曲边三角形，把区间 3 等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点 )是( )A B19 125C D127 130解析： 将区间0,1三等分为 ， ， ，各小矩形的面积和为 s10 3 30，13 13，23 23，1 13 (13) 3 .13 (23) 13 19答案： A4若做变速直线运动的物体 v(t)t 2 在 0t a 内经过的路程为 9，则 a 的值为( )A1 B2C3 D4解析： 将区间0，an 等分，记第 i 个区间为 (i1,2，n)，此区间长ai 1n ，ain为 ，用小矩形面积 2 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则an (ain) anSn 2
3、(122 2n 2) ，依题意得ni 1(ain) an a3n3 a33(1 1n)(1 12n) 9， 9，解得 a3.limn a33(1 1n)(1 12n) a33答案： C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5已知某物体运动的速度为 vt，t 0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_解析： 把区间0,1010 等分后，每个小区间右端点处的函数值为 n(n1,2，10)，每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值 S1(1210) 55.答案： 556求由抛物线 f(x)x 2，直线 x1 以及 x 轴所围成的平
4、面图形的面积时，若将区间0,15 等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为_解析： 由题意得S(0.1 20.3 20.5 20.7 20.9 2)0.20.33.答案： 0.33三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7求直线 x0，x 2，y 0 与曲线 y 所围成的曲边梯形的面积x23解析： 令 f(x) .x23(1)分割将区间0,2n 等分，分点依次为x00，x 1 ，x 2 ，x n1 ，x n2.2n 4n 2n 1n第 i 个区间为 (i1,2，n)，每个区间长度为 x .2i 2n ，2in 2in 2i 2n 2n(2)近似代替、求和取 i (i
5、1,2，n) ，2inSn x 2 2ni 1f(2in)ni 1(2in) 132n 83n2ni 1i (122 2n 2) 83n3 83n3nn 12n 16 .89(1 32n 12n2)(3)取极限 S Sn ，即所求曲边梯形的面积为 .limn lim n 89(1 32n 12n2) 89 898汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 svt .如果汽车做变速直线运动在时刻 t 的速度为 v(t)t 22( 单位：km/h)，那么它在 0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km) 是多少？解析： 分割：将时间区间0,1分为 n 等份，形成 n
6、个小区间 ti1 ，t i (i 1,2，n)，且每个小区间长度为 ti (i1,2，n) 汽车在每个时间i 1n，in 1n段上行驶的路程分别记作：s 1，s 2，s n.则显然有 s si.ni 1近似代替：当 n 很大，即 t 很小时，在区间 上，函数 v(t)t 22 的值变i 1n，in化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点 处的函数值 v i 1n (i 1n )22.从物理意义看，就是汽车在时间段 (i 1,2，n)上的速度变化很小，(i 1n ) i 1n，in不妨认为它近似地以时刻 处的速度 v 22 做匀速行驶，即在局部小范围i 1n (i 1n ) (i
7、1n )内“以匀速代变速” 于是sis iv t (i 1n ) (i 1n )2 21n 2 (i1,2，n) (*)(i 1n ) 1n 2n求和：由(*)得 sn s i tni 1ni 1v(i 1n )ni 1 (i 1n )21n 2n0 2 2 21n (1n) 1n (n 1n ) 1n 122 2(n1) 221n3 21n3n 1n2n 16 2.13(1 1n)(1 12n)取极限：当 n 趋向于无穷大，即 t 趋向于 0 时，sn 2 趋向于 s，从而有13(1 1n)(1 12n)s sn vlimn lim n ni 11n(i 1n ) .limn 13(1 1n
8、)(1 12n) 2 53 尖 子 生 题 库(10 分)求由直线 x1，x 2，y0 及曲线 yx 3 所围成的图形的面积(提 示 ：13 23 n3 12nn 12)解析： 分割如图所示，用分点 ， ， ，把区间1,2等分成n 1n n 2n n n 1nn 个小区间 ， ， ，1，n 1n n 1n ，n 2n n i 1n ，n in ，每个小区间的长度为n n 1n ，2x (i1,2,3，n)过各分点作 x 轴的垂线，把n in n i 1n 1n曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1，S 2， Sn.近似代替各小区间的左端点为 i，取以点 i 的纵
9、坐标 为一边，以小区间3i长 x 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积第 i 个小曲边梯形面积，1n可以近似地表示为 Si x 3 (i1,2,3，n) 3i (n i 1n ) 1n求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，即 S Si 3 .ni 1ni 1(n i 1n ) 1n取极限当分点数目越多，即 x 越小时，和式的值就越接近曲边梯形 ABCD 的面积 S.因此n，即 x 0 时，和式的极限，就是所求的曲边梯形 ABCD 的面积因为 3 (ni 1) 3ni 1(n i 1n ) 1n 1n4ni 1 (n1) 33(n1) 2i3( n1)i 2i 31n4ni 1 n(n1) 33(n1) 2 3(n1) (n1)(2n1) n2(n1) 2，1n4 nn 12 n6 14所以 S 3limn ni 1(n i 1n ) 1n1 1 .32 14 154
