1、【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课时作业 新人教版选修 2-2明目标、知重点1直观了解并掌握微积分基本定理的含义 2会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x) f(x)，那么 f(x)dx F(b) F(a)ba2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上 ， x 轴下方的面积为 S 下 ，则(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则 f(x)dx S 上ba(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则 f(x)dx S 下b
2、a(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时，如图(3)，则 f(x)dx S 上 S 下 ，ba若 S 上 S 下 ，则 f(x)dx0 .ba情境导学从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 f(x) x3非常简单，但直接用定积分的定义计算 x3dx 的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了10两个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一 微积分基本定理问题 你能用定义计算 dx 吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？211x思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y
3、y(t)，并且 y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t) y( t)设这个物体在时间段 a， b内的位移为 s，你能分别用 y(t)， v(t)表示 s 吗？答 由物体的运动规律是 y y(t)知： s y(b) y(a)，通过求定积分的几何意义，可得 s v(t)dt y( t)dt，ba ba所以 v(t)dt y( t)dt y(b) y(a)其中 v(t) y( t)ba ba小结 (1)一般地，如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x) f(x)，那么 f(x)badx F(b) F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼
4、茨公式(2)运用微积分基本定理求定积分 f(x)dx 很方便，其关键是准确写出满足 F( x) f(x)的baF(x)思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使 F( x) f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若 F( x) f(x)，则对任意实数 c， F(x) c F( x) c f(x)不影响，因为 f(x)dx F(b) c F(a) c F(b) F(a)ba例 1 计算下列定积分：(1) dx；(2) (2x )dx；(3) (cos xe x)dx.211x 31 1x2 0 解 (1)因为(ln x) ，1x
5、所以 dxln x| ln 2 ln 1ln 2.211x 21(2)因为( x2)2 x，( ) ，1x 1x2所以 (2x )dx 2xdx dx311x2 31 311x2 x2| |311x31(91)( 1) .13 223(3) (cos xe x)dx cos xdx exdx0 0 0 sin x| e x| 1.0 0 1e反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪训练 1 若 S1 x2dx， S2 dx， S
6、3 exdx，则 S1， S2， S3的大小关系为( )21 211x 21A S1 .21 2173所以 S20，所以 f(1)lg 10.又 x0 时， f(x) x 3t2dt x t3| x a3，a0 a0所以 f(0) a3.因为 ff(1)1，所以 a31，解得 a1.9设 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx ，则 f(x)的解析式为_10 10176答案 f(x)4 x3解析 f(x)是一次函数，设 f(x) ax b(a0)，则 f(x)dx (ax b)dx axdx bdx a b5， xf(x)dx x(ax b)dx (ax2)dx10 10 1
7、0 1012 10 10 10bxdx a b .1013 12 176由Error!得Error!10计算下列定积分：(1) (ex )dx；(2) (1 )dx；211x 91x x(3) (0.05e 0.05 x1 )dx；20(4) dx.211xx 1解 (1)(e xln x)e x ，1x (ex )dx(e xln x)| e 2ln 2e.211x 21(2) (1 ) x ，( x2 ) x ，x x x12 23 x (1 )dx( x2 )| .91x x12 23 91 1723(3)(e 0.05 x1 )0.05e 0.05 x1 ， (0.05e 0.05 x
8、1 )dxe 0.05 x1 | 1e.20 20(4) ，1xx 1 1x 1x 1(ln x) ，(ln( x1) ，1x 1x 1 dxln x| ln( x1)| 2ln 2ln 3.211xx 1 21 2111若函数 f(x)Error!求 f(x)dx 的值30解 由定积分的性质，知： f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx30 10 21 32 x3dx dx 2xdx10 21x 32 | x | |x4410 233221 2xln 232 14 432 23 8ln 2 4ln 2 .512 432 4ln 212已知 f(a) (2ax2 a2x)dx，
9、求 f(a)的最大值10解 ( ax3 a2x2)2 ax2 a2x，23 12 (2ax2 a2x)dx( ax3 a2x2)|1023 12 10 a a2，23 12即 f(a) a a2 (a2 a )23 12 12 43 49 29 (a )2 ，12 23 29当 a 时， f(a)有最大值 .23 29三、探究与拓展13求定积分 |x a|dx.3 4解 (1)当 a4 即 a4 时，原式 (x a)dx( ax)| 7 a .3 4x22 3 4 72(2)当4 a3 即3 a4 时，原式 ( x a)dx (x a)dx a 4 3 a( ax)| ( ax)|x22 a 4 x22 3 a 4 a8( 3 a )a22 a22 92 a2 a .252(3)当 a3 即 a3 时，原式 ( x a)dx( ax)|3 4x22 3 47 a .72综上，得 |x a|dxError!.3 4
