1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、选择题1定义在闭区间a，b 上的函数 yf (x)有唯一的极值点 xx 0，且 y 极小值 f(x 0)，则下列说法正确的是( )A函数 f(x)有最小值 f(x0)B函数 f(x)有最小值，但不一定是 f(x0)C函数 f(x)的最大值也可能是 f(x0)D函数 f(x)不一定有最小值 【答案】A【解析】函数 f(x)在闭区间 a，b上一定存在最大值和最小值，又 f(x)有唯一的极小值 f(x0)，则 f(x0)一定是最小值2函数 y2x 33 x212 x 5 在2,1上的最大值，最小值分别是 ( )A12 ，8 B1，8C 12，15 D5，16【
2、答案】A【解析】y6x 26x 12，由 y0x1 或 x2(舍去 )当 x2 时，y1；当x1 时，y 12；当 x1 时，y8.y max12，y min8.故选 A3已知 f(x) x2cosx，x1,1，则导函数 f(x)是( )A仅有最小值的奇函数B既有最大值又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值又有最小值的奇函数【答案】D【解析】求导可得 f(x)x sinx ，显然 f(x)是奇函数，令 h(x)f(x)，则 h(x) xsin x，求导得 h(x)1 cosx，当 x1,1时，h(x)0，所以 h(x)在1,1 上单调递增，有最大值和最小值所以 f(x)是既有最大值
3、又有最小值的奇函数4已知 fxxm()2632（m 为常数）在区间 2， 上有最大值 3，那么此函数在 ， 上的最小值为 （ ）A 5 B 1 C 9 D 37【答案】D【解析】令 2()620fxx，得 2x=或，当 0x时，0f，当 时， f，所以最大值在 0处取得，即 3fm，又 237,5f，所以最小值为 37.5函数 1fx，若对于区间3,2上的任意 x1，x 2，都有| f(x1)f (x2)|t，则实数 t 的最小值是( )A20 B18 C3 D0【答案】A【解析】 21fxx，所以 fx在区间 3,1， ,2上单调递增，在区间 (1,)上单调递减 39f， 2， f， 3f，
4、可知 2|fxf的最大值为 20，故 t的最小值为 20.6函数321(0),()e()axf在 2,上的最大值为 2，则 a 的取值范围是（ ）A 1ln2,) B.0,ln2 C.(,0) D. 1(,ln2【答案】D【解析】当 x时， 61fx，令 ,fx得 ，令 0fx，得10，则在 2,上的最大值为 2.欲使得函数 f在 2,上的最大值为 2，则当 x时， ea的值必须小于或等于 2，即 ea，解得 1(ln，故选D. 二、填空题7函数 ()exf在 上的最小值是_.1,【答案】 1【解析】 ()exf， ()0,()0fxfx，所以 ()fx在 1,0上单调递减，在 0,上单调递增
5、，从而函数 ex在 上的最小值是1,()e1f.8函数 f(x)x(1 x 2)在0,1上的最大值为_【答案】 39【解析】由题知 3fx，则 231fx，可得在区间 30,)上，0fx， f为增函数，在 (,1上， 0f， fx为减函数，故 fx在3处取得最大值 239.三、解答题9已知函数 2()lnfxabx， ,aR若 ()fx的图象在 1处与直线 12y相切（1 ）求 的值；b,（2 ）求 ()fx在 1,e上的最大值【解析】 （1） ()2afbx由函数 ()fx的图象在 1处与直线 12y相切，得()0,2f即0,12解得,.（2 ）由（1 ）得 ()lnfxx，定义域为 (0,
6、)，21(xfx，令()0fx，解得 1，令 ()f，得 1x所以 ()fx在 1,e上单调递增，在 1,e上单调递减，所以 ()f在 ,上的最大值为 ()2f10已知函数 ln,0fxaxR，(1)当 2a时，求函数 ()f的单调区间；(2)当 0时，求函数 x在 1,2上的最小值.【解析】(1)当 2a时， ()lnfx，则 12fx( 0)，令 10fx，得 12，令 f，得 .故函数 ()f的单调递增区间为 0,，单调减区间为 1,2. (2)由 ()lnfxa得 1()axfx，令 ()0f得 ，令 ()0f得 1a，()fx在 1,a上单调递增，在 ,上单调递减.当 ，即 时，函数 ()fx在区间1,2上是减函数, ()fx的最小值是 2lnfa. 当 1a，即 10a时，函数 ()fx在区间1,2上是增函数， ()fx的最小值是 f. 当 12a，即 1a时，函数 ()fx在 1,a上是增函数，在 1,2a是减函数又21ln2ffa，当 1ln2时, 0,a最小值是 1fa；当lna时,最小值为 lf. 综上，当 0ln2时, minxa；当 ln2时， minl2fxa.
