1、2019 届河南省罗山县高级中学高三上学期期中考试高三数学（文科）试题说明： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120分钟。2将第卷的答案代表字母填（涂）在第卷的答题表（答题卡）中第卷 （选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 U R ,集合 A x1 x 5， B x x 3，则 A C B （ ）UA 5,3 B ,3 C 1,3 D 0,32若复数 z 满足 (1i)z1 2i ，则 z 等于（ ）10 1 3 5A B C D2 2 2 23下
2、列函数中，既是偶函数，又在区间 0,1上单调递增的是（ ）xA y cos x B y sin x C y 1 D y x324在直角坐标系中，若角 的终边经过点 P( 3,1)，则 sin( ) （ ）1 3 1 3A B C D 2 2 2 25若向量 a (1,2) ， b (1,5) ， c (x,1) 满足条件 2a b 与 c 共线，则 x 的值为（A1 B 3 C 2 D 16学校组织学生参加英语测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是 ， ， ，80,100 ，20,40 40,60 60,80则学生平均成绩是（ ）A67 B68 C69 D70）高三 文科数学试题
3、 第 1 页（共 6 页）7下列有关命题的说法错误的是（ ）x xA若命题 p ： x R ， e 1，则命题 p： x R ， e003 B “ sin x ”的一个必要不充分条件是 “ x ”2 32 2C命题“若 a b ，则 am bm ”的逆命题是真命题D若“ p q ”为假命题，则 p 与 q 均为假命题8某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B2 C4 D81x 39设曲线 y 在点 (2,5)处的切线与直线 ax y 1 x 11 1A 4B C D 44 410如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入
4、的 a ， b 分别为 16，20，则输出的 a （ ）A0 B2 C4 D160 平行，则 a （ ）11在三棱锥 P是线段 BC ABC 中，PA上一动点，线段 平面 ABC，BACPM 长度最小值为 3120 ， AP，则三棱锥2 ，AB 2 ，MP ABC 的外接球的表面积是（ ）9AB 402C9 2 D 1812已知 F 为双曲线C ： x a2 y2 b2 2 1(a 0, b 0) 的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线，垂足为A 23 3A ，交另一条渐近线于点B 62B 若 OFC 2 FB ，则 C 的离心率是（D2）高三 文科数学试题 第 2 页（共 6 页）第
5、 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分213在平面直角坐标系xoy 中，抛物线 y16x 的焦点坐标为 .log x, x 0, 114已知函数 f (x) ，则 f f 9的值是 .3 x2 , x 0.x y 0,15已知 x ， y 满足约束条件 x y 2, 若 z ax y 的最大值为 4，则 a=y 0.16已知 ABC的三个内角 A，B，C的对应边分别为 a，b，c，且SABC 3 122a ，则使得2sin 2B sinC msin B sinC 成立的实数 m 的取值范围是 .三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第（一）必考题：共 60 分17 （本小题满分 12 分）已知公差不为 0 的等差数列22、23 题为选考题，考生根据要求作答a 满足 a 5 ， a 是 a 和 a 的等比中项 .n 2 4 1 13（1）求数列 an 的通项公式；（2）设数列 an的前 n 项和为 Sn ，求证： 1 1 1 3 S S S 41 2 n高三 文科数学试题 第 3 页（共 6 页）18 （本小题满分 12 分）在如图所示的四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，且DAB 60 ，DM PA ， PA PD AB 2， M 为 BC
7、 中点（1）求证：平面 PAD 平面 ABCD（2）求点 M 到平面 PBD 的距离；19 （本小题满分 12 分）郑汴一体化是依托郑州省会城市资源优势发展开封的省级战略，实施至今，取得了一系列的成就：两城电信同价，金融同城，郑开大道全线贯通，城际列车实行常态化运营. 随着郑汴一体化的深入推进，很多人认为郑州开封未来有望合并. 为了解市民对郑汴合并的态度，现随机抽查 55 人，结果按年龄分类统计形成如下表格：支持 反对 合计不足 35 岁 2035 岁及以上 30合计 25 55（1）请完成上面的2 2列联表，并判断是否有 99.5的把握认为市民对郑汴合并的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用
8、分层抽样的方法，从支持郑汴合并的两组市民中随机抽取 6人作进一步调查，从这 6 人中任选 2 人，求恰有 1 位“不足 35 岁” 的市民和 1 位“35岁及以上”的市民的概率附： K 2 n ad bc2a b c d a c b d n a b c dPK 2 k0 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.814 5.024 6.635 7.879 10.828高三 文科数学试题 第 4 页（共 6 页）20 （本小题满分 12 分）3已知椭圆的一个顶点 A0, 1 ，焦点在 x 轴上，离心率为 2（1）求椭圆的标准方程；（ 2）设直线
9、y kx m (k 0)与椭圆交于不同的两点 M , N 当 AM求 m 的取值范围.21 （本小题满分 12 分）x 2设函数 f ( x ) x e 1 ax1（ 1）若 a ，求 f ( x) 的单调区间；2（2）若当 x 0 时 f ( x ) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 AN 时，高三 文科数学试题 第 5 页（共 6 页）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，以直角坐标系原点 O 1 1x t, 2 2立极坐标系，已知直线 l
10、 的参数方程为 ( 3y t. 2为极点， x 轴正半轴为极轴建t 为参数) ，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos= 2sin .（1）求直线 l 的普通方程和曲线（2）已知定点 P( 12 ,0) ，设直线C 的直角坐标方程；l 与曲线 C 相交于 A, B两点，求 PA PB的值.23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) x a x 1 .（1）当 a 2 时，求不等式 f (x) 5 的解集；（2）若 x0 R ， f (x0 ) 2a 1 ，求实数 a 的取值范围.20182019 学年上期中考高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 12
11、小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A B A D B B C D C D A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. (4,0) 14. 1 4 15. 2 16. 2,4三、解答题：共 70 分a2 517. 解：（1）由题意可得 a4 2 a1 a13即a d 51(a 3d )2 a (a 12d ) 1 1 1由于 d 0 解得： a1 3, d 2 an 3 2(n 1) 2n 1数列 a 的通项公式为 a 2n 1. 6n nn(3 2n 1)（ 2）证明： S a a a 3 5 (2n
12、 1) n(nn 1 2 n 21 1 1 1 1 ( )S n(n 2) 2 n n 2n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( S S S 2 3 2 2 4 2 n 1 n 1 2 n n1 2 n1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )2 3 2 n 1 n 1 n 4 n 21 1 1 1 3 1 1 1 3 (1 ) ( ) 22 n 1 n 24 2 n1 n 24分 2)1 2 ) S S S 41 1 1 3 12 分1 2 n高三 文科数学答案 第 1 页（共 5 页）18. 解：（1）证明： 四边形ABCD 为菱形，且 DAB 6
13、0 BCD 为等边三角形，又 M 为 BC 中点又 BC / AD DMAD DM BC ，由题： DM PA ，且 PA AD A， DM PAD面DM又 面 ABCD ， 面 ABCD 面 PAD 6 分(2)取 AD 的中点 H ，连接 PH ， BH四边形 ABCD 为菱形，且 DAB PH AD ， BH AD ，60 ，PA PD AD ，平面 ADE 平面 ABCD ，平面 ADE 平面 ABCD AD ， PH 平面 ABCD ， EH BH ，PH BH 3 ，所以 PB 6 ， 1 6S 6 2 ( )2 2PBD2 2152 ，设 M到平面 PBD 的距离为h 1 1 3
14、 3， S BDM SBCD 4 ，2 2 4 2由 VPBDM VM PBD ，得 1 3 3 3 2 1 h 1532 ，解得15h 5 15M PBD即 点 到平面 的距离为 5 19. 解：（1）12 分支持 反对 合计不足 35 岁 20 5 2535 岁及以上 10 20 30合计 30 25 55高三 文科数学答案 第 2 页（共 5 页）255(20 20 10 5)2由公式 K 11.978 7.87930 25 25 3099.5%所以有 的把握认为市民对郑汴合并的态度与年龄有关 6 分m 6m（ 2）设所抽样本中有 个 “不足 35 岁 ”的市民，则 ，得 m 4人20
15、30所以样本中有 4 个“不足 35 岁”的市民，2 个“35 岁及以上”的市民，分别记作A , A , A , A , B , B ，从中任选 2 人的基本事件有 ( A , A ) , ( A , A ) , ( A, A ) , ( A , B )1 2 3 4 1 2 1 2 1 3 1 4 1 1( A , B ) ( A , A ) ( A , A ) ( A , B ) ( A , B ) ( A , A ) ( A , B ) ( A, B )1 2 , 2 3 , 2 4 , 2 1 , 2 2 , 3 4 , 3 1 , 3 2 ,( A , B ) ( A , B ) (
16、B , B ) 共 15 个4 1 , 4 2 , 1 2其中恰有 1 名 “不足 35 岁 ”和 1 名 “35 岁及以上 ”的市民的事件有 ( A , B ) ( A , B )1 1 , 1 2 ,( A , B ) ( A , B ) ( A , B ) ( A , B ) 共 8 个2 1 , 2 2 , ( A3 , B1) , ( A3 , B2 ) , 4 1 , 4 28所以恰有 1 名 “不足 35 岁 ”和 1 名 “35 岁及以上 ”的市民的概率为 P . 12 分152x220. 解：（ 1）依题意可设椭圆方程为 y 1 ，右焦点 F (c,0)2ac 3 2 2 2
17、 2由题设 ，1 c a 解得 c 3 a c 1 4a 22x2故所求椭圆的方程为 y 1 4 分4（ 2）设 P(x0 , y0 ) 为弦 MN 的中点，设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，y kx m 2 2 2由 x 2 2 得 (4k 1)x 8kmx 4(m 1) 0 ， y 1 48km 4(m2 1)直线与椭圆相交， x x x x 1 2 1 24k 2 1 4k 2 1 (8km)2 16(4k 2 1)(m2 1) 0 m2 1 4k 2 ， 6 分高三 文科数学答案 第 3 页（共 5 页） x0 kAPx1 x2 4km 从而2 4k 2 1y1
18、m 1 4k2 0x 4km0my kx m 0 0 24k 又 AM AN ,1，AP MN ，则2m 1 4k 1 即 3m 4k 12 ，4km k2把代入得m 3m 解得 0 m 3 ，3m 1 12由 得 k 0 解得 m 4 31m综上求得 的取值范围是 m 3 12 分31 121. 解：（ 1） a 时， f ( x ) x ( e x 1) x2 ， f ( x) e x 1 xe x x (e x 1)( x 1)2 2当 x , 1 时 f ( x) ;当 x 1, 0时， f ( x) 0 ;当 x 0, 时， f ( x) 0 故 f ( x) 在 , 1， 0, 单
19、调递增，在（-1，0）单调递减 6 分a a x（ 2） f ( x) x( x 1 ax)。令 g ( x) x 1 ax ，则 g ( x) e a 若 a 1 ，则当x 0, 时， g ( x) ， g ( x) 为减函数，而 g(0) 0 ，从而当 x0 时 g ( x) 0，即 f ( x) 0若 a ，则当 时， g ( x) ， g ( x) 为减函数，而 g(0) 0 ，x 0, ln a从而当 x 0, ln a 时 g ( x) 0，即 f ( x) 0 综合可得 a 的取值范围为 ,1 12 分2 cos22.解： (1)由 = 得 2 sin 2 2 cos ，所以曲线
20、 C 的直角坐标方程为 y 2 2xsin2 1 1x t 2 2直线 l 的参数方程为 3，消参可得 2 3x 2 y 3 0 5 分y t 2高三 文科数学答案 第 4 页（共 5 页）(2)直线l 的参数方程为 1 1x t 2 2 3y t 2(t 为参数) ，代入2y 2x ，得 23t 4t 4 0 ，设 A, B 两点对应的参数分别为 t 1 ,t2 ，则 t1 2所以 PA PB t t (t +t) 4t t1 2 1 2 1 223.解：（ 1）当 a 2 时， f ( x ) x 1 x 2t 2 43 ，83，4t t 1 2 310 分f ( x) 2 x 1 当 x
21、 2 时， ，令 f (x) 5 即 2x 1 5 ，解得 3 x 当2 x 1 时， f ( x) 3 ，显然 f (x) 5 成立，所以 2 x 1 ， 当x 1 时， f ( x ) 2 x 1，令 f (x) 5 即 2x 1 5 ，解得 1 x 2 ，综上所述，不等式的解集为 x 3 x 2 5 分（2） f (x) x a x 1 (x a) (x 1) a 1 ，因为 x R ，有 f (x) 2a 1 成立，所以只需 a 1 2a 1 ，0 02化简可得 a 2a 0 ，解得 0 a 2 ，a所以 的取值范围为 0,2 10 分2 ，页 19 第高三 文科数学答案 第 5 页（共 5 页）
