1、3.1.2复数的几何意义,1.复平面,实轴,虚轴,2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,bR) _.(2)复数z=a+bi(a,bR) _.3.复数的模(1)定义:向量 的_r叫做复数z=a+bi(a,bR)的模.(2)记法:复数z=a+bi的模记为_.(3)公式:|z|=|a+bi|=r=_(r0,rR).,复平面内的点Z(a,b),平面向量 (O为坐标原点),模,|z|或|a+bi|,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.()(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()(3)复数的模一定是正实数.(),【解析】(1)正确,根
2、据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误,根据虚轴的定义,y轴叫虚轴,而原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示的是实数,故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.(3)错误,复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数.答案:(1)(2)(3),2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若 (0，3)，则 对应的复数为_.(2)复数z=1-4i位于复平面上的第_象限.(3)复数 的模是_.,【解析】(1)由 (0，3)，得点Z的坐标为(0，3)， 所以对应
3、的复数为03i3i.答案：-3i(2)因为复数z=1-4i对应的点为(1,-4)，所以z=1-4i位于复平面上的第四象限.答案：四(3) 复数 i的模是答案：,【要点探究】 知识点1 复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,bR)可用点Z(a,b)表示.(2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.,(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.(4)象限内的点与复数的对应:第一象限的复数特点:实
4、部为正,且虚部为正;第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.,2.复数的几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点：复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).(2)复数与向量的对应：复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 相等的向量有无数个,【知识拓展】复平面上的点与复数一一对应(1)复数z=a+bi(a,bR)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a,bR)由复数相等的定义可知,可以由一
5、个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定.(2)有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2),它与平面直角坐标系中横坐标为3,纵坐标为2的点A,建立了一一对应的关系.,【微思考】(1)原点O在虚轴上,则数0是否也可以看作为虚数?提示:不可以.数0为实数,不是虚数.(2)实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?提示:任何一个复数z=a+bi(a,bR),都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应.,【即时练】下列有关复数概念的说法中正确的个数是()复数a+bi(a,bR)的
6、实部为a,虚部是b;两个虚数只能说相等或不相等,而不能比较大小;复平面上,实轴上的点都表示实数;复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的.A.1B.2C.3D.4,【解析】选D.复数a+bi(a,bR)的实部为a,虚部是b,满足复数的定义,正确;两个虚数只能说相等或不相等,而不能比较大小,只有两个复数是实数时,才能比较大小,正确;复平面上,实轴上的点都表示实数,满足复平面的基本性质,正确;复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的.满足复数与复平面的点的对应关系,正确.,知识点2 复数的模对复数模的三点说明(1)数的角度理解:复数a+bi(a,bR)的模|a+bi|=两个虚数不能
7、比较大小,但它们的模可以比较大小.(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.(3)特殊情形:如果b=0,那么z=a+bi(a,bR)是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).,【微思考】(1)复数的模可以等于该复数吗?提示:可以,当复数为正实数时就可以.(2)任意两个复数的模能比较大小吗?提示:复数的模为实数,故能比较大小.,【即时练】已知复数z的实部为1，虚部为2，则z=( )【解析】选A.由模的定义得,【题型示范】 类型一 复数与复平面内点的关系【典例1】 (1)(2014重庆高考)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复
8、平面的( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(mR)的对应点在虚轴上;在实轴负半轴上,分别求复数z.,【解题探究】1.题(1)中复数对应的点是什么？2.题(2)中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标是多少?【探究提示】1.是(-2,1).2.复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标是(m2-m-2,m2-3m+2).,【自主解答】 (1)选B.实部为-2,虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2,1)，位于第二象限,故选B.(2)若复数z对应点在虚轴上，则m2m20，
9、所以m1，或m2，此时，z6i，或z0.若复数z对应点在实轴负半轴上，则解得m1，所以z2.,【方法技巧】利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,bR)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.,【变式训练】已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第二象限,求实数x的取值范围.【解题指南】根据复数在复平面内对应点所在的象限,确定实部和虚部对应的不等式,由不等式组求出x的范围.【解析】复数x26x5(x2)i在复平面内对应
10、的点的坐标为(x26x5，x2)，因在第二象限，所以有故实数x的取值范围是2x5.,【误区警示】转化运算，提高运算速度把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，采用解析法解决复数问题，使“得满分，快得分”成为一种必然.,【补偿训练】设z=4m-1+(2m+1)i,mR,若z对应的点在直线x-3y=0上,求m的值.【解题指南】复数与复平面上的点一一对应,因此只要将实、虚部分别代入直线方程中的横、纵坐标,即可求解.【解析】因为复数z对应的点(4m-1,2m+1)在直线x-3y=0上,则4m-1-3(2m+1)=0,即4m-32m-4=0,2m=4或2m=-1(mR,舍去),所以m=2.,类型二
11、复数的模的应用【典例2】(1)设复数z=(x+1)+(x-3)i,xR,则|z|的最小值为()A.1B.2C.2D.4(2)复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若BAC是钝角,求实数c的取值范围.,【解题探究】1.题(1)中设z=a+bi(a,bR)则|z|等于多少？2.题(2)中复数z134i，z20，z3c(2c6)i对应点的坐标分别是多少？两点间的距离公式是什么？【探究提示】2.复数z134i，z20，z3c(2c6)i对应点的坐标分别是A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c6)，A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离公式,
12、【自主解答】(1)选C.据条件可得即|z|的最小值为,(2)在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c6)，由BAC是钝角，得cosBAC0，且A，B，C不共线，即|AB|2+|AC|2|BC|20.由两点间的距离公式，得25+(3c)2+(42c+6)2c2+(2c6)20，解得其中当c9时，此时A，B，C三点共线，故c9.所以c的取值范围是,【方法技巧】求解关于复数模最值问题的两种方法(1)转化为函数式求最值:将z=x+yi(x,yR)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x,y的函数表示出来，转化为函数最值问题.(2)数形结合求最值:因为复数和图形有着密切的关系，
13、可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.,【变式训练】设zC，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？(1)|z|4.(2)2|z|4.【解题指南】根据复数的模的几何意义判定复数z对应点的集合所构成的图形.,【解析】(1)复数z的模等于4，就是说，向量 的模等于4，所以满足条件|z|4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆 (2)22的解集是圆|z|2外部所有的点组成的集合，,这两个集合的交集就是不等式组 所表示的集合容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界,【补偿训练】设复数z的模为17，虚部为8，则复数z_.【解析】设
14、复数z=a-8i(aR)，由所以a2=225,a=15，z=158i.答案：158i,类型三 复数与复平面内向量的关系【典例3】(1)设O是原点，向量 对应的复数分别为23i,3+2i，那么向量 对应的复数是( )A.5+5i B.55i C.5+5i D.55i(2)(2014黄山高二检测)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2+i.如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量 对应的复数；如果中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.,【解题探究】1.题(1)中向量 对应复平面内点的坐标是多少，若知道A(x1,y1)，B(x2,y2)坐标，则向量 的坐标如何表示？2.题(2)中由向量
15、对应的复数为2+i，则点A的坐标是多少?【探究提示】1.因为向量 对应复数分别为23i,3+2i，所以复平面内点的坐标是(2,-3),(-3,2), =(2-(-3),-3-2).2.点A的坐标为(2，1).,【自主解答】 (1) 选D.向量 对应的复数分别为23i,3+2i，所以复平面内点的坐标是A(2,-3),B(-3,2),所以 =(5,5)，所以 对应的复数是55i.(2)设向量 对应的复数为z1=x1+y1i(x1，y1R),则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1).根据对称性可知：x1=2，y1=-1，故z1=2-i.设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x
16、2，y2R),则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2=-2，y2=-1，故z2=-2-i.,【方法技巧】数形结合,探思路(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|zz1|表示点Z到点Z1之间的距离.如|zi|=1表示点Z到点(0，1)之间的距离为1.,【变式训练】复数z34i对应的向量 所在直线的斜率为_【解题指南】先利用复数与向量的对应关系，确定出向量 的坐标，再利用直线的斜率公式求直线斜率.【解析】由z3
17、4i知， (3,4)，所以直线的斜率为答案：,【补偿训练】在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.【解析】在复平面内分别画出点Z1(1，1)，Z3(2,0)，Z4(2,2)，则向量 分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示,各复数的模为|z1|,【规范解答】求两复数对应向量的夹角 【典例】(12分)由已知两个向量a,b对应的复数分别是z13和z255i，求向量a与b的夹角【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:解题时不能转化成的形式:即不能利用复数、复平面上的点、向量间的一一对应关系进行相互转化导致不得分.失分点2:解题时由于知识遗忘不能得式:由于不能熟记向量的夹角公式,导致最多得6分.失分点3:解题时由于忽视向量夹角的范围,在解题过程中若忽视隐含条件,则会导致结论不确切而失去1分.,【悟题】提措施，导方向复数与复平面上的点，与向量的对应这种对应关系使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径,【类题试解】已知两向量a，b对应的复数分别是z13，z2 mi(mR)，且a，b的夹角为60，求m的值【解析】因为a，b对应的复数分别为z13，z2mi(mR)，所以a(3,0)，b（ m）又a，b的夹角为60，所以cos 60,
