1、20182019 学年上期中考高三理科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A C B B C A D C B B C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 1 14 5 8 15 135 164三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤n17解析 :（ ）因为 a1b1 a2 b2 . an bn (2n 1) 3 1a b 2,1 1所以 a b 24.2 2a b a b 26,1 1 2 2b
2、 2, b 8 a 1, a 3又 1 2 , 解得 1 2 ,a 32a 因为数列n 是以 1 为首项，以 a 为公比的等比数列，1n1a a 3所以数列n 的通项公式为 n ，an的前 n 项和1 3nS n 1 3 3 1n2 6 分n1（ ）由（ 1）知 an 3 及 a1b1 a2 b2 . an bn (2n 得 b1 3b2 . 3n 1bn (2n 1) 3n 1n 2 n1b 3b . 3 b (2n 3) 3 1当 n 2 时，1 2 n1 n 1 n13 b 4n 3 得，nb 4n所以 n 2 ， nb 2又当 n 1 时 ,1 ， 2, n 1,所以数列 bn的通项公
3、式为 bn 4 n, n 2.n1) 3 112 分高三 理科数学 第 1 页 （共 6 页）18解析：（1）证明：因为 AA1 AC 1，且 O 为 AC 的中点，所以 AO 1AC ,又因为 平面 AAC C1 1 平面ABC，平面 AAC C1 1平面 ABC =AC，又 AO 1 平面 AAC C1 1，所以 AO 1 平面ABC. 4 分（2）如图，以 O 为原点，由已知可得 O (0, 0, 0), A (0,OB 1, OC , OA 所在直线为 x 轴，0), B ( 3, 0, 0), A (0, 0, 3),1y 轴， z 轴建立空间直角坐标系C (0, 2, 3)，1所以
4、则有AB ( 3,1, 0), A B ( 3, 0, 1设平面 A BC的法向量为 n ( x,1 12 y 0, 取 x 1 ，得 n 3 x 3 z 0,3), A C (0, 2, 0)1 1y , z) ， (1, 0,1)， z CA11B1OA C yBAB n 3 6xcos AB, n | | AB | | n | 2 2 46A BC设直线 AB 与平面 所成角为 ，则 sin | cos AB, n | 1 1 46A BC所以设直线 AB 与平面 1 1所成角的正弦值为 12 分419解：（ 1）孙先生租用一次新能源分时租赁汽车，为 “路段畅通 ”的频率为 4 16 2
5、，50 52视频率为概率，孙先生租用一次新能源分时租赁汽车，为 “路段畅通 ”的概率为 5X 的所有可能取值为 0,1, 2, 3, 4 则 X2服从二项分布 B(4, 5) ，所以P ( X P ( X P ( X所以X2 30 0 40) C ( ) ( ) 4 5 52 2 32) C ( ) 2 ( )2 4 5 52 164 44) C ( ) 4 5 625的分布列为81 625216625； P ( X 1) C 41 ( 5 2 ) 1 ( 5 3 ) 3 216625 ； P ( X 3) C 4 3 ( 5 2 ) 3 ( 5 3 ) 1 625 96 ；X 0 1 2 3
6、 481 216 216 96 16P625 625 625 625 625高三 理科数学 第 2 页 （共 6 页）2 8X 的期望值为 E ( X ) np 4 8 分5 5t（2）孙先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间为 ，则4 16 18 10 2t 25 35 45 55 65 43（分钟），50 50 50 50 50每次上下班租车的费用约为 43 0.5 21.5 （元）一个月上下班租车总费用约为 21.5 2 22 946 （元），因为 946 1000 ，估计孙先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用2 220解析：（ 1）由已知得 c 1 ， a b1
7、3 33 : 1将点 ( 3, ) 代入椭圆方程，得 ，2 2a 4b22 2解得 a 4, b 3 ，2 2x y所以椭圆 C 的方程为 1 4 分4 312 分（2）当直线 AB 的斜率不存在时，易知 AB OM，|AB | 3,| OM | 2， SOAMB 1 | AB | | OM2 | 3 ；当直线 AB 的斜率存在时，可设直线 AB 的方程为 y kx m ，代入 x 2 y24 3 1 消去y ，得 2 2(3 4k ) x 8kmx 4m2 12 0 ，由 2 (8km) 2 2 4(3 4k )(4m 2 12) 48(4k 3 m2 ) 0 ，得4k 3 m2 2 0 ，
8、A( x , y ), B( x , y ), M ( x , y )设 ，则1 1 2 2 3 38kmx x , x x1 2 2 1 23 4 k由 OM OA OB ，得四边形 OAMB8kmx , y k所以3 2 33 4 k24 m 12 ，23 4kx 为平行四边形，且 36m( x x ) 2m 1 2 23 4kx1 x2 , y3 ，y1 y2 ，1 8km 1 6m因为点 M 在椭圆上，所以 ( ) 2 ( ) 2 14 3 4 k 2 3 3 4k 22 2化简，得 3 4k 4m 高三 理科数学 第 3 页 （共 6 页）2 2 2| AB | 1 k | x x
9、| 1 k ( x x ) 4x x1 2 1 2 1 22 2 24 3(3 4 k m ) 3 1 k 1 k 223 4 k | m | md 又原点到直线 AB 的距离为1 所以，四边形 OAMB 的面积为 S OAMB|，2k| m | 3 1 k 2 2 S d | AB | 3 OAB1 k 2 | m |综上，四边形 OAMB 的面积为 3 12 分21解：（1）方程h( x ) ln x令2f ( x ) x 7 x x (237x3x m 即为 ln x1, 3) ，则 h ( x 2x ) 7 x 31 2xxm73(3 x 1)(2 x 3)3x h( x)由 0，得
10、x 3 2 3 3 当 x (1, ) 时， h ( x) 0； h( x) 单调递增；当 x ( , 3)时， h ( x) 0； h( x) 单调递减2 24 3 5 3 4h (1) , h ( ) ln , h(3) 2 ln 3 又 3 2 4 2 35 3所以 h( x) 的取值范围是 2 ln 3, ln 4 25 3m所以 的取值范围是 2 ln 3, 4 ln 2 6 分x（ 2）令 F ( x) g ( x) f ( x) x e ln x x 1( x 0)，根据题意，得 a g ( x ) f ( x) 对 x (0, ) 恒成立，等价于 a F ( x)min 1 1
11、令 F ( x ) ( x 1) e x 1 ( x 1)(e x ) x x令 G ( x ) e 1 ( x 0) ，显然 G( x) 在 (0, ) 上递增xx1因为 G ( ) e 2 0, G(1) e 1 0 ，所以 G( x) 存在唯一的零点 c (0,1) ，2高三 理科数学 第 4 页 （共 6 页）且当所以x (0, c) 时， G ( x) 0 ， F ( x) 0 ；当 x (c, ) 时， G ( x)F ( x) 在 (0, c)上递减；在 (c, ) 上递增从而 F ( x ) F ( c )minc 1由于 G(c) 0，即 e ，所以 c ln c cF (
12、x ) F ( c) 0所以 ，min所以 a 0 ，即 a 的取值范围是 ( , 0 12 0 c分F ( x) ，c e ln c 0 c122.（1）将 2x 2 t 2 2y 1 2( t 为参数) 消去参数 tt直线 l 的普通方程为 x y 3 0 由 2 2 a cos( 4) ，得 2 2a (cos sin ) ，将 2 x 2 y 2 , x cos , y sin 代入上式，得 x 2 y 2 2ax 2ay ，2 2所以曲线 C 的直角坐标方程为 x y 2ax 2ay 0 5 分2 2 x , y(2)将直线 l 的参数方程代入 x y 2ax 2ay 0，消去 得t
13、 2t 5 6a 0 ，2设 M , N两点对应参数分别为 t ,t ，则 t t 2, t t 5 6a ，1 2 1 2 1 2因为 | MN |2| PM | | PN | ，所以 ( t t ) 2 5 | t t |， ( t t ) 2 4t t 5 | t t |1 2 1 2 1 2 1 2 1 25 2又 a ，所以 t t 0 ， 所以 ( t t ) t t 01 2 1 2 1 262 7从而 ( 2 ) (5 6a) 0 ，解得 a ，符合题意67所以 a 10 分6高三 理科数学 第 5 页 （共 6 页）23解：（1）当 a 0 时， f ( x ) | x 1
14、| | x 2 |2 x 3,1, 2 x2 x 3, xx 2, 1, 1，4 当 x 2 时，不等式 f ( x) 3x 1 ， 即 2 x 3 3 x 1， x ，矛盾，此时无解；5当 2 x 1 时，原不等式可化为 1 3 x 1，即 x 0 ，此时无解； 当 x 1 时，原不等式可化为 2 x 3 3 x 1，解得 x 2 ，综上所述，原不等式的解集为 x | x 2 5 分（ 2）当 x 1, a) 时， f ( x ) g ( x) 等价于 | x 2a 1| x 2 3 x 1 ，即 | x 2a 1| 2 x 1 ，所以 x 2 a 1 2 x 1 或 x 2 a 1 2 x 12a即 x 2 2a 或 x 对于 x 1, a) 恒成立32a 2所以 1 a 2 2 a 或 1 a ，解得 1 a 3 32综上所述： a 的取值范围是 ( 1, 10 分3高三 理科数学 第 6 页 （共 6 页）
