1、21.2 锐角的三角函数值一、教法设想：通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当A=30, A的 对 边斜 边 ?A=45, 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比A的 对 边斜 边 ?值都是 和 ，这是为什么呢？12由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角 A 取一个固定值，A 的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明 0 Cos x tg x B. tg x Cos x Sin x C. Cos x Sin x tg x D. tg x Sin x Cos x 思路分析： 45 Sin x Cos x 32 应选 D 解选择
2、题，采取特例法可出奇制胜，如本例取 x = 60在 45 0 )a 2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2 3 ABC 是直角三角形，且C= 90根据三角函数定义，可知：来源:xyzkw.ComSinAacktgAabk213,ABC 是直角三角形，且C= 90根据三角函数定义，可知：Sinacktgabk213,SinA + tg A 136 应选（A）对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数 K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较
3、方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”. 【思维体操】例 1. 已知 AD 是直角ABC 的斜边 BC 上的高，在ADB 及ADC 中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在 DB，DA 及 DC，DA 上，而两个正方形的第四个顶点 E，F 各在AB，AC 上，求证：AE= AF.揭示思路 1：设ABC= . 正方形 EMDG 与正方形 DNFH 的边长分别为 a , b AD = AG + DG = atg + a AD = AH + DH = bCtg+ba tg + a = b ctg+b ctgtctg()()11= bctg= AH.AEAFHacos,cosAE = A
4、F揭示思路 2：设 BC = a , 且ABC=，则有AB = a cosABEAEMSinGSinicosaAEcs()incs1soi同理： FacsnAE = AF由上两种思路证得 AE= AF， 可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，
5、取得新的成果. 现沿这思路继续扩散. 扩散一：如图，RtABC 中，有正方形 DEFG，D，G 分别在 AB，AC 上，E，F 在斜边 BC 上，求证：EF 2 = BEFC揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅. 在 RtBDE 中， tgBDE在 RtGFC 中， CGFB + C =90，tgB = tg(90 C) = ctgC EBtgctg1DE = GF = EFEF 2 = BECF扩散二：在ABC 外侧作正方形 ABDM 和 ACEN， 过 D，E 向 BC 作垂线 DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC = DF + EG提示思路：观察图形
6、可发现直角三角形 DFB及直角三角形 EGC. 便萌生用三角法证明，可是此时 DF，EG 比较分散. 设法作 AHBC 再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG 就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！在 RtEGC 中， SinEGb()90EG = b cos在 RtDBF 中，同理，DF = c cos（设 b, c , , 如图）EG + DF = b Cos + c cos在 RtABH 中，BH = c cos在 RtACH 中，CH = b cos来源:学优中考网BC = BH + CH , BC = b cos + c cosBC
7、= EG + DF扩散三：设顶角 A = 108的等腰三角形的高为h，A 的三等分线及其外角的四等分线分别为 P1，P 2，求证： 122Ph.揭示思路： 从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机. 如图，设ABC 的底边上的高 AH = h , A 的三等分线 AD= P1， A 的外角四等线AE = P2，BAC= 108，AB = AC，DAH = 18在 RtADH 中，cos18= p1 CAE = (180108)= 1814ACB = (180108)= 3612AEC = 18在 RtAHE 中，Sin18
8、= hp2hpP21222181cosin扩散四：已知：如BAC=90，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分别为D、E、F.求证： ABCEF3揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.设ABC = ，则DAF = CDF= ctgBEDctgCFctgFCtgtADEBEFCtgCBtAF23333()扩散五：在正方形 ABCD 中，AE 平分BAC 交 BC 于 E，交 OB于 F，求证：EC = 20F来源:xyzkw.Com揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地. BEF
9、= ACB + EAC = 45+BAEBFE= CAE, BEF = BFE, BE = BF进而可知 AD = DF设正方表 ABCD 边长为 1，又设BAE = CAE =来源:学优中考网则 OA= OB = 2在 RtABE 中，BE = ABtg= BFBF = OBOF = OB OAtgABtg= OB OAtgtgOBA211OF = OAtg= ( 1)2EC= BCBE = 11tg= 1 +1 = 2 = ( 1)2EC = 20F应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽
10、，柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路. 来源:学优中考网三、智能显示【动脑动手】1. 在 RtABC 中，C = 90，则 SinB + CosB 的值（ ）（A）大于 1 （B）小于 1（C）等于 1 （D）不确定2. 在ABC 中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB 是方程 4x2cx + 1 = 0 的两个根，求 a，b，c 及 SABC 3.证明：“从平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 向形外的任意直线 MN 引垂线AABBCCDD垂足是 ABCD（如下图）来源:学优中考网 xyzkw求证：AA + CC=BB +
11、 DD，现将直线 MN 向上移动，使得 A 点在直线的一侧，B、C、D 三点在直线的另一侧（如中图），这时，从 A、B、C、D 向直线 MN 作垂线，垂足为 ABCD，那么垂线放 AABBCCDD之间存在什么关系？如将直线 MN 再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）. 从 A，B，C，D 向直线 MN 作的垂线放AABBCCDD之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明. 揭示思路：1. 在 RtABC 中，C= 90由锐角三角函数定义，得SinBbcCosac,ba + b c SinBCosabc1SinB + CosB 1 , 应选 A.2. SinC = 1 ,
12、 C = 90SinA + CosB = ,SinA CosB = c44又 A + B = 90, B = 90ACosB = Cos(90A ) = SinA来源:学优中考网SinCosSinc214c = 4 , A= 30, a = 2 , b = 33. 猜想如下：来源:学优中考网对于中图有：CC AA= BB+ DD对于右图有：CC AA= DD BB证法 1. 如图,设AEA= ,则 AA= AESin= (OAOE)Sin= OASinOESin，又CC= CESin= (OC + OE ) Sin= (OA + OE ) Sin = OASin+ OESinCC AA= 2O
13、ESinOO= OESin, CC AA= 2OO由题设知，OO为梯形 BBDD 的中位线. BB+ DD= 2OOCC AA= BB+ DD（2）如图，仿（1）证法可得CC AA= 2OESinDDBB = 2OFSinOESin= OFSin, CC AA= DD BB证法二：（1）延长 CB 交 MN 于 E，设 AD 与 MN 交于 F， 又设AFA= ，则BEB= ，在 RtEBB中， SinBEBE= CE CBBB= BESin CBSin在 R tECC中，Sin= , CCC= CESinCC BB= BCSin在 RtAAF 与 RtFDD中.AA= AFSin, DD=
14、DFSinDF= AD AFDD= ADSin AFSinADD= ADSin AADD+ AA= ADSinAD= BC, CC BB= DD+ AACC AA= BB+ DD（2）仿证法（1）同样可证得CC+ BB= BCSinAA+ DD= ADSinCC+ BB= AA+DD，CC AA= DD BB证法三：（1）如图，作 DECC， 则 DDCE为矩形，CE= CC DD设AFA= ， 则易知CDE= 在 RtCDE 中， SinCEDCC DD= CDSin在 RtAFA中， AA= AFSin在 RtFBB中， BB= BFSinBB= (AB AF)Sin= ABSin AFS
15、inAA+ BB= ABSinAB = CD, AA+ BB= CC DDCC AA= DD+ BB（2）如图，仿（1）同法可证：CC AA= DDBB【创新园地】已知ABC 中，BAC= 120，ABC=15，A，B，C 的对边分别为 a, b ,c 那么 a：b：c = _ （本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）. 解法一：过点 B 作 BDAC 交 CA 的延长线于点 D. BAC=120，ABC= 15, ACB= DBC=45,ABD= 30 在 RtABD 中，Sin30= AD= cADc12Cos30= ， BD = Bc3b BD AD = 12ca = 2
16、36BD() a：b：c = 612cc:= 362:解法二：如图，作 ADBC， 交 BC 于 D，在 AB 上取 AE = AC， 连 CE， 作 AFCE，交 CE 于 F，则ACE = AEC= ，BCE= ACB 30= 180245 30 = 15 BEC 为等腰三角形，BE= CE设 AD = CD = 1， 则 AC = ， 即 b = 22CE = 2 AC Cos30= 6AB= AE + EB = + ， 即 c = + 6BD = ABD2 21743()BC = BD + DC = 3 + ，即 a = 3 + a：b：c = （3+ ）： ：（ + ）= 62:解法
17、三：如图，作 ADBC, 交 BC 于 D, 在 BC 上取点 E，使BAE = B = 15,那么，连接 AE， 得：AEC = 30， AE = BE. 设 AD = DC = 1， 则 AC = ，即 b = ，AE= BE = 2AD = 2，DE = 2AECos30 = 3 ABD236()即 c = + 6 a：b：c = (3+ ) ： ：( + )2= 3:解法四：如图，BD = x， 则 2x2 = a2，x = 206aADBtg,b63,来源:学优中考网ca2aba: :363= （参照解法一图）2:解法五：以 BC 为直径作o， 延长 CA 交o 于在，连 BD，设
18、a =2r，则 BD = r , AD=263rbrrcADabrr263262632:= 解法六：建立如图坐标系，则可求：OBcAOCBc32132,COcabcc6262312,:解法七：建立如图坐标系，由 B 点引 X 轴的垂线，垂足为 D，则|,|:BDCacSinaAaabca26036126332解法八：建立如图坐标系，设 C(1，0)，B(1，0)，延长 CA 交 Y 轴于点 D，连结BD，则 D 点坐标是(0，1) ，那么|BD|= |CD| = 2cBSin|60236|:AbCDac12632362本例还可用面积法证明，如 SCBD = aBD，Sin45= BD2 BD= 121a学优中 考，网
