1、1专题强化训练 71.在 ABC中，三个内角 ,ABC所对的边分别为 ,abc，已知 (sin,sin)BCA， (sin,si)b，且 ab。（1）求角 B 的大小；（2）若 cos,A的外接圆的半径为 1，求 ABC的面积。解(1) 3(2) 22.已知函数 f（x）=cos 2（x+ ）3（0，0）的最大值为 2，最小正周期为 （1）求函数 y=f（x）的解析式；（2）当 x0， 时，求函数 f（x）的值域解：（1）f（x）=cos 2（x+ ）3（0，0）= 3= cos（2x+ ）+ 3，（2 分）又函数 f（x）的最大值为 2，可得： + 3=2，解得：=5，最小正周期为 = ，解
2、得：= ，f（x）= cos（3x+ ） （6 分）（2） ， ，（9 分） ，（13 分） ，所以 f（x）的值域是 （14 分）3.已知向量 =（sin（ x+） ，1） ， =（1，cos（ x+） ） （0，0 ） ，记函数f（x）=（ + ）（ ） 若函数 y=f（x）的周期为 4，且经过点 M（1， ） （1）求 的值；（2）当1x1 时，求函数 f（x）的最值2解：（1）f（x）=（ + ）（ ）= = =cos（x+2） 由题意得：周期 ，故 ；（2）图象过点 M（1， ） ，cos（ 2）= ，即 sin2= ，而 0 ，故 2= ，则 f（x）=cos（ ） 当1x1 时，
3、 ， 当 x= 时，f（x） min=1，当 x=1 时， 4.在三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 .abc，且 2cosCA-=（1）求角 A 的值；（2）若三角形面积为 3，且 5，求三角形 ABC 的周长.解:（1）因为 acbos (2)cosbAaC，由正弦定理得(2sin)inBCC， 即 cicsA=sin(A+C) 4 分 因为 B A C，所以 sinB=sin(A+C)，所以 2sincosiB因为 B(0， )，所以 sinB0，所以 1cos2，因为 0，所以 3 7 分（2） ABC 的面积为 3，且 5a由 2153213cos2sin12 bcbA
4、bbacS，147)(722c所以 12 分周长 51ab 14 分5.如图已知四边形 AOCB 中, |OA, (5,0)C,点 B 位 A BC xO3于第一象限，若BOC 为正三角形.（1）若 3cos,5AOB求点 A 的坐标；（2）记向量 OA与 BC的夹角为 ，求 2的值. 解：（1） 34cos,sin52 分03(6).104sinsi().AOCB5 分点坐标为 343(,).27 分（2）向量 5(,)(,)OABC9 分1503232cos1512 分因此， 2743cos1014 分6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinB+ acosB
5、= c（）求角 A 的大小；（）已知函数 f（x）=cos 2（x+ ）3（0，0）的最大值为 2，将 y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍后便得到函数 y=g（x）的图象，若函数 y=g（x）的最小正周期为 当 x0， 时，求函数 f（x）的值域解：（）ABC 中， ， ，C=（A+B） ， = ， ，0A， （）由（）得： =，3=2，从而 =5，4 ，从而 ， ， 当时， ， ，从而 ，f（x）的值域为 7.如图所示，角 A为钝角，且 3sin5A，点 ,PQ分别在角 A的两边上（）若 5,3PQ，求 的长；（）设 ，且 12cos3，求 sin()的值解：（）因为角
6、A为钝角，且 5inA，所以 54cos2 分在 PQ中，由 AQPcos22，得 5410322A5 分解得 A或 (舍)，即 的长为 27 分（）由 132cos，得 13sin9 分又 5i)in(， 54cos)co(A11 分所以 s2si()cs()in61345314 分8.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A= ， b2 a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若 ABC 的面积为 3，求 b 的值QPA5解：（1）A= ，由余弦定理可得： ， b2 a2= bcc 2，又 b2a 2= c2 bcc 2= c2 b= c可得 ，a
7、 2=b2 = ，即 a= cosC= = = C（0，） ，sinC= = tanC= =2（2） = =3，解得 c=2 =39.在锐角 ABC中,角 、 、 所对的边长分别为 a、 b、 ,c向量3,sin,co,1m,且 mn.(1)求角 B的大小;(2)若 面积为 2, 25bac,求 ac的值.解：(1) n3,sinco,1B3osin1 c,0m0ssi ABC为锐角三角形, coB 3tan, 02， 3 (2)由 acbs,得 cb22, 代入 253ac得 ac5,得 5 13sinsin4ABCSa由题设 342ac,得 6ac 联立 56ac, 解得 2,c或 . 6
8、10. 已知函数 f（x）=Asin（x+） （A0，0，| ，xR） ，且函数 f（x）的最大值为 2，最小正周期为 ，并且函数 f（x）的图象过点（ ，0） （1）求函数 f（x）解析式；（2）设ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（ ）=2，c= ，求 a+2b 的取值范围解：（1）根据题意得：A=2，=4，即 f（x）=2sin（4x+） ，把（ ，0）代入得：2sin（ +）=0，即 sin（ +）=0， +=0，即 = ，则 f（x）=2sin（4x ） ；（2）由 f（ ）=2sin（C ）=2，即 sin（C ）=1，C = ，即 C= ，由正弦定理得：
9、= =2R，即 =2R=1，a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（ A）=sinA+2sin cosA2cos sinA=sinA+ cosAsinA= cosA， cosA1，即 cosA ，a+2b 的范围为（ ， ） 11. 已知向量 =（cos，sin） ， =（cos，sin） ， =（1，0） （1）求向量 的长度的最大值；（2）设 = ，且 （ ） ，求 cos 的值解：（1） =（cos1，sin） ，则| |2=（cos1） 2+sin2=2（1cos） 1cos1，0| |24，即 0| |2当 cos=1 时，有|b+c|=2，所
10、以向量 的长度的最大值为 2（2）由（1）可得 =（cos1，sin） ，（ ）=coscos+sinsincos=cos（）cos7 （ ） ， （ ）=0，即 cos（）=cos由 = ，得 cos（ ）=cos ，即 =2k （kZ） ，=2k+ 或 =2k，kZ，于是 cos=0 或 cos=112. 已知函数 （1）设 ，且 ，求 的值；（2）在ABC 中，AB=1， ，且ABC 的面积为 ，求 sinA+sinB 的值解：（1） = = （3 分）由 得 于是 （kZ） 因为 所以 （7分）（2）因为 C（0，） ，由（1）知 （9 分）因为ABC 的面积为 ，所以 ，于是 在AB
11、C 中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b由余弦定理得 ，所以 a2+b2=7由可得 或 于是 （12 分）由正弦定理得 ，所以 （14 分）15.在三角形 ABC中，角 ， ， C所对的边分别是 a， b， c已知 3， 2c（1）若 2cos3a，求 a的值；（2）若 b，求 cos的值【解】 （1）由余弦定理，223baA，3 分将 3b， 2c代入，解得： 6 分8（2）由正弦定理， sincos1CB，由正弦定理可得， sini2sincobcbBC，将 3b， 2c代入解得 3o414 分16.如图， A 是等边三角形，点 D在边 B的延长线上，且 2BCD， 7A.（1）求 A
12、B长度；（2）求 sinBAD的值.解：（1）设 x， 中有余弦定理：2 2cosD，22360x， x，即 2AB；（2） B， A 中由余弦定理： sinsiD， 37sinsi60D， 321sin4B.17.如图，在 xoy平面上，点 (,0)，点 在单位圆上， AOB（ 0）（1）若点 34(,)5B，求 tan4的值；（2）若 OAC， 183BO，求 cos().（1）由于 34(,)5， ，所以 5， 4in ， 所以 tan， 所以 1tatan()47 ；（2）由于 (1,0)OA, cos,iB, 所以 ,in)C, xOyAC922218cos(1s)incossin3
13、OCB . 所以 53，所以 i3， 所以 512cos()csosin6.18.已知向量 =（5cos，4） ， =（3，4tan） ，其中 （ ，） （1）若 ，求 sin2 的值；（2）若| |=5，向量 =（2，0） ，求证：（ + ） （1）解： =（5cos，4） ， =（3，4tan） ，且 ，5cos4tan12=0，得 20sin=12，sin ，（ ，） ，cos= ，sin2=2sincos= ；（2）证明： ，得 cos= ，则 sin= ，tan= ， =（5cos，4）=（3，4） ， =（3，4tan）=（3， ） ，则 ， =（2，0） ，（ + ） =0 则（
14、 + ） 19.已知ABC 的角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，若满足 ，（）求C 大小；（）若 c=2，且ABC 为锐角三角形，求 a2+b2取值范围解：（） tanAtanBtanAtanB= ， = ，即 tan（A+B）=tanC= ，tanC= ，C 为三角形的内角，则C= ；（II）A 与B 为锐角，且A+B=C= ，即B= A， A ， 2A ，c=2，sinC= ，由正弦定理 = = = 得：a= sinA，b= sinB，10a 2+b2= （sinA+sinB）= sinA+sin（ A）= + sin（2A ） ， 2A ， sin（2A ）1，即 + sin（2
15、A ）8，则a2+b2的范围为（ ，820.已知 （0， ） ，（ ，） ，cos= ，sin（+）= （1）求 tan 的值；（2）求 sin 的值解：（1） ，且 ， ，解得 ， ， ， ， （2） ， ， ，又 ，故 ， ，sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=21.已知 PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径，B，C 为不同于 P，Q 的两点，如图所示，记PAB=（1）若 BC= ，求四边形 PBCQ 的面积的最大值；（2）若 BC=1，求 的最大值11解：（1） ，BAC= ；由PAB= 得CAQ= ；S 四边形 PBCQ=SPAB +SABC +SCAQ= =
16、； ，当 时，S 四边形 PBCQ取得最大值 ；（2）当 BC=1 时，BAC= ，PAC= ；=1= = ； ； 时， 取得最大值 12江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练 2018.1题型二实际应用问题1.如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心， AB 为直径)，现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D， OD80 m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设 AOC x rad(1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；(2)试问 AOC 多大时，改建后的
17、绿化区域面积 S 取得最大值(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m，AOCx rad，A BOCD所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC2xOA800x，0x 2 分在COD 中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积 SCOD12OCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 5 分从而 SSCODS 扇形 AOC1600sinx800x，0x 7 分2. 无锡市政府决定规划地铁三号线，该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长 28 公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离
18、修建停靠站，经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为136400 万元，铺设距离为 x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为 x2043，设余下工程的总费用为 f万元.（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度） （1）试将 f表示成 的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值.(1)设需要修建 k个停靠站，则 k个停靠站将 28 公里的轨道分成相等的 1k段，1281xx， xxxkf 20481264040640 33 ，化简得 7382282xxf 1208603403 （万元）当且仅当 x28282，即 ， 3xk取等号，答：需要建 13 个停车站才能使工程费用最小，最小值
19、费用为 128028 万元.3.如图所示，某街道居委会拟在 EF地段的居民楼正南方向的空白地段 AE上建一个活动中心，其中 30AE米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形 BCD，上部分是以 C为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 G不超过 2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足 3tan4.（1）若设计 18A米， 6D米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 AB与 D的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中 取 3）FA B EDGC南 居民
20、楼活动中心14解：如图所示，以点 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系（1）因为 18B， 6D，所以半圆的圆心为 (9,6)H，半径 9r设太阳光线所在直线方程为 34yxb，即 340xyb， .2 分则由 2|7|9，解得 4b或 3（舍）.故太阳光线所在直线方程为 324yx， .5 分令 30x，得 1.5EG米 .米.所以此时能保证上述采光要求. .7 分（2）设 ADh米， 2Br米，则半圆的圆心为 (,)Hrh，半径为 r方法一：设太阳光线所在直线方程为 34yxb，即 340xyb，由 2|rhr，解得 2hr或 （舍）. .9 分故太阳光线所在直线
21、方程为 324yxhr， 令 30x，得 52EGr，由 EG，得 52r. .11 分所以 222133()Srhrhrr2550(0)50.15当且仅当 10r时取等号.所以当 2AB米且 5D米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16 分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为 2.5米，则此时点 G为 (30,2.5)，设过点 G 的上述太阳光线为 1l，则 所在直线方程为 y (x30)，52 34即 3410xy .10 分由直线 1l与半圆 H 相切，得 |3410|5rh而点 H(r， h)在直线 1l的下方，则 3r4 h1000，即 3405，从而 2 .
22、13 分又 2213()Srhrr22550(10)50r.当且仅当 0时取等号.所以当 AB米且 5D米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16 分4.如图，某城市有一条公路从正西方 AO通过市中心 后转向东偏北 角方向的 OB位于该市的某大学 M与市中心 O的距离 31Mkm，且 M现要修筑一条铁路 L， L 在 OA 上设一站 A，在 OB 上设一站 B，铁路在 部分为直线段，且经过大学 其中 tan2，3cos1， 5k（1）求大学 与站 A的距离 ；（2）求铁路 B段的长 （1）在 AOM中， 15， AOM且 3cos1， 13OM，由余弦定理得， 22cosALA BOML L
23、 162 3(31)515 97.62AM，即大学 与站 A的距离 M为 62km； （2） 3cos1，且 为锐角， sin13， 在 O中，由正弦定理得， siiO,即 6231sinMA， 2inA， 4MA， 4BO， ta2， sin5， 1cos5， 又 A， 2sin()AOB， 在 中， 15， 由正弦定理得， sinsiABO，即 2510B， 302AB，即铁路 段的长 为 302km 5.一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成，AB=1 米，如图所示，小球从 A 点出发以大小为 5v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处，经弹射器以 6v
24、的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内，落点记为 F，设AOE= 弧度，小球从 A 到 F 所需时间为 T（1）试将 T 表示为 的函数 T（） ，并写出定义域；（2）求时间 T 最短时 的值6.如图， O 为总信号源点， A， B， C 是三个居民区，已知 A， B 都在 O 的正东方向上， OA = 10 km， OB = 20 k， C 在 O 的北偏西 45 方向上， CO =52km（1）求居民区 A 与 C 的距离；（2）现要经过点 O 铺设一条总光缆直线 EF（ E 在直线 OA 的上方），并从 A， B， C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF假设铺设每条
25、分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为 m（ m17为常数）设 AOE = （0 1， 12 分则 S OAB2()tt，所以 S OAB的最小值为 ，在 k0 时取得，此时 AB 6 14 分2. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 22:xyb经过椭圆2:14xyEb(02)的28焦点.（1）求椭圆 E的标准方程；（2）设直线 :lykxm交椭圆 E于 ,PQ两点， T为弦 P的中点， (1,0)(,MN，记直线 ,TMN的斜率分别为 12k，当 21mk时，求 12k的值.解：（1）因 02b，所以椭圆 的焦点在 x轴上，又圆 :Oxy经过椭圆 E的焦点，所以椭圆的半焦距 cb，
26、3 分所以 24b，即 2，所以椭圆 的方程为214xy. 6 分（2）方法一：设 1(,)Pxy， 2(,)Q， 0(,)Txy，联立24ykxm，消去 ，得 22(1)440km，所以 122，又 2，所以 12xk，所以 0x， 01ky， 10 分12 22114()mkkmk. 方法二：设 1(,)Pxy， 2(,)Q， 0(,)Txy， 则2124xy，两式作差，得 1212121204，又 120x，120y， 12012xy， 012yx，又 1(,)Pxy，292(,)Qxy在直线 kxm上， 12ykx， 02xky，又 0(,)Txy在直线k上， 0，由可得 21kx，
27、021yk. 10 分3. 已知椭圆 E： + =1 过点 D（1， ） ，且右焦点为 F（1，0）右顶点为 A，过点 F 的弦为BC，直线 BA，直线 CA 分别交直线 l：x=m（m2）于 P、Q 两点（1）求椭圆方程；（2）若 FPFQ，求 m 的值解：（1）右焦点为 F（1，0） ，可得c=1，左焦点 F为（1，0） ，由椭圆的定义可得 2a=|DF|+|DF|= + =4，即有 a=2，b= = ，则椭圆的方程为 + =1；（2）当 BC 垂直于 x 轴，即有 B（1， ） ，C（1， ） ，设 P（m，s） ，Q（m，t） ，A（2，0） ，F（1，0） ，由 B，A，P 共线，可
28、得 kAB=kAP，即为 = ，即有 s= （m2） ，即有 P（m， （m2） ） ， =（m1， （m2） ） ，同样可得 Q（m， （m2） ） ， =（m1， （m2） ） ，30FPFQ 即为 =0，即有（m1） 2 （m2） 2=0，解得 m=4；当直线 CB 与 x 轴不垂直，则设直线 CB 的斜率为 k， （k0）直线 CB 的方程为 y=k（x1） ，k0，又设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，P（m，y 3） ，Q（m，y 4） ，联立 ，消 y 得（3+4k 2）x 28k 2x+4k212=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=k2（x 11
29、） （x 21）= ，又A、B、P 三点共线，y 3=（m2） ，同理 y4=（m2） ， =（m1， （m2） ） ， =（m1， （m2） ） ，由于 =0，即为 =（m1） 2+（m2） 2 =0，分别代入 x1+x2，x 1x2，y 1y2，可得（m1） 2 （m2） 2=0，解得 m=4综上可得 m=44. 设椭圆 :C2(0)ab的离心率为 32e，直线 yx与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O相切（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 12x与椭圆 C交于不同的两点 ,MN，以线段 为直径作圆 D若圆 与 y轴相交于不同的两点 ,AB，求 D的面积；（3）如图， 1、 2、 1、 2是椭圆 的顶点， P是椭圆 C上除顶点外的任意点，直线 2BP交
