1、 江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练 2018.1题型一三角与向量1.在 中，三个内角 所对的边分别为 ，已知 ， ABC,ABC,abc(sin,sin)BCA，且 。(sin,si)bab（1）求角 B 的大小；（2）若 的外接圆的半径为 1，求 的面积。cos,AABC解(1) (2)322.已知函数 f（x）=cos 2（x+ ） 3（0，0）的最大值为 2，最小正周期为 （1）求函数 y=f（x）的解析式；（2）当 x0， 时，求函数 f（x）的值域解：（1）f（x）=cos 2（x+ ） 3（0，0）= 3= cos（2x + ）+ 3，（2 分）又函数 f（x）的最大值为 2
2、，可得： + 3=2，解得：=5，最小正周期为 = ，解得：= ，f（x）= cos（3x+ ） （6 分）（2） ， ，（9 分） ，（13 分） ，所以 f（x）的值域是 （14 分）3.已知向量 =（sin （ x+） ，1） ， =（1，cos（ x+） ） （0，0 ） ，记函数 f（x）=（ + ）（ ） 若函数 y=f（x）的周期为 4，且经过点 M（1， ） （1）求 的值；（2）当1x 1 时，求函数 f（x）的最值解：（1）f（x）=（ + ）（ ）= = =cos（x+2 ） 由题意得：周期 ，故；（2）图象过点 M（1， ） ，cos（ 2）= ，即 sin2= ，而
3、0 ，故 2= ，则 f（x）= cos（ ） 当1 x 1 时， ， 当 x= 时，f（x） min=1，当 x=1 时， 4.在三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ，且.abc2cosCA-=（1）求角 A 的值；（2）若三角形面积为 ，且 ，求三角形 ABC 的周长.325解:（1）因为 ，由正弦定理得acbos()cosbAaC， (2sin)inBCC即 =sin(A+C) 4 分 cicsA因为 B AC，所以 sinB=sin(A+C)，所以 2sincosiB因为 B(0，) ，所以 sinB0，所以 ，因为 ，所以 7 分1cos23（2）ABC 的面积为 ，且
4、35a由 ， 2153213cos2sin12 bcbAbbacS所以 12 分147)(722cbcb 1cb周长 14 分51a5.如图已知四边形 AOCB 中, , ,点 B 位于第一象限，若BOC 为正三角形.|OA(50)C（1）若 求点 A 的坐标；3cos5B（2）记向量 与 的夹角为 ，求 的值. cos2解：（1） 234cos,sin55AOBAB分 03cscs(6).1C5 分04ini().AOB点坐标为 7 分343(,).2（2）向量 9 分 12 分因5(,)(,)OABC1503232cos15此， 14 分2743cos106在ABC 中，角 A，B ，C
5、所对的边分别为 a，b，c ，且 asinB+ acosB= c（）求角 A 的大小；（）已知函数 f（x）=cos 2（x+ ） 3（0，0）的最大值为 2，将 y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍后便得到函数 y=g（x）的图象，若函数 y=g（x）的最小正周期为 当 x0， 时，求函数 f（x）的值域解：（）ABC 中， ，A BC xO ，C= （A+B） ， = ， ，0A， （）由（）得： =，3=2，从而 =5， ，从而 ， ， 当时， ， ，从而 ，f（x）的值域为 7.如图所示，角 为钝角，且 ，点 分别在角 的两边上A3sin5A,PQA（）若 ，求 的长
6、；5,3PQ（）设 ，且 ，求 的值12cos3sin()解：（）因为角 为钝角，且 ，所A5inA以 2 分54cos在 中，由 ，PQAQPcos22得 5 分5410322A解得 或 (舍)，即 的长为 27 分A（）由 ，得 9 分132cos13sinQPA又 ， 11 分53sin)si(A54cos)cos(A所以 2in()cs()in14 分6134538.在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b 2a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值解：（1）A= ，由余弦定理可得： ，b 2a2= bcc2
7、，又 b2a2= c2 bcc2= c2 b= c可得 ，a 2=b2 = ，即 a= cosC= = = C（0，） ，sinC= = tanC= =2（2） = =3，解得 c=2 =39.在锐角 中,角 、 、 所对的边长分别为 、 、 向量ABCab,c,且 .(1)求角 的大小;3sin,co,1mmnB(2)若 面积为 , ,求 的值.225bacac解：(1) n3,sinco,1B3osin1c,0m0ssi为锐角三角形, , ABCcoB3tan， 02B3(2)由 ,得 , Bacbosacb22代入 得 ,得 253acc55由题设 ,得 13sinsin4ABCSaa3
8、42ac6ac联立 , 解得 或 56ac2,c.10. 已知函数 f（x）=Asin （ x+） （A0， 0，| ，xR ） ，且函数 f（x）的最大值为2，最小正周期为 ，并且函数 f（x）的图象过点（ ，0） （1）求函数 f（x）解析式；（2）设ABC 的角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，且 f（ ）=2，c= ，求 a+2b 的取值范围解：（1）根据题意得：A=2，=4，即 f（x）=2sin（4x+） ，把（ ，0）代入得：2sin（ +）=0 ，即 sin（ +）=0 ， +=0，即 = ，则 f（x）=2sin（4x ） ；（2）由 f（ ）=2sin（C ）=2
9、 ，即 sin（C ）=1，C = ，即 C= ，由正弦定理得： = =2R，即 =2R=1，a+2b=2RsinA +4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（ A）=sinA+2sin cosA2cos sinA=sinA+ cosAsinA= cosA， cosA1，即 cosA ，a+2b 的范围为（ ， ） 11. 已知向量 =（cos，sin） ， =（cos ，sin ） ， =（1，0） （1）求向量 的长度的最大值；（2）设 = ，且 （ ） ，求 cos 的值解：（1） =（cos1，sin ） ，则| |2=（cos1） 2+sin2=2（1cos） 1 c
10、os1，0| |24，即 0| |2当 cos=1 时，有|b+c|=2，所以向量 的长度的最大值为 2（2）由（1）可得 =（cos 1，sin ） ，（ ）=coscos +sinsincos=cos（） cos （ ） ， （ ）=0，即 cos（ ）=cos由 = ，得 cos（ ）=cos ，即 =2k （kZ） ，=2k+ 或 =2k，kZ，于是 cos=0 或 cos=112. 已知函数 （1）设 ，且 ，求 的值；（2）在ABC 中，AB=1 ， ，且ABC 的面积为 ，求 sinA+sinB 的值解：（1） = = （3 分）由 得 于是 （k Z） 因为 所以 （7 分）（
11、2）因为 C（0，） ，由（1）知 （9 分）因为ABC 的面积为 ，所以 ，于是 在ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b由余弦定理得 ，所以 a2+b2=7由可得 或 于是 （12 分）由正弦定理得 ，所以 （14 分）15.在三角形 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， 已知 ， ABCCabc32c（1）若 ，求 的值；2cos3aa（2）若 ，求 的值bcos【解】 （1）由余弦定理， ，3 分223baA将 ， 代入，解得： 6 分3b2c（2）由正弦定理， ，sincos1CB由正弦定理可得， ，sini2sincobcbBC将 ， 代入解得 14 分3b2c3o41
12、6.如图， 是等边三角形，点 在边 的延长线上，且 ， .A DB2BCD7A（1）求 长度；（2）求 的值.ABsinBAD解：（1）设 ， 中有余弦定理：x，2 2cosD ， ，即 ；22360xx2AB（2） ， 中由余弦定理： ，BA sinsiD ， .37sinsi60D321sin4B17.如图，在 平面上，点 ，点 在单位圆上， （ ）xoy(,0)AOB0（1 ）若点 ，求 的值；34(,)5Btan4（2 ）若 ， ，求 .OAC183BOcos()（1 ）由于 ， ，所以 ， ， 34(,)554in所以 ， 所以 ；tan1tatan()47（2 ）由于 , , (1
13、0)OAcos,iB所以 , ,in)C. 22218cos(1s)cossin3B所以 ，所以 ， 53in3所以 .512cos()csosin618.已知向量 =（5cos，4） ， =（3，4tan ） ，其中 （ ， ） （1）若 ，求 sin2 的值；（2）若| |=5，向量 =（2，0） ，求证：（ + ） （1）解： =（5cos，4） ， =（3，4tan ） ，且 ，xOyAC5cos4tan 12=0，得 20sin=12，sin ，（ ，） ，cos= ，sin2=2sincos = ；（2）证明： ，得 cos= ，则 sin= ，tan= ， =（5cos，4）=
14、（3，4） ， =（3，4tan ）= （3， ） ，则 ， =（2，0） ，（ + ） =0 则（ + ） 19.已知ABC 的角 A，B ，C 的对边依次为 a，b，c ，若满足 ，（）求C 大小；（）若 c=2，且ABC 为锐角三角形，求 a2+b2 取值范围解：（） tanAtanBtanAtanB= ， = ，即 tan（A+B）=tanC= ，tanC= ，C 为三角形的内角，则C= ；（II）A 与 B 为锐角，且 A +B= C= ，即B= A， A ， 2A ，c=2，sinC= ，由正弦定理 = = = 得：a= sinA，b= sinB，a 2+b2= （sinA+sin
15、B）= sinA+sin（ A）= + sin（2A ） ， 2A ， sin（2A ）1，即 + sin（2A ）8，则 a2+b2 的范围为（ ，820.已知 （0， ） ，（ ，） ，cos = ，sin（ +）= （1）求 tan 的值；（2）求 sin 的值解：（1） ，且 ， ，解得 ， ， ， ， （2） ， ， ，又 ，故 ， ，sin=sin（+ ） =sin（ +）coscos（+ ）sin= 21.已知 PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径，B ，C 为不同于 P，Q 的两点，如图所示，记PAB=（1）若 BC= ，求四边形 PBCQ 的面积的最大值；（2）若 BC=1，
16、求 的最大值解：（1） ，BAC= ；由PAB= 得CAQ= ；S 四边形 PBCQ=SPAB +SABC +SCAQ= = ； ，当 时，S 四边形 PBCQ 取得最大值 ；（2）当 BC=1 时，BAC= ，PAC= ；=1= = ； ； 时， 取得最大值 江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练 2018.1题型二实际应用问题1.如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心，AB 为直径) ，现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D，OD80 m ，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设AOC
17、x rad(1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；(2)试问AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m，AOCx rad，A BOCD所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC 800x，0x 2 分2xOA在COD 中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积 SCOD OCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 5 分从而 12SSCODS 扇形 AOC1600sinx800x，0x 7 分2. 无锡市政府决定规划地铁三号线，该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的
18、无锡机场站，全长 28 公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站，经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400 万元，铺设距离为 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为 ，设余下工程的x x2043总费用为 万元.（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度） （1）试将 表示成 的函数；f f（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值.(1)设需要修建 个停靠站，则 个停靠站将 28 公里的轨道分成相等的 段，kk 1k，1281xx， xxxkf 20481264040640 33 化简得 7382282xxf（万元
19、）1208603403 当且仅当 ，即 ， 取等号，x282823xk答：需要建 13 个停车站才能使工程费用最小，最小值费用为 128028 万元.3.如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个活动中心，其EFAE中 米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方30AE形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆BCDC相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 不超过 米，其中该太阳光线与水平线的夹角G2.5满足 .3tan4（1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？18A6D（2）在保证上述采
20、光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心的截面面ABD积最大？（注：计算中 取 3）FA B EDGC南 居民楼活动中心解：如图所示，以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系（1）因为 ， ，所以半圆的圆心为 ，18B6D(9,6)H半径 设太阳光线所在直线方程为 ，9r 34yxb即 ， .2 分340xyb则由 ，2|7|9解得 或 （舍）.4b3故太阳光线所在直线方程为 ， 324yx.5 分令 ，得 米 米.30x1.5EG所以此时能保证上述采光要求. .7 分（2）设 米， 米，则半圆的圆心为 ，半径为 ADh2Br(,)Hrhr方法一：设太阳光
21、线所在直线方程为 ，34yxb即 ，由 ，340xyb2|rhr解得 或 （舍）. 2hr.9 分故太阳光线所在直线方程为 ， 324yxhr令 ，得 ，由 ，得 . 30x52EGrEG52r.11 分所以 222133()Srhrhrr.2550(0)50当且仅当 时取等号.10r所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. 2AB5D.16 分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为 米，则此时点 为 ，2.5G(30,2.5)设过点 G 的上述太阳光线为 ，则 所在直线方程为 y (x30)，1l 52 34即 3410xy.10 分由直线 与半圆 H 相切，得
22、1l |3410|5rh而点 H(r，h) 在直线 的下方，则 3r4h1000，1l即 ，从而 34052.13 分又 .2213()Srhrr22550(10)50r当且仅当 时取等号.0所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. AB5D.16 分4.如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向东偏北 角方向的 位于该市的AOOB某大学 与市中心 的距离 ，且 现要修筑一条铁路 L，L 在 OA 上设一MO31MkmM站 ，在 OB 上设一站 B，铁路在 部分为直线段，且经过大学 其中 ，A tan2， 3cos15k（1）求大学 与站 的距离 ；A（2）求铁路 段的长 B
23、（1）在 中， ， 且 ， ，AOM15AOM3cos113OM由余弦定理得， 22cosALA BOML L 2 3(31)51597.，即大学 与站 的距离 为 ； 62AMAM62km（2） ，且 为锐角， ， 3cos1sin13在 中，由正弦定理得， ,OsiiO即 ， ， ， 6231sinMA2inA4MA， ， ， ， 4BOta2sin51cos5又 ， ， A2sin()AOB在 中， ， 由正弦定理得， ，15sinsiABO即 ， ，即铁路 段的长 为 2510B302AB302km5.一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成，AB=1 米，
24、如图所示，小球从 A点出发以大小为 5v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处，经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内，落点记为 F，设AOE= 弧度，小球从 A 到 F 所需时间为 T（1）试将 T 表示为 的函数 T（ ） ，并写出定义域；（2）求时间 T 最短时 的值6.如图，O 为总信号源点，A，B，C 是三个居民区，已知 A，B 都在 O 的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C 在 O 的北偏西 45 方向上，CO = kmk 52km（1）求居民区 A 与 C 的距离；（2）现要经过点 O 铺设一条总光缆直线 EF（E 在直线 OA
25、 的上方），并从 A，B，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m 为常数）设AOE = （0 1， 12 分12212k则 SOAB ，2()tt所以 SOAB 的最小值为 ，在 k0 时取得，此时 AB 14 分62. 在平面直角坐标系 中，已知圆 经过椭圆 的xOy22:xyb2:14xyEb(02)焦点.（1）求椭圆 的标准方程；E（2）设直线 交椭圆 于 两点， 为弦 的中点， ，记:lykxmE,PQTP(1,0)(,MN直线 的斜率分别为 ，当 时，求 的值.,TMN12k21mk12k解：（1）因 ，所以椭圆 的
26、焦点在 轴上，02bx又圆 经过椭圆 的焦点，所以椭圆的半焦距 ， :OxyEcb3 分所以 ，即 ，所以椭圆 的方程为 . 24b2 214xy6 分（2）方法一：设 ， ， ，1(,)Pxy2(,)Q0(,)Txy联立 ，消去 ，得 ，24ykxm22(1)440km所以 ，又 ，所以 ，122212xk所以 ， ， 10 分0x01ky. 12 22114()mkkmk方法二：设 ， ， ， 则 ，1(,)Pxy2(,)Q0(,)Txy2124xy两式作差，得 ，1212121204又 ，120x， ， ，又 ，120y12012xy012yx1(,)Pxy在直线 上， ， ，又 在直线
27、2(,)Qxykxm12ykx02xky0(,)Txy上， ，k0由可得 ， . 10 分21kx021yk3. 已知椭圆 E： + =1 过点 D（1， ） ，且右焦点为 F（1，0）右顶点为 A，过点 F 的弦为BC，直线 BA，直线 CA 分别交直线 l：x=m（m 2）于 P、Q 两点（1）求椭圆方程；（2）若 FPFQ，求 m 的值解：（1）右焦点为 F（1，0） ，可得c=1，左焦点 F为（1，0） ，由椭圆的定义可得 2a=|DF|+|DF|= + =4，即有 a=2，b= = ，则椭圆的方程为 + =1；（2）当 BC 垂直于 x 轴，即有 B（1， ） ，C（1， ） ，设 P（m，s） ，Q（m，t） ，A（2，0） ，F（1，0） ，由 B，A，P 共线，可得 kAB=kAP，即为 = ，即有 s= （m 2） ，即有 P（m， （m2） ） ， =（m 1， （m 2） ） ，
