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江苏省启东市2018届高考数学二轮复习 专题强化训练1.doc
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1、1专题强化训练 11.如图,某城市有一块半径为 40 m的半圆形绿化区域(以 O 为圆心, AB为直径),现计划对其进行改建在 AB的延长线上取点 D, OD80 m,在半圆上选定一点 C,改建后的绿化区域由扇形区域 AOC和三角形区域 COD组成,其面积为 S m2设 AOC x rad(1)写出 S关于 x的函数关系式 S(x),并指出 x的取值范围;(2)试问 AOC多大时,改建后的绿化区域面积 S取得最大值A BOCD(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,AOCx rad,所以 扇形 AOC的面积 S扇形 AOC2OA800x,0x 2 分在COD 中,OD80,OC40,COD
2、x,所以COD 的面积 SCOD12OCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 5分从而 SSCODS 扇形 AOC1600sinx800x,0x 7 分22. 如图所示,某街道居委会拟在 EF地段的居民楼正南方向的空白地段 AE上建一个活动中心,其中 30A米活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形 BCD,上部分是以 C为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过 2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 3tan4.(1)若设计 18AB米, 6米,问能否保证上述采光要
3、求?(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计 AB与 D的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中 取 3)解:如图所示,以点 A为坐标原点, AB所在直线为 x轴,建立平面直角坐标系(1)因为 18B, 6D,所以半圆的圆心为 (9,6)H,半径 9r设太阳光线所在直线方程为 34yxb,即 340xyb, 则由 2|7|9,解得 4b或 3(舍).故太阳光线所在直线方程为 324yx, 令 30x,得 1.5EG米 .米.所以此时能保证上述采光要求. (2)设 ADh米, 2Br米,则半圆的圆心为 (,)Hrh,半径为 r方法一:设太阳光线所在直线方程为 34yxb,即 340x
4、yb,由 2|rhr,解得 2hr或 (舍). FA B EDGC南 居民楼活动中心3故太阳光线所在直线方程为 324yxhr, 令 30x,得 52EGr,由 EG,得 52r. 所以 213()Srhrr25(0)50r.当且仅当 1r时取等号.所以当 AB米且 D米时,可使得活动中心的截面面积最大. 方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长 EG恰为 2.5米,则此时点 G为(30,2.5),设过点 G的上述太阳光线为 1l,则 所在直线方程为 y (x30),52 34即 3410xy 由直线 l与半圆 H相切,得 |340|5rh而点 H(r, h)在直线 1l的下方,则 3r4
5、 h1000,即 3405,从而 2 又 2()Srrr2255(10)50r.当且仅当 10时取等号.所以当 AB米且 5D米时,可使得活动中心的截面面积最大. 3.已知 PQ是半径为 1的圆 A的直径,B,C 为不同于 P,Q 的两点,如图所示,记PAB=(1)若 BC= ,求四边形 PBCQ的面积的最大值;(2)若 BC=1,求 的最大值4解:(1) ,BAC= ;由PAB= 得CAQ= ;S 四边形 PBCQ=SPAB +SABC +SCAQ= ; ,当 时,S 四边形 PBCQ取得最大值 ;(2)当 BC=1时,BAC= ,PAC= ;=1= ; ; 时, 取得最大值 54.如图,某
6、城市有一条公路从正西方 AO通过市中心 后转向东偏北 角方向的 OB位于该市的某大学 M与市中心 的距离 31Mkm,且 AOM现要修筑一条铁路 L, L在 OA上设一站 ,在 OB上设一站 B,铁路在 部分为直线段,且经过大学 其中 tan2,3cos1, 5Akm(1)求大学 M与站 的距离 A;(2)求铁路 B段的长 (1)在 AOM中, 15, AOM且 3cos1, 13OM,由余弦定理得, 22cosA(31)53513 9272.6AM,即大学 与站 A的距离 M为 6km; (2) 3cos1,且 为锐角, sin13, 在 O中,由正弦定理得, siiO,即 6231sinM
7、A, 2inA, 4MA, 4BO, ta2, sin5, 1cos5, 又 A, 2sin()AOB, 在 中, 15, 由正弦定理得, sinsiABO,LABOMLL6即 1520AB, 302AB,即铁路 AB段的长 为 302km 5.如图是某设计师设计的 Y型饰品的平面图,其中支架 OA,OB,OC 两两成 120,OC=1,AB=OB+OC,且 OAOB,现设计师在支架 OB上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为 M,且 M与 OB长成正比,比例系数为 k(k 为正常数):在AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为 N,且 N与AOC 的面积成正比,比例系数为 4 k,
8、设OA=x,OB=y(1)求 y关于 x的函数关系式,并写出 x的取值范围;(2)求 NM 的最大值及相应的 x的值解:(1)OA=x,OB=y,AB=y+1,由余弦定理得 x2+y22xycos120=(y+1) 2,解得 y= ,由 x0,y0,得 1x2,xy,x ,得 1x ,OA 的取值范围是(1, ) (2)M=kOB=ky,N=4 kSAOC =3kx,则 NM=k(3xy)=k(3x ) ,设 2x=t,则 t( ,1) ,7则 NM=k3(2t) =k10(4t+ )k(102 )=(104)k,当且仅当 4t= ,即 t= ,x=2 时,NM 的最大值是)=(104 )k6
9、.在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = = (1)求 C;(2)如图,设半径为 R的圆 O过 A,B,C 三点,点 P位于劣弧 上,PAB=,求四边形 APCB面积 S()的解析式及最大值【考点】在实际问题中建立三角函数模型;三角函数中的恒等变换应用【分析】 (1)由已知结合正弦定理可得 sin2A=sin2B,再由角的范围可得 A+B= ,从而求得 C;(2)把三角形 ABC的三边用 R表示,再由 S()=S ABC +SAPC ,代入三角形面积公式化简,然后由 ( )求得四边形 APCB面积 S()的最大值【解答】解:(1)由 = ,得 = ,sin2A=
10、sin2B,2A,2B(0,2) ,2A=2B,或 2A+2B=,即 A=B或 A+B= , ,A=B 舍去,从而 C= ;(2)由条件得:c=2R,a=R,b= R,BAC= ,CAP= ,( ) ,S()=S ABC +SAPC = =8= = ,() , ( ) ,当 时, 7.一个玩具盘由一个直径为 2米的半圆 O和一个矩形 ABCD构成,AB=1 米,如图所示,小球从 A点出发以大小为 5v的速度沿半圆 O轨道滚到某点 E处,经弹射器以 6v的速度沿与点 E切线垂直的方向弹射到落袋区 BC内,落点记为 F,设AOE= 弧度,小球从 A到 F所需时间为 T(1)试将 T表示为 的函数
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