1、江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练 2018.1题型二实际应用题1.如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心，AB 为直径) ，现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D，OD80 m ，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设AOCx rad(1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；(2)试问AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值A BOCD(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m，AOCx rad，所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC
2、 800x，0x 2 分2OA在COD 中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积 SCOD OCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 512分从而 SSCODS 扇形 AOC1600sinx800x，0x 7 分2. 如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个EFAE活动中心，其中 米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中30A心的截面图的下部分是长方形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民BCDC楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过 米，其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 .GE
3、2.53tan4（1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？18AB6（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心的ABD截面面积最大？（注：计算中 取 3）解：如图所示，以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系（1）因为 ， ，所以半圆的圆心为 ，18B6D(9,6)H半径 设太阳光线所在直线方程为 ，9r 34yxb即 ， 340xyb则由 ，2|7|9解得 或 （舍）.4b3故太阳光线所在直线方程为 ， 324yx令 ，得 米 米.30x1.5EG所以此时能保证上述采光要求. （2）设 米， 米，则半圆的圆心为 ，半径为 ADh2B
4、r(,)Hrhr方法一：设太阳光线所在直线方程为 ，34yxb即 ，由 ，340xyb2|rhrFA B EDGC南 居民楼活动中心解得 或 （舍）. 2bhrr故太阳光线所在直线方程为 ， 324yxhr令 ，得 ，由 ，得 . 30x5EGrEG52r所以 2213()Srhrr.25(0)50r当且仅当 时取等号.1r所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. ABD方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为 米，则此时点 为2.5G，(30,2.5)设过点 G 的上述太阳光线为 ，则 所在直线方程为 y (x30)，1l 52 34即 3410xy由直线 与半圆
5、H 相切，得 l |340|5rh而点 H(r，h) 在直线 的下方，则 3r4h1000，1l即 ，从而 34052又 .2()Srrr2255(10)50r当且仅当 时取等号.10所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. AB5D3.已知 PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径，B ，C 为不同于 P，Q 的两点，如图所示，记PAB=（1）若 BC= ，求四边形 PBCQ 的面积的最大值；（2）若 BC=1，求 的最大值解：（1） ，BAC= ；由PAB= 得CAQ= ；S 四边形 PBCQ=SPAB +SABC +SCAQ= ； ，当 时，S 四边形 PBCQ 取得最大值 ；（2
6、）当 BC=1 时，BAC= ，PAC= ；=1= ； ； 时， 取得最大值 4.如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向东偏北 角方向AO的 位于该市的某大学 与市中心 的距离 ，且 现要OBM31MkmAOM修筑一条铁路 L，L 在 OA 上设一站 ，在 OB 上设一站 B，铁路在 部分为直线段，且经过大学 其中 ，tan2， 3cos15Akm（1）求大学 与站 的距离 ；MA（2）求铁路 段的长 B（1）在 中， ， 且 ， ，AOM15AOM3cos113OM由余弦定理得， 22cosA(31)535139272.，即大学 与站 的距离 为 ； 6AMAM6km（2） ，且
7、 为锐角， ， 3cos1sin13在 中，由正弦定理得， ,OsiiO即 ， ， ， 6231sinMA2inA4MA， ， ， ， 4BOta2sin51cos5又 ， ， A2sin()AOB在 中， ， 由正弦定理得， ，15sinsiABOLABOMLL即 ， ，即铁路 段的长 为 1520AB302ABAB302km5.如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架 OA，OB，OC 两两成 120，OC=1，AB=OB +OC，且 OAOB，现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB 长成正比，比例系数为 k（k 为正常数）：在AOC 区域（
8、阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N，且 N 与AOC 的面积成正比，比例系数为4 k，设 OA=x，OB=y（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求 NM 的最大值及相应的 x 的值解：（1）OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得 x2+y22xycos120=（y+1） 2，解得 y= ，由 x0，y0，得 1x2，xy，x ，得 1x ，OA 的取值范围是（1， ） （2）M=kOB=ky，N=4 kSAOC =3kx，则 NM=k（3xy）=k （3x ） ，设 2x=t，则 t（ ，1） ，则 NM=k3（2t） =k10（4t+ ）k
9、（102 ）=（10 4 ）k，当且仅当 4t= ，即 t= ， x=2 时，N M 的最大值是） =（10 4 ）k6.在ABC 中，三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = = （1）求 C；（2）如图，设半径为 R 的圆 O 过 A，B ，C 三点，点 P 位于劣弧 上，PAB=，求四边形 APCB 面积 S（）的解析式及最大值【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用【分析】 （1）由已知结合正弦定理可得 sin2A=sin2B，再由角的范围可得 A+B= ，从而求得 C；（2）把三角形 ABC 的三边用 R 表示，再由 S（ ）=S ABC+SA
10、PC ，代入三角形面积公式化简，然后由 （ ）求得四边形 APCB 面积 S（ ）的最大值【解答】解：（1）由 = ，得 = ，sin2A=sin2B，2A，2B（0，2） ，2A=2B，或 2A+2B=，即 A=B 或 A+B= ， ，A=B 舍去，从而 C= ；（2）由条件得：c=2R，a=R，b= R，BAC= ， CAP= ，（ ） ，S（）=S ABC +SAPC = = = ，（） ， （ ） ，当 时， 7.一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成，AB=1 米，如图所示，小球从 A 点出发以大小为 5v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处，经弹射
11、器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内，落点记为 F，设AOE= 弧度，小球从 A到 F 所需时间为 T（1）试将 T 表示为 的函数 T（ ） ，并写出定义域；（2）求时间 T 最短时 的值解：（1）过点 O 作 OGBC 于 G，则 OG=1，OF= = ，EF=1 + ，AE= ，T（）= + = + + ， ， ；（2）由（1）可知 T（）= = =，记 cos0= ，由 0 ， 可知：当 （ ， 0）时 T（）0，即 T（ ）在区间（ ， 0）上单调递减，当 （ 0， ）时 T（）0，即 T（ ）在区间（ 0， ）上单调递增，当 = 时时间 T 最短8.如
12、图，O 为总信号源点， A，B，C 是三个居民区，已知 A，B 都在 O 的正东方向上，OA = 10 ， OB = 20 ，C 在 O 的北偏西 45 方向上，CO = kmk 52km（1）求居民区 A 与 C 的距离；（2）现要经过点 O 铺设一条总光缆直线 EF（E 在直线 OA 的上方） ，并从 A，B，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为 m（m 为常数） 设AOE = （0 ） ，铺设三条分光缆的总费用为 w（元） 求 w 关于 的函数表达式； 求 w 的最小值及此时 的值tan11.如图，摩天轮的半径为 ，点 距地
13、面的高度为 ，摩天轮作逆时针匀速转动，50mO60m每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最低点处.6minP FE北O A BC（1）试确定在时刻 （ ）时点 距离地面的高度；tmainP（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？85m（1）以 为原点建系， 在 内转过的角为 ，Oit3t以 为始边， 为终边的角为 ，XP32t故 点纵坐标为 ，P1150sin50cos3t 距地面高度为 ；6ht（2）令 即 ，8510cos853t ， ，1cos32t42 ktkZ， ， .64kkZ答：一圈内有 2 分钟超过 .85m12.如图，有一块矩形空地 ， ， ，现规划在该空地
14、四边形ABCDk2kmBC4建一个商业区，其中顶点 为商业区四个入口，且入口 在边 上（不AEFGGFE, FBC包含顶点） ，入口 分别在边 上， ， ，矩形内其余区域均, AG为绿化区。（1 ）设 ，以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系，如图所示。tkmBFABx求直线 的方程GE求 的取值范围。t（2 ）设商业区域的面积为 ，绿化区域的面积为 ，问入口 如何选址，即 为何值时，1S2SFt可使得该商业区域的环境舒适度指数 最大？12来源:13.图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形 是矩形，弧 是半圆，凹槽的横截面的周
15、长为 若凹槽的强ABCDm4度 等于横截面的面积 与边 的乘积，设 ， TSABxCy（1）写出 关于 函数表达式，并指出 的取值范围；yxx（2）求当 取何值时，凹槽的强度最大【解】 （）易知半圆 的半径为 ，故半圆 的弧长为 CmDCmDx所以 ，4xy得 2y2 分依题意知： 0xy得 4所以，（ ） 6 分2xy40（）依题意，设凹槽的强度为 ，横截面的面积为 ，则有TS212TABSxyx384x， ， 21634016929 分因为 ，092所以，当 时， ，当 时， ，16x0T16492x0T所以当 ，凹槽的强度最大13 分答：所以当 ，凹槽的强度最1692x大14 分14.如
16、图，OM，ON 是两条海岸线， Q 为大海中一个小岛，A 为海岸线 OM 上的一个码头已知 ， ，Q 到海岸线 OM，ON 的距离分别为 3 km， tan3MON6km6105km现要在海岸线 ON 上再建一个码头 B，使得水上旅游线路 AB（直线）经过小岛 Q （1 ）求水上旅游线路 AB 的长；（2 ）若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P，水波生成 t h 时的半径为 （其中 ， R） 强水波开始生成时，一游轮以 km/h 的速3rat05a182度自码头 A 开往码头 B，问强水波是否会波及游轮的航行，并说明理由解：（1）以点 O 为坐标原点，直线 OM 为
17、轴，建立直角坐标系如图所示x则由题设得： ，直线 ON 的方程为 6 0A，3yxQx， ，由 ，解得 ，所以 2 分01503 3Q，故直线 AQ 的方程为 ，6yx由 得360yx， 39，即 ，故 ， 5 分 9B， 269AB答：水上旅游线 的长为 km 6 分（2 ）设试验产生的强水波圆 P，由题意可得 P（3，9 ） ，生成 小时时，游轮在线段 AB 上的点 C 处，t则 ，所以 11820ACt， 618 t，若强水波不会波及游轮的航行即 210,.2Prt对 恒 成 立OMNPB AQ即 ， 10 分222(183)(9)PCttrat当 时恒成立，0t当 . 2t时 ， 即
18、， 时 ， 10748t， ，1()748 gttt令 ， ， ()22458gtt当且仅当 时等号成立，50 62，所以当 时 恒成立，即强水波不会波及游轮的航行14 分48arPC答：在 时，强水波不会波及游轮的航行 1505分15.如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段 OD 是以 O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段 DBC是函数 y=Asin（x+） （A0，0，| ） ，x 4，8时的图象，图象的最高点为B（5， ） ，DF OC，垂足为 F（I）求函数 y=Asin（ x+）的解析式；（II）若在湖泊内修建
19、如图所示的矩形水上乐园 PMFE，问点 P 落在曲线 OD 上何处时，水上乐园的面积最大？解：（）对于函数 y=Asin（x+）由图象可知，A= ，= = ，将（5， ） ，代入 y= sin（ x+）得： ，| ，所以 = ，所以函数的解析式为 y= sin（ x ） （）在 y= sin（ x ）中，令 x=4，得 D（4，4）从而得曲线 OD 的方程为 y2=4x， （0x4） 设点 P（ ） （0t 4） ，则矩形 PMFE 的面积为 S= ，0t 4因为 S=4 ，由 S=0 得 t= ，且 t 时 S0，S 递增，t 时 S0，S 递减，所以当 t= ，S 最大，此时点 P 的坐标
20、 16.某企业投入 81 万元经销某产品，经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 x 个月的利润 （单位：万元） ，为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第 x 个月的当月利润率，例如： （1）求 g（10） ；（2）求第 x 个月的当月利润率 g（x） ；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率解：（1）由题意得：f（1） =f（2）=f（3）= f（9）=f（10）=1g（x）= = = （2）当 1x20 时，f（1） =f（2）f （x1）=f（x）=1g（x）= = = = 当 21x60 时，g（x）
21、=当第 x 个月的当月利润率；（3）当 1x20 时， 是减函数，此时 g（x）的最大值为当 21x60 时，当且仅当 时，即 x=40 时，又 ，当 x=40 时，17.如图，太湖一个角形湖湾 （ 常数 为锐角）. 拟用长,2AOB度为 （ 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：l方案一 如图 1，围成扇形养殖区 ，其中 ；PQl方案二 如图 2，围成三角形养殖区 ，其中 ；CD（1）求方案一中养殖区的面积 ；1S（2）求方案二中养殖区的最大面积 ；2（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.（1）设 ，则 ，即 ，所以 .OPr2l1r21,0,4lSr（2）设 .由余弦定理，得 ,所以 ,所,CaDb22coslab2coslab以 ,当且仅当 时， “=”成立.所以21coslba,即 .22sini241co4tOCDllSa 24tanlS答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.
