1、“七年级数学上册 3.1 列代数式导学案 华东师大版 “【目标概览】本节内容是初中数学代数部分的引入，是“有理数”一章中部分内容的扩展与飞跃，由数的运算扩展到代数式的表示，从而进行代数式的有关运算，结合新课程标准，同学们在学习过程中要仔细体会以下几点：1、体会用字母代替数的一般规律和简捷性，掌握用字母表示数的方法，在探索现实世界数量关系的过程中，建立符号意识。2、了解代数式的概念，会列代数式表示简单的数量关系。3、了解字母表示数的意义，知道用字母表示数是代数式的一个重要特点。4、了解代数式的意义，知道一个代数式所表示的数量关系，理解代数式书写的注意事项。5、理解代数式与数之间的特殊关系，它们是
2、一般与特殊的关系，它从另一角度体现了本节知识与上章知识之间的特殊联系。6、体会代数式在生活实践之中的具体运用，熟练掌握对利用代数式，对上整数、奇数、偶数，简单几何图形的周长、面积等代数表示，对生活中的商品交易、行程、工程等简单应用问题的代数分折。【思考交流】同学们，请注意观察下列的日历，你会发现任意圈出一竖列上相邻的三个数，它们之间特殊的数量关系，如果设中间的一个数为 a，那么它们的和是多少呢？随着计算机技术的迅猛发展，计算机价格不断降低，某品牌计算机原售价 m 元，春节优惠售宾降价 20%，那么它现在售价应为多少元？历史上有一个著名的“养兔问题”是意大利数学家斐波那契提出的，假定现有一对小兔
3、，1个月后长成一对大兔，这对大兔 1 个月后生了一对小兔，此后每对小兔经过一个月又长成 1 对大兔，而每对大兔每月又生一对小兔问一年后，有多少对兔子？我们可以计算出各月兔子的对数分别是 1，1，2，3，5，8，13，21，你会求出第 12 个月时兔子的对数吗？所有这些疑问，你将会在本节内容列代数式中找到答案，让我们一起用代数式来解决生活中的数学问题吧。【学法指津】本节内容可采用以下方法提高学习效率：1、表格法：先用表格把数学问题用表格的形式把它们的对应的数量关系表示出来，然后仔细分析它们对应的数量关系之间的规律性。2、类比法：联系具体的数的运算进行类比，其实代数的表示与数的运算之间是紧密联系的
4、，通过数量之间的关系来理解代数式的方法对列代数式是很凑效的。3、公式法：生活中的数学问题是有规律可寻的，如特殊图形的周长、面积、行程问题、工程问题的理解与应用，它们问题中的量与量之间是规律，可以有效地帮助我们提高学习效率。【知识导学】按照新课程标准，本节主要有以下知识点（含重点、难点） ，我们进行归纳、透析如下，以利于我们加深理解，完善知识体系。知识点一：如何用字母表示数？用字母表示数，是人类认识上的一个飞跃，是代数与算术的一个重要区别，它使我们可以更一般地去研究和解决许多数量关系问题。这一部分是初中代数的引入，在小学数学中，已经渗透了有字母表示数的思想，这一节既是小学数学知识的延伸，也是本章
5、知识的引入，它的地位非常重要，需引起同学们足够的重视。同学们在理解“测试皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系”时，对数据必须进行仔细分析，你会发现皮球的弹跳高度是下落高度的一半，这里的“一半”就是数学上的量与量的关系，简称数量关系。运用此数量关系可以依据下落高度，求出皮球的弹跳高度，也可以依据弹跳高度，反过来求出它的下落高度。同学们在理解“用字母表示加法的交换律与乘法的交换律”时，则是根据加法交换律与乘法交换律的意义进行理解。加法的交换律是：交换两个加数的位置，它们的和不变，则 a+b=b+a，同理理解乘法的交换律。同学们在理解“用字母来表示特殊图形的周长与面积”时，要熟悉它们的基本公式，根据公
6、式来进行判断。同学们在研究“数列的和”的规律时，要深刻理解一列有限的、具体的特殊数组之和与一列无穷的特殊数组之和之间的联系，找出它们的规律性，从而使它们更具有普遍意义了。在学习过程中，同学们更应关注代数式在生产生活实践中的应用，商品经济、改造环境、行程工程等问题中所用到的代数式不胜穷举，应多体会代数式的应用与中学数学阶段的方程与函数联系极广，必须引起足够的重视。如何用字母表示数的重点是体会用字母表示数的思想，理解用字母表示数的意义；难点是用字母来表示特殊的数（如奇数、偶数等） ，或用字母来表示特殊的几何图形的周长与面积等等。能力拓展：你能用字母表示奇数、偶数吗？你能用字母表示乘法的分配律吗？你
7、能用字母表示互为相反数之间的关系吗？知识点二：代数式的意义了解代数式的意义，了解一个代数式所表示的含义，通过学习代数式的概念及一些简单的代数式所反映的数量关系，理解代数式是代数里的基本概念之一，从而让我们建立起代数的数学思想，这一节知识让我们对一些生活中的实例进行简单的分析，从而用代数式来表示，还必须运用我们的生活经验对一些代数式作出具体的解析，体现了学习的多元化及思维的多角度。同学们在此过程中可合自作交流，也可以自主探究，对某一个代数式进行全方位的审视，尤其要进行多角度的研究。我们已经研究的如：16n， ，2a+3b， b，a，b，a+b，ab，a 2，(a+b)2，15，5050， ，5x
8、，等式子，我们称它们为代数式；我们在此并未提出代数式的严格定义，2)1(n而是从实例出发，提出“象这样的式子称为代数式” ，它仅仅是一种描述性定义，同学们不宜硬化这种定义，但必须理解尤其是结合实例进行分析理解。我们在提出代数式的定义后，要求我们应用所学过的特殊的数量关系来理解一些基本的简单的实际问题的代数式的表示方法，同学们必须注意：特殊的图形的面积与周长的公式；理解应用题中文字所包含的信息，如：“小强在小学六年中共攒了 a 元零用钱，上中学后买文具用去 b 元，剩下的钱是多少”这里的特殊的数量关系为，剩下的钱=共攒的零用钱上中学后买文具的钱。理解应用题中所涉及的一般规律，如“某机关工作人员
9、m，要精减 20%的工作人员，则有_人被精简。 ”这里的特殊的数量关系为：被精简的人数=20%工作人员总数。同学们在运用自己的生活经验对某些代数作出具体解释时，思维的广度应尽量宽泛，只要求理解得合理即可，但必须有实际意义，脱离实际的空想是不行的，如“a-b”这一代数式所包含的意义，我们课本中描述为“今年小明 b 岁，小明爸爸 a 岁，小明比他爸爸小（a-b）岁。 ”同学们也可以这样描述“一部书稿共 a 万字，小张已打完 b 万字，还有多少万字未打完？”学习本节必须注意的问题：代数式中出现的乘号，通常写 “”或省略不写，如 6b 常写作 6b 或 6b。数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如 6
10、b 一般不写作 b6。除法运算写成分数形式，如 1a 通常写作（a0） 。思维升华：代数式的意义在于代数式可以更加深刻地反映数学中的量与量的关系，它可用一般的关系来表示生活中的普遍规律，同学们在学习代数式的过程中要体会并加以运用。知识点三（重点）：如何列代数式本节要求能用代数式表示涉及简单的数量关系。列代数式是本章的重点内容，要用代数方法解决数量关系问题的基础，因而它贯穿在后续内容的学习之中，特别是在代数式的运算，解方程和不等式，函数等部分内容应用得更加广泛。在我们课本中，对列代数式的学习要求是逐步提高的，在上一小节为巩固代数式的概念，已涉及到一些最简单的代数式。在本小节中，列代数式的训练也只
11、涉及一些简单的数量关系，而在以后的学习中，还要不断地进行列代数式的训练，不断提高我们的数学素养及能力。列代数式，既是学习的重点，又是学习中的难点。正确列出代数式，关键有两点：一是要正确理解问题中的数量关系、特殊，要弄清楚问题中的和、差、积、商与大、小、多、少、倍、几分之几等词语的意义；二是要弄清楚问题中的运算顺序，特别要掌握先乘除，后加减的原则。在本小节中，课本中安排了例 4、例 5 两道例题，通过列代数式的学习，进一步掌握列代数式的方法与技巧，因此请注意：例 4 的理解要求比较低，同学们可以对一些基本的数量关系进行分析，即可理解，但同时也必须注意“大、大 10%”“运算顺序” “倒数”等关键
12、词语的理解，也可进行延伸理解， “相反数”“绝对值” “增长率”如果出现在题目之中，也要进行充分的理解。例 5 是纯数学上的代数式表示，它是工具，以后我们学习过程中要经常使用它，要对文字所包含的信息作仔细的分析及整体感知，为以后的这习作好铺垫，它也是一种渗透性知识的积累，使我们在以后学习中不致感到来得很突兀。思维升华：你能表示出“a、b 两数差的平方”吗？你能表示“a、b 两数的平方和减去它们积的 2 倍吗？”试探求这两个代数式之间的关系。【技巧解悟】一、考查用字母表示数的方法例 1：用代数式表示：比 a 大 2 的数；比,m 少 20%的数；是 x 的 3 倍的数；比 y 多 2 倍的数。解
13、析：注意用数学符号表示关键词“多” 、 “少” 、 “倍” 、 “几分之几”等。答案：a+b m-20%m 3x y+2y例 2：用代数式表示奇数 偶数 被 3 除余 1 的数 被 3 除余 2 的数 不能被 3 整除的数 能被 3整除的数解析：用字母表示数的方法，关键要了解数本身所包含的性质，本题要深刻了解奇数、偶数、被 3 除的余数的性质。答案：2n+1 2n 3n+1 3n+2 3n+1 3n二、考查代数式的意义例 3：下列选项中符合代数式书写要求的是（ ）A.ay3 B.2cb2a C. D.abc42ba解析：同学们在书写代数式时要注意：代数式的书写必须注意：系数放到字母的前面；系数
14、不能使用带分数，是带分数的要用假分数的形式；字母之间的乘除法乘法用小圆点或不用乘号也不用上圆点，除法用分数形式来表示。答案：C例 4：用代数式表示x 与 y 的差的一半；a、b 两数的平方和的 3 倍；m 除 n 的商与 m、n 的积的和；c、d两数的立方和；x、y 两数的倒数的和。解析：“和” “差” “积” “商” “平方” “倒数”与对应运算符号的关系，复杂的可分步进行，如将“x 的与 y 的 3 倍的差”写成代数式：第一步：（x 的）（y 的 3 倍）第二步：3y这体现了一种思维，其实解题过程就是同学们的思维水平，解题其实就是将你的思维过程反映在作业本上、试卷上，思维过程越严密，解题过
15、程就越完善。答案： 3（a 2+b2） +mn c 3+d3 +2yx例 5：写出下列代数式的意义 3x+b (x+y)(x-y) 2a+b 2ba1解析：语言要简单，明确答案：a 与 b 的差的倒数；x 的 3 倍与 b 的和；x+y 与 x-y 的积或 x、y 两数的和与这两个差之积；a 的 2 倍与 b 的平方之和。三、考查“如何列代数式”例 6：一件夹克标价 a 元，现按标价的 7 折出售，则售价用代数式表示为_元。解析：“打折”是商业中常用的词， “7 折”就是“0.7 倍”或“70%” ， “七五折”就是“0.75倍”或“75%” ，其余以此类推。答案：0.7a例 7：银行一年期的
16、存款利率为 1.98%，到期后需向国家交纳利息税 20%，那么存入 a 元钱一年后，可领回本息和为_元。解析：银行存款规律为本金存入后本金生息，到期后可取回的分本金及利息两部分的和，但利息部分要向国家交利息的 20%的税，实质领回的只有本金加上所得利息的 80%。答案：a+1.98%a80%，简化为 a+1.98%80%a【能力拓展】综合题：例 1：某种商品进价为 a 元/件，在销售旺季，该商品售价较进价高 50%，销售旺季过后，又以 7 折（即原售价的 70%）的价格对该商品开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ）A.1.5a 元 B.0.7a 元 C.1.2a 元 D.1.05a 元解析：
17、这是生活实际中的增长率问题，同时注意打 7 折是对售价的打折。进价 a 元/件，售价为（1+50%）a 元。现在（1+50%）a 基础上打 7 折，即（1+50%）a70%元。答案：（1+50%）a70%，化简为 1.50.7a，即 1.05a 元/件。方法规律：解决增长率问题时，要对增长率的定义有所理解，如 2003 年产量 a 万件，2004 年比 2003 年增长 x%，2005 年计划比 2004 年也增长 x%，则 2005 年产量为：a(1+x%)(1+x%)，即a(1+x%)2。创新题：例 2：观察下列数表：1 2 3 4 第 1 行2 3 4 5 第 2 行3 4 5 6 第
18、3 行4 5 6 7 第 4 行第 第 第 第一 二 三 四列 列 列 列根据数表所反映的规律，第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为（ ）A.2n-1 B.2n+1 C.n2-1 D.n2解析：第 1 行第 1 列交叉点数为 1；第 2 行第 2 列交叉点数为 3；第 3 行第 3 行交叉点数为 5；第 n 行第 n 列交叉点数为 2n-1。其实我们经过分析，第 1 行第 1 列，第 2 行第 2 列，第 3 行第 3 列，第 n 行第 n 列形成一个数组 1，3，5，7，9，2n-1答案：A方法规律：我们对一组数据或一列数据或一个数据或一个数阵进行分析时，不要匆忙动手，先进行细致分析，体会
19、数阵所蕴含的重要信息，然后按图索骥，则有山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村之感。例 3：将正整数 1、2、3、4、5、按以下方式排放：1 45 89 1223 67 1011则根据排放规律，从 2002 到 2004 的箭头依次为（ ）A. B. C. D.解析：定义 为 为* 为+ 该排列变形为：123456789101112符号规律为“”循环发现，循环周期为4，20012005 之间符号规律为 20012002200320042005，故 2002 到 2004 的箭头依次为答案为：B经验技巧：把图形符号置换成运算符号，更接近学生生活实际，这就是数形结合或数学模型的转换思想。探索题：例 4：按
20、下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？x 平方 +x x -x 答案填写表格内空格输入 x 3 2 -2 输出答案 1 1 发现的规律是：_；用简要的过程证明你所发现的规律。解析：根据运算程序对于输入的 x，答案为 -x=1（x0）x2其实不必要就空表格中所提示的输入的 x 的值 3，2，-2，一一地代入运算程序中进行计算。答案：填入的数为 1；发现的规律为：输入的一个非零实数的结果都是 1；设输入的数为 x（x0） ，则 -x=x+1-x=1x2误区警示：运算的过程必须严格应用运算的程序。【探究体验】探究题：例 1：观察下列各式：910=9，921=1
21、9，932=29，943=39，你能写出第n 个式子吗？（n0）解析：根据观察，特殊等式发现规律答案：第 6 个式子为 965=59；第 n 个式子为 9n(n-1)=10n-1。方法规律：根据特殊式子寻找其中所包含的规律，尤其注意 n 的代数性及 n 在等式中所代表的意义。例 2：观察下列各正方形图案，每条边上有 n（n2）个圆点，每个图案圆点的总数为 S，按此规律推断 S 与 n 的关系式为_。 n=2 n=3 n=4S=4 S=8 S=12解析：n=2,S=2 2-02；n=3,S=3 2-1；n=4,S=4 2-22；n=5,S=5 2-32；第 n 个等式即 S 与 n 之间的关系为
22、 S=n2-(n-2)2，可以把 S 假作为一个边长为 n 的大正方形面积减去一个边长（n-2）的小正方形面积。答案：S=n 2-(n-2)2实践真知：通过实践，我们还可以得出 4n-4 或 4（n-1）的答案，这是单纯地从 n 与 S 之间的特殊的数量关系而得出的，同学们，不论哪一种方法均符合本题的题意，但我建议同学们多从几个角度来考虑问题，使我们的解题方法更加多元化，那么我们的思维会更加开阔，视野会更广。例 3：观察下列各等式：+ =2； - =2； - =2； - =2；4264534714012依据以上各式成立的规律，在括号内填入适当的数，使等式 + =2 成立。40解析：发现是创新的
23、前提，本题要求同学们用归纳方法从具体特殊的事实中探究其存在的规律，把潜藏在表面现象中的本质挖掘出来，当规律被找出并给予证明后，即是完成了一个创新的过程，因此，认真分析此题的变化规律，不难发现等式左边的分子有 2+6=5+3=7+1=10+（-2）=n+(8-n)=8，于是，可得出规律性等式：（其中：n4）248484 nnn当 n=20 时，有等式 + =2 成立。201答案：填空为-12【习题解疑】P88 练习1、解析：体会用字母表示数的思想，分别根据乘法的定义、周长的定义、面积的公式分别解（ ）（ ）-4决这三个问题，但要注意第 3 题是 4 个扇形合成一个园形。答案：12n 3a+4a+
24、5a r 22、解析：根据题中给出的特殊等式，仔细体会 4984 这个数，5 在千位，9 在百位，8 在十位，4 在个位。答案：5984=510 3910 28104P90 练习1、解析：盐水浓渡= 100%盐 水 的 质 量盐 的 质 量盐的质量=盐水质量盐水浓度故此盐水中含盐 a10%，即 10%a答案 10%a解析：此题为计算 n 个数的平均数：公式为： aa21答案为： ，化简为 环578053a解析：这是一道典型的追及问题：它有一个特殊的计算公式：追及时间= 速 度 差追 及 路 程答案：甲追上乙需 小时ba82、解析：本题是一道开放性问题，每一个代数式允许有各种不同的审视角度。答案
25、：甲、乙两工人为完成一项生产任务，甲每小时做 a 件，乙每小时做 b 件，他们合作2 小时完成多少件？小康村村民 1979 年人均收入为 x 元，1999 年人均收入比 1979 年翻两翻，而 2004 年入均收入又比 1999 年增加 x 元，则 2004 年小康村村民人均收入多少元？甲乙两地相距 Skm，汽车每小时行驶 60km，则小车从甲地到乙地需要多少小时？某储水池容积为 50m3，有甲、乙两个入水处，甲入水速度为 am3/分，乙入水速度为 bm3/分，则甲、乙两处同时进水，多长时间可将储水池灌满。P92 练习1、(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c)=a
26、b+ac2、解析：仔细分析表格中所给出的所挂重物重量，弹簧伸长量，弹簧高长度之间的对应关系：可以发现弹簧伸长量的数值是所挂重物的数值的一半，则当所挂重物为 n 时，弹簧伸长量为（cm） ，经过分析还可发现弹簧本身的长度为 10cm，则当挂重物为 nkg 时，弹簧伸长量为 cm，弹簧总长度为 10+（cm） 。答案：填写，10+3、解析：所有偶数即能被 2 整除，记作 2n，则能被 5 整除记作 5n答案：5n4、解析：每排 3 个班，每班 10 人，则每排 30 人，而初一年级共分 n 个排，则初一年级一共有 30n 个人。答案：30n解析：共青团是等于第一团小组与第二团小组人数之和m=x+第
27、二团小组人数 第二团小组人数为（m-x）个答案：m-x解析：根据生活实际来进行计算答案：共有头：a+b 个；共有脚：2a+4b 只解析：捐款人数= 平 均 捐 款 数捐 款 总 额答案：人5、解析：对代数式给出生活经验的模型，这是新课程标准赋予我们的新篇章，应认真体会。一项工程，要铺设石油管道 a 千米，甲、乙两个工程队平无速度为 b 千米/月，他们合作 2个月还余下多少千米的管道需要铺设？2004 年黄冈市工农业总产值为 a 万元，预计 2005 年增长率为 P，则 2005 年工农业总产值是多少？6、3a+b -y7、解析：充分利用我们已有的计算公式及生活经验来解决问题。答案：r 2h 2
28、（ab+bc+ca） m（1-P%）mnPabS8、解析：从表中可以发现绝对温度与摄氏温度的差均为 273.16答案：当摄氏温度为 t时，绝对温度为（t+273.16）K9、解析：东西两面各有 m 排，每排 n 个座位，共有 2mn 个座位。中间的排数为 m 排，每排有 P 个座位，共有 mP 个座位。答案：2mn+mP自主评价：第 1 节列代数式一、基础题：1、用代数式表示“比 m 的平方的 3 倍大 1 的数”是_。2、一件夹克标价为 a 元，现按标价的 7 折出售，则售价用代数式表示为_元。3、观察下列一组式子：3 2+42=52，5 2+122=132，7 2+242=252，9 2+
29、402=412，猜想一下，第n 个式子是_。4、观察下列顺序排列的式子：901=1 912=11 923=21 934=31 945=41，猜想第 n 个等式（n 为正整数）为_。二、拓展题5、观察下列一列有规律的数， ， ， ， ， ，132435486根据其规律可知第 n 个数应为_（n 为正整数） 。6、有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度，从中先取出 1 米长的电线，称出它的质量为a，再称出其余电线总质量为 b，则这捆电线的总长度是_。7、有一棵树苗，刚栽下去时，树高 2.1 米，以后三年每年长 0.3 米，则 n 年后的树高为_米。8、随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的手机市话
30、费收费标准按原标准每分钟降低了 a元后，再次下调 25%，现在收费标准是每分钟 b 元，则原收费标准为每分钟（ ）元。A.（b-a）元 B.（b+a）元 C.（b+a）元 D.（b+a）元9、某音像社对外出租光盘的收费办法是：每张光盘在租出后的头两天每天收 0.8 元，以后每天收 0.5 元，那么一张光盘在租出后第 n 天（n2，n 为正整数） ，应收租金_元。10、某种品牌的彩电降价 30%以后，每台售价 a 元，则该品牌彩电每台原价应为（ ）元。A.0.7a 元 B.0.3a 元 C. 元 D. 元3.07.0a【资料交流】1、代数式简介代数式中的字母可以取很多值，用给定的数值代替代数式中
31、的字母，计算后得的结果，叫做代数式的值。代数式可以分很多种，代数式的引进，是代数从算术中独立出来的关键，用代数式来运算，可以概括更多的内容。最早运用代数式的，据说是古希腊亚历山大亚时期的丢番图。2、数学魔鬼辞典数学大师华罗庚教授很善于用比喻、比拟等方式来谈对数学知识的感受，他撰写的论文数学优选法的语言生动形象。如：其中一种优选法就是用“瞎子爬山法”未命名的。这种独到的感受是理性与情感激起的浪花，是兴趣发展到极致的一种自然流露，这种着魔般的境界是数学家必备的特殊品质。下面提供的是一些并不严密却也不失中肯的“魔鬼辞典”式的语言，希望对同学的学习数学兴趣的培养有所帮助，同时也是对同学们理解不清，重视不够，印象不深的地方的一个变相强调。表示数的字母具有“生命活性”的数括号代数式的“包装”乘法公式只是一个“主角”和一个“配角”的小品分式分母为零超级“癌症”统计知识数据的“社会学”几何图形物体的“黑白照片”平行几何学中无处不在的幽灵判定对“特殊印记”的识别等式性质一碗水端平有理数加法法则同号两数相加“同姓一家”异号两数相加“冤家相斗”添前面带“+”的括号“天使的关怀”添前面带“”的括号“恶魔附体”用算术方法解应用题由“黑暗中摸索”到“冲破黎明前的黑暗”解应用题时，设未知数，列代数式“粉墨登场”列方程求解“阳光操作”
