1、2017届河南省豫北名校联盟高三上学期精英对抗赛数学（理）试题 数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数 ，则 （ ）5log,0()2xf1()25fA B4 C-4 D1 42.复数 （ 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ）2izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 和实数 ，输出 ，则（ ）(2)N12Na， ， ， AB，A 为 的和 B12Na， ， ，B 为 的算数平均数 ， ， ，C 和 分别是 中最大的
2、数和最小的数 12Na， ， ，D 和 分别是 中最小的数和最大的数 A， ， ，4.设 ，则 “ ”是“ ”的（ ）,abR22loglab1abA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.若将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，再将所得图象沿 轴sin(6)4yx x向右平移 个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ） 8A B C. D(,0)16(,0)9(,0)4(,0)26.已知实数 满足不等式组 ，若目标函数 的最大值不超过 4，则实数xy， 21,0xymzxy的取值范围是（ ）mA B C. D(3,),33,3,7.
3、已知函数 ，当 时， 的概率为（ ）(sincosfxx0()1fxA B C. D13141528.已知函数 是 上的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则 （ ()fxRx21()3xf2(log3)f）A1 B C. D045129.已知 的外接圆半径为 1，圆心为点 ，且 ，则 的值为（ ）CO3450ABOCABA B C. D8575510.设函数 ，若函数 在 处取得极值，则下列图象不可能2()(,)fxabcR()xyfe1为 的图象是（ ）yA B C. D11.已知在正项等比数列 中，存在两项 满足 ，且 ，则 的最小na,mna14mna6542a1mn值是（ ）A B2
4、C. D37325612.已知 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等式()fxR()fx()1fx(0)216f（其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）2015feAeA B C. D(,)(,)(0,)(2015,)(,)(5,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ，向量 ，则 _.(1,)a(1,2)b()abA14.已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是_.240xax15.若某多面体的三视图如图所示（单位： ）则此多面体的体积是_ .cmcm16.已知圆 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半
5、径的2:8150Cxy2ykx圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围为_.k三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ，且 成等比数列.na520S137,a（1）求数列 的通项公式；na（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.nT1n *nN10nTa18. （本小题满分 12 分）中国好声音（The Voice of China） 是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于 2012 年 7 月 13 日正式
6、在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中，6 位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率；（2）记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 ，求 的分布列及数学期望 .X()EX19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 为 的重心， .1ABCGABC13EBC（1）求证： 平面 ；/GE（2）若侧面 底面 ， ， ，求直线 与平面1
7、16012A1AB所成角 的正弦值.1B20. （本小题满分 12 分）已知点 是椭圆 上任一点，点 到直线 的距离为 ，到点 的距离为 ，且PCP1:2lx1d(,0)F2d.直线 与椭圆 交于不同两点 （ 都在 轴上方） ，且 .21dl AB、 ,x180OAB（1）求椭圆 的方程；（2）当 为椭圆与 轴正半轴的交点时，求直线 方程；Ayl（3）对于动直线 ，是否存在一个定点，无论 如何变化，直线 总经过此定点？若存在，求出该定l OFAl点的坐标；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分 12 分）已知函数 .()ln()fxaxR（1）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；y1,
8、f32yxa（2）若函数 有两个零点 ，试判断 的符号，并证明.2()gxfkx1,12()xg请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.xOyC4cos2inxy（1）求曲线 的普通方程；C（2）经过点 （平面直角坐标系 中点）作直线 交曲线 于 两点，若 恰好为线段的三(2,1)MxOlC,ABM等分点，求直线 的斜率.l23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()|1|fx（1）解不等式 ；(4)8fx（2）若
9、， ，且 ，求证： .|a|b0a()|()bfaf名校联盟高三年级精英对抗赛数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5:ABCAD 6-10: DDCCD 11、12：AB二、填空题13.1 14. 15. 16.(,1)(3,)564,03三、解答题17.解：（1）设数列 的公差为 ，则nad即 2 分121540,()(6)ad124,.a又因为 ，所以 4 分,.ad所以 .5 分1na（2）因为 ，11()22nnn即存在 ，使 成立.9 分*nN2()n又 ， （当且仅当 时取等号） ，214()()n146()n2n所以 .6即实数 的取值范围是 .12 分1(,618
10、.解：（1）设 6 位选手中， 有 4 位导师为其转身， 有 3 位导师为其转身， 有 2 位导师为其A,BC,DE转身， 只有 1 位导师为其转身 .F从 6 人中随机抽取两人有 种情况，2 分2615C其中选出的 2 人导师为其转身人数和为 4 的有 种，3 分213C故所求概率为 .5 分315P（2） 的所有可能取值为 3,4,5,6,7.7 分X；126(3)C；1(4)5PX；2613C；126()5PX.9 分126(7)C所以 的分布列为X10 分.12 分23532()46751511EX19.证明：（1）连接 ，并延长 ，交 于点 ，过 作 ，交 于点 ，分别连接CGABO
11、G/DABCD.,D因为 是 的重心，所以 .1 分AB13DC又 ，所以 .13EC1/又据三棱柱 性质知 ，11/B所以 .2 分/DEB又因为 平面 ， 平面 ，1A11A所以 平面 ./又因为 ， 平面 ，GDE,DGE所以平面 平面 .3 分/1AB又因为 平面 ，所以 平面 .4 分/E1（2）连接 .AO因为 ， ， ，12A1OAB160所以 ，21cos3AB所以 ，所以 .2 1因为侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，1ABC1CAB1O1AB所以 平面 .O因为 ， ，所以 是等边三角形，60AB所以 .6 分CAB以 为原点，分别以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标
12、系，1,Oxyz则 ， ， ， ， ，1(0,3)(0,)3(,0)G1(,23)B1(,3)C所以 ， ， ， ，1(,)AB1(,)B1(,0)(,10)GB所以 .8 分13(0,)3GEC设平面 的一个法向量为 ，则1B(,)nxyz10,nBGEA所以320,.xyz令 得 ，10 分3z(,13)n所以 .1127cos,|AB所以 .即直线 与平面 所成角 的正弦值为 .12 分1in|,|71AB1GE2720.（1）设 ，则 ， ，1 分(,)Pxy1|2|dx2()dxy ，化简，得 ，椭圆 的方程为 .3 分221|d21C21xy（2） ， ， ，4 分(0,1)A(,
13、)F10()AFk又 ， ， .80OBB:1()1yx代入 解，得 （舍） ，6 分21xy,1xy4,3,xy(,)B， .即直线 方程为 .7 分3420()ABk:2ABxl12yx（3） ， .180OF0AFBk设 ， ，直线 方程为 .代直线 方程 入 ，得1(,)Axy2(,)BABykxbABykxb21y.9 分210kkb ， ， =12x21bxk1212AFBykxbkx，12211()()0kxbkxb 212211212 21()()() ()01bkbkxkxkxbxk ，11 分0b直线 方程为 ，AB(2)ykx直线 总经过定点 .12 分l,0M21.解：
14、（1） ，又 .2 分()1afx(1)3f所以 .3 分2a（2）函数 的定义域是 .4 分()g(0,)若 ，则 .022)xfkx令 ，则 .()又据题设分析知 ，k ， .10x2又 有两个零点，且都大于 0，()g ，不成立.5 分a据题设知2112()ln,0xaxkg不妨设 ， ， .6 分112tx所以 . 1211212(ln)()xakxx所以 .7 分2121x又 ，()agxk所以 12 12121212(ln) ()axxx.9 分121222lnln()()()lxatta tt A引入 ，则 .()l()tht2241()() 0tht所以 在 上单调递减.10
15、分t0,)而 ，所以当 时， .(1)h1t()0ht易知 ， ，2xt所以当 时， ；当 时， .12 分0a12()xga12()0xg22.解：（1）由曲线 的参数方程，得Ccos,4in,2xy所以曲线 的普通方程为 .3 分2164xy（2）设直线 的倾斜角为 ，则直线的参数方程为l1（ 为参数）.4 分1cos,in.xtyt代入曲线 的直角坐标方程，得C，6 分221111(cos4i)(4cos8in)0tt所以 7 分222111i,.cos4int由题意可知 .8 分12t所以 ，即 .9 分2 211sin6sic3os021630k解得 .47k所以直线 的斜率为 .10 分l623.解：（1） 1 分2,3,()4)|1|3|41,.xfxx当 时，则 ，解得 ；3x285当 时， 不成立；1()fx当 时，由 ，解得 .4 分3x所以原不等式的解集为 或 .5 分|5（2） 即 .6 分()|()bfaf|1|ab因为 ， ，|1|所以 ，9 分22222|1|(1)()(1)0abababab所以 .故所证不等式成立.10 分|
