1、2017 届江西师大附中高三 10 月月考数学（文）试题一、选择题1已知集合 ，则集合 B 不可能是（ ）|1,AxyAA 124xB ),(yC |sin,36xD )12(log2y【答案】D【解析】试题分析： ，1xyxA，故选 D)12(log2y【考点】集合间的关系2若等差数列 的前 7 项和 ，且 ，则 （ ）na721S2a6A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】试题分析： 解得 ， ，故21771aS 67162a7选 C.【考点】等差数列性质3已知 则 等于（ ） ,54cos,23)tan(A.7 B. 71C. D.71【答案】B【解析】试题分析：因为 所以34
2、,cos,253sin,ta.54,故选 B.tant1tan4tan() 34 714【考点】三角求值.4已知如图所示的向量中， ，用 表示 ，则 等于（ ）ABP3O、 PA BOB341 OA341C D B【答案】C【解析】试题分析：,故选 C.4414333OPAABOAOB【考点】向量的线性运算5已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在()fx0x()2)lnfxx()yfx点 处的切线斜率为（ ）(1,A. B. 21C. D.2【答案】B【解析】试题分析：当 时， ，则 ， 函数0xxxf12ln)( 1)(f是偶函数， ,故选 B.()fx1)(f【考点】偶函数的性质，导数
3、的运算6已知向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为（ ）ba与 2|baba与A. B. 3C. D. 3265【答案】C【解析】试题分析： 得 ，即 ，解得ba20 022ba，向量 的夹角为 ，故选 C.21cos与 3【考点】向量内积的运算7在 中，内角 的对边分别是 ，若 ABC,abc，则 等于（ ）12,sinisin2cabaCosBA B 343C D1312【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得 且 ， ，acb2122ab2224cosacbaB，故选 A.34【考点】正弦定理解三角形8已知数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则下列数中是3211,na 数列 中的
4、项的是（ ）naA16 B128 C32 D64【答案】D【解析】试题分析：，当 时，2112121231 nnnnnaa 4，故选 D.644【考点】等比数列、累乘法求通项公式9已知函数 是奇函数，其中 ，则函数 2sin()3fxx(0,)的图象（ ）cos()gxA关于点 对称,012B可由函数 的图象向右平移 个单位得到fx3C可由函数 的图象向左平移 个单位得到6D可由函数 的图象向左平移 个单位得到fx12【答案】C【解析】试题分析： 是奇函数且 为奇函数，sin()3fxxysin2则 为偶函数， ，解得 ，此时3sinxy 26，xf sin2i2)()cosgx，所以函数 可
5、由函数 的图象向左平移 个单位得到，故选sin23x)(xgfx6C.【考点】奇函数的性质，三角函数的变换10已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 .若直线na1dnnS与圆 的两个交点关于直线 对称，则数列mxy12)2(y 0dyx的前 10 项和为（ ）nSA. B. 10910C. D.82【答案】B【解析】试题分析：由题意可得直线 与直线 垂直，且圆mxay120dyx心 在直线 上，所以 ，所以数列 的前2,00dyx1,2na项和为 ，则 ，所以数列 的前 项和n1nSnSnnS10为 ，故选 B.121011230 【考点】直线与圆的位置关系，等差数列求和，裂项求和【
6、方法点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，等差数列的前 项和公式，裂项n求和等，属于中档题.本题中涉及的知识点和方法较多，首先从直线与圆的位置关系求出 ，再根据等差数列的前 项和公式求出 的表达式，也就得到了数列 的1,adnnSnS1通项公式，根据其结构特点，采用裂项法求出前 10 项的和，11已知菱形 边长为 2， ，点 P 满足 ， 若ABCD3BABR，则 的值为（ ）3PA.B.1212C.D.33【答案】A【解析】试题分析：设 ，则bBAaC,，解得 ，故选31122 baababCPBD 21A.【考点】向量的线性运算和内积运算【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算和数量积运
7、算，属于中档题.因为题中给出了菱形的变成和内角，因此考虑以菱形的两邻边为基向量建立平面的基底，通过向量的线性运算求出 的基向量表达式，把问题转化为向量的数量积运算，最后,BDCP结合数量积的定义和运算性质可以得到参数 的方程进行求解.12已知函数 ,若 ,且 对任意的 恒成立,lnfxxkZ2xf2x则 的最大值为（ ）kA B 34C D56【答案】B【解析】试题分析：由题设可得 ,令 ,则2lnxk2ln)(xh.令 .则函数 的零点就2/ )(ln4)xhgl4)(xgl4是函数 的极值点.设 并记极值点为 ,则 ,由y 0ln2x0x2ln0于 ,故 ,而且不难验证当3l45)9(,0
8、8ln24)( gg 980时, , 单调递减；当 时, , 单调递增,所0x/hxx)(/h)(x以 ,因此 ,由于24(2ln)( 0000min xx 0k且 ,所以 ,故应选 B.Zk9804mak【考点】导数与最值，恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题和导数的应用，属于中档题.题中要求不等式 对任意的 恒成立，所以 的系数 符号为正，可以2kxf2xk2x通过分离参数转化为求函数的 的最小值来求解，本题的难点是导函ln)(h数的零点不能直接求出，可设出其零点，再构造新函数来解答.二、填空题13 _16cos7434in2【答案】【解析】试题分析：16cos16cos
9、in330sin216cos7434in2 【考点】三角化简求值14设函数 ，则不等式 的解集为1,)(3xxf 2()fxf_【答案】 ,2【解析】试题分析：函数 在 上单调递增，则不等式 等价于)(xfR2(6)fxf，解得 .x263,【考点】函数的单调性，不等式的解法.15已知数列 满足 ，na1， ，类比课本中推导等比数列前1()2na2nnSaa项和公式的方法，可求得 =_13n【答案】【解析】试题分析：通过“错位相加法” ，nn aaS22211321 22 nn aaS根据 ，)(nS.【考点】类比推理、数列的递推公式和数列求和【方法点睛】本题主要考查了类比推理、数列的递推公式
10、和数列求和，考查了考生的分析问题和发散思维能力，属于中档题.题中明确提出类比“类比课本中推导等比数列前 项和公式的方法” ，也就是“乘公比错位相减法” ，但这里给出的递推式n是相邻两项和的形式，因此把 乘公比后不1()2na 21nnSaa是相减，而是相加才能应用递推式.16等腰 的顶角 ， ，以 为圆心， 为半径作圆， 为ABC323BCAPQ该圆的一条直径，则 的最大值为_QP【答案】 32【解析】试题分析：，2APBCAPBAPCBCQP 21cos, 1BACAPCBAPCB3，所以 的3Pcos32Q最大值为 .32【考点】向量的数量积.【方法点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及其
11、在平面几何中的应用，属于中档题.因为题目给出了三角形的腰长和夹角，所以建立平面的基底，通过线性运算和数量积的运算性质把 转化为 ，再根据向量积的定义最终化为两向量BPCQ3AB夹角的函数关系，最后根据向量夹角的范围求出最大值.,A三、解答题17在 中， 分别是角 的对边，BC,abcABC、 、 ,sin3,i2cosAAmsin,o2sinA（1）若 且角 为锐角，求角 的大小；m/（2）在（1）的条件下，若 ，求 的值.,54cosB7a【答案】 （1） ；（2） .4Aa【解析】试题分析：（1）由 可得 ，角 为锐角， ；（2）在nm/2siA4A中，已知 的三角函数值，可求得 的值，再
12、由正弦定理可得 的值.BCB， Cna试题解析：（1） ， ，解得/2sin3sicosico2sinA又角 为锐角， 4（2） 在 中， 则 ，ABC54cos3inB102sincoscos ABC，由正弦定理得 ，解得1027sin2107a5【考点】向量的平行关系，正余弦定理.18如图，已知海岛 到海岸公路 的距离 ， 间的距离为ABCkmA50CB,，从 到 必须先坐船到 上的某一点 ，航速为 ，再乘汽车到km350 Dh/2，车速为 ，记 Ch/D（1）试将由 到 所用的时间 表示为 的函数 ；t)(t（2）求由 到 所用的时间 的最小值.A【答案】 （1） ；（2） .2cos(
13、)3in6t3【解析】试题分析：（1）用 表示出 与 ，从而可以表示出 ，由路程除以ADBDC速度得时间，建立起时间关于 的函数即可；（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出 时，由 到 所用的时间 最少3ACt试题解析：（1）在 中， ， ，BRt50则 ，an50tBDsini 26sico23ta1si22)( （2） 令 得,inco12t ,0)(t0,c3当 时， 函数 在 上单调递减,0,0)(t)(t3,0当 时， 函数 在 上单调递增2,3,)(t)(t2,当 时， 取得最小值t32【考点】解三角形的实际应用，导数与最值19如图，在直三棱柱 1ABC中， 12=ACB，且
14、1AC（1）求证：平面 1ABC平面 ；1（2）点 D在边 上且 ，证明在线段 1B上存在点 E，使 D/平面3A1ABC，并求此时 的值.1BE【答案】 （1）证明见解析；（2）当 时， DE平面 1ABC31B/【解析】试题分析：（1）发掘线面垂直关系证明面面垂直；（2） 在 中利用1相似得 ，平行四边形 中 ，两组相交直线分别平行可得平1/ACDFA1F/面 E平面 B，则有 ED平面 BC./试题解析：（1）证明：在直三棱柱 1中，有 1A平面 BC. 1AC， 又 1A， A 又 BC1A 1C，A 1C平面 ABC1 ，则平面 ABC1平面 A1C （2）当 时， DE/平面 1B
15、C31B在 1A上取点 F，使 ，1A连 EF，FD， EFAB, D 1C , 即平面 EF平面 B，则有 E平面 1ABC. 【考点】空间中的平行与垂直20已知函数 xfln)(（1）求函数 在点 处的切线方程；)1(,f（2）若方程 在区间 内有唯一实数解，求实数 的取值范围.mxf)(2,em【答案】 （1） ， （2） 1xy2,1em【解析】试题分析：（1）导数值即为该点处的斜率，点斜式可得切线方程；（2）分离变量，将原方程解的个数转化为直线 与函数 的交点个数，再yxgln)(求导得函数 的单调性与草图，即可求得实数 的取值范围.)(xg试题解析：（1） , , 切线方程为xf1
16、2)(fk，即)(2xy2y（2）由题意 在区间 内有唯一实数解,令 ，xmln21exgln)(,1ex解得 , 函数 在区间 上单调递增，在区间0l)(2xgex)(xge,1上单调递减2,e又 ， ,1)(g)1()(2ge2,em【考点】导数与切线，导数与零点21已知等差数列 na的前 项和为 nS， N， 35a， 10S.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 nb的前 项和 nT.2sinab【答案】 （1） ；（2） 1n2433nnTn， 为 偶 数， 为 奇 数【解析】试题分析：（1）设出等差数列的首项及公差，解方程组可得 na的通项公式；（2）从 的取值容易发现数列
17、 nb需分奇偶讨论，再结合分组求和可得2sinnb的前 项和 T.试题解析：（1）设等差数列a n的公差为 d，由题意，得 解得125091ad所以 .12ad1n（2）因为 ， 当 为奇数时，2sin)12(sin212 abnnn 1si当 为偶数时，n02si当 为偶数时， nT32951253 nn 342)1(4)(2nn当 为奇数时， nTnb1)12(323211 nn42n综上：2334nn nT， 为 偶 数， 为 奇 数【考点】等差数列的通项公式、数列求和、分类讨论思想【方法点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、数列求和、分类讨论思想，属于中档题.首先通过解方程组求出基本
18、量 ，即得数列 na的通项公式；把（1）的结1,ad论代入 可得 ，列举可发现当 为nb 2si)2(sin22 nan n奇数时， ，当 为偶数时， ，也就是说 随 的奇偶性发生si1i0nb变化，所以按 的奇偶性讨论进行求和.22如图，已知抛物线 ： ，过焦点 斜率大于零的直线 交抛物线于 、C24yxFlA两点，且与其准线交于点 BD（1）若线段 的长为 ，求直线 的方程；A5l（2）在 上是否存在点 ，使得对任意直线 ，直线 ， ， 的斜率始终成MlMADB等差数列，若存在求点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）存在点 或 ，使得对任意直线 ，直线20xy(1,2
19、)M(,)l， ， 的斜率始终成等差数列MADB【解析】试题分析：（1）设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在点 ，利用等差中项和恒成立判定是否有解.2,a试题解析：（1）焦点 直线 的斜率不为 ，所以设 ， ，(1,0)Fl0:1lxmy1(,)Axy由 得 ， ， ，2(,)Bxy214xmy24y12424， ，21212()4m2122()6 ， 直线 的斜率 ， ，212| 5Ax4l24k0k， 直线 的方程为 kl20xy（2）设 ， ，同理 ，2(,)Ma112214MAakya24MBkya，21MDmka直线 ， ， 的斜率始终成等差数列， 恒成立，
20、即AB2MDABkk恒成立21244amya212amya，把 ， 代入上式，得122 22()4ya124124恒成立， 存在点 或 ，使得对任意直线 ，(1)0am(,)M(,)l直线 ， ， 的斜率始终成等差数列 MADB【考点】直线与抛物线的位置关系【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系、等差中项，考查了方程思想和属于中档题.研究抛物线的焦点弦弦长问题首先考虑抛物线的定义，把焦点弦转化为两个焦半径的和，通过韦达定理求解；探索点的存在性问题，往往先假设存在定点，进行验证，题中要三条直线 ， ， 的斜率始终成等差数列，分别表示出它MADB们的斜率，由等差中项列出关系式转化为方程恒成立问题.
