1、江苏省海安高级中学 2017 届高三阶段检测数 学 试 卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合 12Ax ，集合 03Bx ，则 AB 2若复数 +ib是纯虚数（ i是虚数单位） ，则实数 b的值为 3在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点坐标为 01， ，则抛物线 C 的标准方程是 4一组数据 9.8， 9.9， 10，a， 10.2 的平均数为 10，则该组数据的方差为 .5运行如图所示程序框图后，输出的结果是 6若“ 13x”是“ 20xa”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 7函数
2、3cossin3fxxx是奇函数，则角 的值为 8已知 1 2a， ， ， 1 24 5b， ， ， ， ，直线 1l： 3axby，直线 2l： xy，则这两条直线的交点在第一象限的概率为 9已知圆锥的母线长为 5，侧面积为 ，则此圆锥的体积为 (结果保留 ) 10在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：213yx和直线 l： 90xy在 l 上取点 M，经过点 M 且与椭圆 C 有共同焦点的椭圆中，长轴最短的椭圆的标准方程为 11在数列 na中， 0 且 12 02N*1nan， ， ， 若 23a ，则 2所有可能的取值集合为 12若实数 a，b，c 满足 2aba， 22bcabc，
3、则 c 的最大值为 13在 ABC中， ， 1ABC， C的面积为 3，则 ACB k -4？/开始k 1S 0S S 2kk k -1结束输出 SY N（第 5 题图）A（第 16 题）BCDD1C1B1A1M14已知函数 cos2inRfxax在 0n， 内恰有 2017 个零点，则正整数 n 的值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)已知向量 (cosin)x，m ， cosin23cosxx， ， R设 ()fxmn（1）求函数 )f的最小正周期；（2）若 24(13x，且 62x
4、 ，求 six的值16(本小题满分 14 分)如图，在六面体 1ABCD中， 1/AC，1AB， 求证：（1） 1；（2） /D17(本小题满分 15 分)已知圆 O： 24xy与 x轴负半轴的交点为 A，点 P 在直线 l： 30xya上，过点 P 作圆 O的切线，切点为 T.（1）若 a8，切点 (3,1),求直线 AP 的方程；（2）若 PA=2PT，求实数 a 的取值范围.18(本小题满分 15 分)如图，OM ，ON 是两条海岸线， Q 为大海中一个小岛，A 为海岸线 OM 上的一个码头已知tan3MON， 6km，Q 到海岸线 OM，ON 的距离分别为 3 km， 6105 km现
5、要在海岸线ON 上再建一个码头 B，使得水上旅游线路 AB（直线）经过小岛 Q （1）求水上旅游线路 AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P，水波生成 t h 时的半径为3rat（其中 05a， R） 强水波开始生成时，一游轮以 182 km/h 的速度自码头 A 开往码头B，问强水波是否会波及游轮的航行，并说明理由19(本小题满分 16 分)设数列 nnabc， ， 满足 113abc， ， ，且对于任意 nN*，都有 12nacb， 12nab（1）若数列 和 都是常数列，求实数 a的值；（2）求数列 ncb的通项公式；（3）设 a是公比为 a的等
6、比数列，数列 nbc， 的前 n 项和分别为 nST， 若 12nST5对一切正整数 n均成立，求实数 的取值范围.20(本小题满分 16 分)已知函数 f(x) (a，b， 为实常数)1x a x b（1）若 1，a1当 b1 时，求函数 f(x)的图象在点( ，f( )处的切线方程； 2 2OMNPB AQ当 b0 时，求函数 f(x)在 ， 上的最大值13 12（2）若 1，ba，求证：不等式 f(x)1 的解集构成的区间长度 D 为定值 （注：定义区间 ab， ， ， ， b， 的长度为 a）数学 II（附加题）21 【选做题】本题包括 A， B，C，D 四小题，请选定其中两题作答，每
7、小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤B选修 42：矩阵与变换已知二阶矩阵 A abcd，矩阵 A 属于特征值 1的一个特征向量为 1 ，属于特征值24的一个特征向量为 23求矩阵 AC选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 2cosin， 为 参 数xy以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 s24点 P 为曲线 C上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 解答时应写出文字说明，证明过程或演算
8、步A1BADCBAO（第 22 题）EBAB1CBAA1CBACBAC1D1骤22在 正 方 体 1ABCD中 ， O 是 AC 的 中 点 ， E 是 线 段 D1O 上 一 点 ，且 D1E EO. （1）若 =1，求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值；（2）若 平 面 CDE 平 面 CD1O， 求 的值.23一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分.（1）设抛掷 5 次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 E；（2）求恰好得到 n *()N分的概率江苏省海安高级中学 2017 届高三数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，
9、共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 答案： 13x2 答案：1 3答案： 24xy4答案：0.025答案：106答案： 4，7答案： Z3k，8答案： 259答案： 110答案：24536yx11答案： 0 1， 12答案： 2log313答案： 1414答案：1345 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1） 2()cosins23cosfxxx 2 分22ii3sincosx 122xsinx， 所以 ()f的最小正周期为 6 分（2）由（1）得 12sin3x，由 62 得 ，所以 25c
10、os1sin13xx， 8 分 此时 inis2cos2sinxx 11 分3151 36 14 分16证明：（1）取线段 BD的中点 M，连结 A、 1，因为 1A， ， 所以 ， 13 分又 1， A、 平面 1A，所以 BD平面 1AM而 A平面 M，所以 1BD.7 分（2）因为 1/C，平面 1D， 平面 1C，所以 1/平面 9 分又 A平面 1，平面 1AD平面 11D，11 分所以 1/同理得 /B，所以 BD 14 分17解：（1）由题意，直线 PT 切于点 T，则 OTPT，又切点 T 的坐标为 (4,3)，所以 3OTk， 13PTOk， 3 分故直线 PT 的方程为 (
11、)yx，即 40xy.所以 3408x， 解得 23， 即 ( 2)P， ， 5 分所以直线 AP 的斜率为 1323k，故直线 AP 的方程为 ()yx，即 (31)20x. 7 分（2）设 ,Py，由 PA2PT，可得 22()4()xyxy，即 24x，满足 PA2PT 的点 P 的轨迹是一个圆 264()39xy， 11 分所以 238()1ad，即 21|a ，解得 6633a . 15 分 18 解：（1）以点 O 为坐标原点，直线 OM 为 x轴，建立直角坐标系如图所示则由题设得： 6 0A， ，直线 ON 的方程为 3yxQx， ，由 015，解得 03，所以 3Q， 2 分故
12、直线 AQ 的方程为 6yx，由 360yx， 得 39，即 9B， ，故 269AB， 5 分答：水上旅游线 的长为 km 6 分（2）设试验产生的强水波圆 P，由题意可得 P（3，9） ，生成 t小时时，游轮在线段 AB 上的点 C 处，则 11820ACt， ，所以 618 t， 若强水波不会波及游轮的航行即 210,.2Prt对 恒 成 立 即 222(183)(9)PCttat， 10 分当 0t时恒成立，当 2t时 ， 即 ， 时 ， 10748t. 1()748 gttt令 ， ， ()22458gtt ，当且仅当 50 62， 时等号成立，所以当 48a时 rPC恒成立，即强水
13、波不会波及游轮的航行14 分答：在 05时，强水波不会波及游轮的航行 15 分. xMAOyN.Q.C.P.B19解：（1）因为 12nnbcbca，且 na、 ncb是常数列，所以 2a； 3 分（2）由已知得 1nnbc， 1nab，所以 1，即 12nc， 5 分又因为 2cb，所以 1ncb，即数列 n是以 2 为首项， 为公比的等比数列，故 1ncb； 8 分（3）由已知得 12nnac，所以 122312nnbbcc ，即 1n nSTaaa ，10 分故 2n 恒成立，记 2nM ，当 时， 即不成立，舍去； 11 分当 1a时， 11nnaa，当 n 为偶数时，令 ()31lo
14、g22an，即当取大于 ()31log2a的偶数时，不成立，舍去； 12 分当 01a时， 11nnnaaMa，所以 2 ，解得 03 ； 13 分当 1a时， n恒成立，符合； 14 分当 时， 1M或 0n符合； 15 分综上： 0a 或 3 16 分20解：（1）当 b1 时，f(x) ，则 f (x) ，可得 f ( )4 ，1x 1 1x 1 2 2又 f( )2，故所求切线方程为 y24 (x )， 2 2 2即 4 xy100 2 分 2当 1 时，f(x ) ，1x 1 1x b则 f (x) 4 分因为 b0，则 b10 ，且 b b 12 12故当 bx 时，f (x) 0
15、，f(x) 在(b， )上单调递增；b 12 b 12当 x 时，f (x)0， f(x)在( ， )单调递减b 12 12 b 12 12()当 ，即 b 时，f (x)在 ， 单调递减，b 12 13 13 13 12所以f(x) maxf( ) ； 6 分13 9b 92 6b()当 ，即 b0 时，f(x) maxf ( ) 8 分13 b 12 12 13 b 12 4b 1综上所述，f(x) max 9 分 （2） f(x)1 即 1(*)1x a 1x b当 xb 时，x a0，x b0，此时解集为空集 10 分当 axb 时，不等式(*)可化为 (xa) (xb)(x a)(x
16、b)，展开并整理得，x 2( ab2) x( abab)0，设 g (x)x 2(ab2)x( abab) ，因为(ab) 40，所以 g (x)有两不同的零点，设为 x1，x 2(x1x 2)，2 又 g (a)ba0，g ( b)ab0，且 ba，因此 bx 1a x 2，所以当 axb 时，不等式 x2(ab2)x(abab) 0 的解为 bxx 113 分当 xa 时，不等式(*)可化为 (xa) (xb)(xa)(xb)，展开并整理得，x 2( ab2) x( abab)0，由知，此时不等式的解为 axx 2， 14 分其长度为(x 1b)(x 2a)x 1x 2abab2ab2故不
17、等式 f(x)1 的解集构成的区间长度 D 为定值 2 16 分数学 II（附加题） 21 【选做题】本题包括 A，B，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤B 【解】由特征值、特征向量定义可知， A 1，即 1 abcd，得 .abcd， 5 分同理可得 328， 解得 2321， ， ， d因此矩阵 A 231 10 分C 【解】 cos4化简为 cosin4，则直线 l 的直角坐标方程为 4xy 4 分设点 P 的坐标为 2cosin，得 P 到直线 l 的距离 2cosind，即 5sin4d，其中 1cos,s
18、in55 8 分当 si1-时， max02d 10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22 【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1，以 1,DAC为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 xyz则 A(1，0，0) ， 102O， ， ， 10C， ， ，D 1(0，0，1) ，E 142， ， ， 于是 4DE， 1， ， .由 cos 1C， 1|E 36.所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为 . 5 分（2）设平面 CD1O 的 向 量 为 m=(x1， y1， z1)， 由 mCO0，m 1D0
19、得 10xyz，取 x11，得 y1z 11，即 m=(1，1，1) . 7 分由 D1EEO，则 E 2()()， DE= 12()()，.又设平面 CDE 的法向量为 n( x2， y2， z2)， 由 nCD0，n E0.得 22200(1)()1yxyz，取 x2=2，得 z2，即 n( 2，0，) .因 为 平 面 CDE 平 面 CD1F， 所 以 mn 0， 得 2 10 分23 【解】 （1）所抛 5 次得分 的概率为 P(i)= 51Ci(i=5，6，7，8，9，10) ，E= 5105C2ii= 1(分) . 5 分（2）令 pn 表示恰好得到 n 分的概率. 不出现 n 分的唯一情况是得到 n1 分以后再掷出一次反面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1p n， “恰好得到 n1 分”的概率是 pn1 ，因为“掷一次出现反面”的概率是 2，所以有 1p n= 2pn1 ， 7 分即 pn 23= 13np.于是 是以 p1 = 2 = 6为首项，以 2为公比的等比数列. 所以 pn 23= 6n，即 pn 13n. 答：恰好得到 n 分的概率是 2. 10 分5 6 7 8 9 10P 3516516321
