1、北京市第十三中学 20172018 学年度第一学期高三年级数学期中（理科）测试一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1设集合 |(1)20Ax，集合 |13Bx，则 AB（ ） A |3B |1xC |2xD |23x【答案】A【解析】 |12x，|13Bx，故选 2若复数 (1i)a在复平面内对应的点在第四象限，则实数 a的取值范围是（ ） A ,B (,1)C (1,)D (1,)【答案】C【解析】复数 (i)，2ia，(1)i，对应点 ,)a在第四象限，0，解出 1故选 C3已知 (0,)，3cos5，则 tan（ ） A 4B 4C43D43【答案】D【解析】3
2、cos5且 (0,)，24sin1，itaco3故选 D4设 A、 B为直线 30xy与圆21xy的两个交点，则 |AB（ ） A 1B C 3D 2【答案】C【解析】圆心 (0,)到直线距离 d为231()，2| 3ABrd故选 C5已知函数1()2xf，则 ()fx（ ） A是奇函数，且在 R上是增函数 B是奇函数，且在 R上是减函数C是偶函数，且在 上是增函数 D是偶函数，且在 上是减函数【答案】B【解析】1()2()xf，(2xxf f， )为奇函数，又函数12xy与xy都是减函数，两个减函数之和仍为减函数故选 B6设 na是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A若 120，则 230
3、aB若 130a，则 120aC若 ，则 1()D若 2，则 3【答案】D【解析】 项 120a， 23()ad，d的正负无法判断，23正负无法判断，错误，B项错误， 130a， 12()ad，正负无法判断，C项错误，22123()0ad，D项正确， 10， d，22131()()a 2a7设， b是非零向量，且 ab则“ |ab”是“ ()()ab”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：当 |ab时，2()|0ab， ()()ab，必要性：当 ()ab时，2()|0， ab， |故选 C8某地区在六年内第 x年的生产总值
4、y（单位：亿元）与 x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ） A第一年到第三年 B第二年到第四年C第三年到第五年 D第四年到第六年【答案】A【解析】设年平均增长率为 m，末年生产总值为 P，起始年生产总值为 Q，则1nm （ 为年间隔数）两年间的年平均增长率1Pm，由图知，第一年到第三年的 Q最大故选 A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9在5(2)x的展开式中， 3x的系数为_ （用数字作答）【答案】 40【解析】5()展开式中含 3项为3235C40x10已知双曲线21(0)xya的一条渐近线为 y，则 a_【答案】3【解析】
5、21xya的渐近线为3xya，311在极坐标系中，点2,6到直线 (cos3in)的距离为_【答案】32【解析】直角坐标系中，直线方程为 3xy，点坐标为cos,in(,1)6，到直线距离22|3|31()d12在 ABC中， 4a， 5b， 6c，则sin2AC_【答案】 1【解析】2231cos 4c，且 siniaAC，即ina，2sco231ii413已知点 P在圆2xy上，点 A的坐标为 (2,0)， O为原点，则 AP的最大值为_【答案】 6【解析】设 (cos,in)，2,0)AO， 2,si)， 4P， cos1,，当 时， max26A14某科技小组由学生和教师组成，人员构成
6、同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数（ii）女学生人数多余教师人数（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数若教师人数为 5，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_【答案】 812【解析】设男学生，女学生，教师人数分别为 x， y， z由题意，建立方程组 2xyz， 【注意有文字】当 5时，由方程组解出 510yx，故此时女学生最多有 8人设小组总人数为 Mxz，由上述方程组可得 2y，即 z最小为 3才能满足条件，此时 min5x， in4，故 i 12，即小组人数最少为 人三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （本小题满分 13分）已知函数2()2sin
7、cosxxfx（I）求3f的值（II）求函数 ()x的单调递减区间及对称轴方程【答案】 （I）0f（II）单调递减区间为25,23k， kZ，对称轴为23xk， ()Z【解析】 （I） ()sin1cosfx，032f（II） ()3sicfxx，1sino，2i6x， 32k()kZ ，523x ，()f单调递减区间为52,3kk，对称轴为 6x，2()3xkZ16 （本小题满分 13分）某花店每天以每枝 4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（I）若花店一天购进 6枝玫瑰花，写出当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单
8、位：枝，nN）的函数解析式（II）花店记录了 10天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得下表：日需求量 45718920频数 2653以 10天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进 1枝玫瑰花， X表示当天的利润（单位：元） ，求 X的分布列，数学期望（ii）若花店计划一天购进 枝或 17枝玫瑰花，你认为应购进 16枝还是 7枝？只写结论【答案】 （I）08(5)6nyN（II） （i） x的分布列为：X607P.12.()Ex（ii） 支【解析】 （I）当 16x 时，16(05)8y，当 n 时， 0n，故(1)806yN（i） X可取 ， 7， 8，().P，
9、2，80.，故 的分布列如下：X67P.12.()080.7E，45（ii）购进 7枝时，当天利润为 (1453)0.1(52)0.(165)0.7y，6.，故应购进 1枝17 （本小题满分 4分）如图，在直角梯形 ABCD中， ， 90DAB，12DCAB直角梯形 ABEF可以通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，且平面 EF平面 DA BCEFHMN（I）求证： FB（II）求直线 和平面 E所成角的正弦值（III）设 H为 的中点， M， N分别为线段 FD， A上的点（都不与点 D重合） 若直线 FD平面MN，求 的长【答案】 （I）略 （II）15（III）324【解析】 （I） 90
10、FAB， FA，平面 E平面 CD且平面 ABEF平面 CDAB， 面 ， BC平面 ， FA（II）由（I）知， F平面 ， ， AD， D， B， 两两垂直，如图，以 为原点建立空间直角坐标系， zx yNMHF EC BAD12AB，(0,)B，C，1,D，()E，,0，B设平面 C的一个法向量为 (,)nxyz，0nBCE，xyz，令 1， (,)n，设直线 BD与平面 CE所成角为 ， (,20)，sin|co|，15|3B（III）在以 A为原点的空间直角坐标系中，(0,)， (,0)D，1F， 2，,H设(0)Mk，DF， (,)， 10k，,2MH，()FD，若 平面 N，则
11、，即 0FMH，102k，解得14k，,H，3|4M18 （本小题满分 1分）已知函数 ()ln)l()fxx（I）求曲线 y在点 0,f处的切线方程（II）求证：当 (,1)x时，3()2（III）设实数 k使得3xfk对 (0,1)恒成立，求 k的最大值【答案】 （I） 2yx（II）略 （III） k最大值为 2【解析】 （I） ()ln1)l()f x，1lnx，0， 1x1()fx，02， (0)f，在 (,)处切线方程为 2y（II）证明：令3()xgxf，21()gx，420()x， )，3(f，即在 (0,1)x时，3()2xf（III）由（ II）知，在 k 时，3()fk对
12、 (0,1)x恒成立，当 2时，令3xFfk，则22()(1)xx，421k，当40kx时， ()0Fx，此时在4(,)k上 单调递减，当420x时， ()0zx，即3()fk，当 2时，3()xfk，对 (0,1)x不恒成立， k最大值为 19 （本小题满分 4分）已知椭圆2:1(0)xyCab的两个焦点是 1F， 2，点 (,1)P在椭圆 C上，且 12|4PF（I）求椭圆 的方程（II）设点 P关于 x轴的对称点为 Q， M是椭圆 C上一点，直线 M和 Q与 x轴分别相交于点 E， ，O为原点证明： |OEF为定值【答案】 （I）214y（II）见解析【解析】 （I）在椭圆中，12|PF
13、a， 2，代入 (,)于214xyb中，解出 b，椭圆 C的方程为2xy（II）证明： P、 Q关于 轴对称， (2,1)，设 0Mxy，则204xy， ，直线01:()2Px，令 0y，则021x，0|yxOE，直线01:(2)MQx，令 0y，021x，0|yxOF，20|1Ey，2200(4)y， |OF为定值20已知 na是由正整数组成的无穷数列，该数列前 n项的最大值记为 nA，第 项之后各项 1na， 2， 的最小值记为 nB， nqA（I）若 na为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3， ，是一个周期为 4的数列（即对任意 nN*， 4na） ，写出 1q， ， 3，
14、的值（II）设 是正整数，证明： (,)nq 的充分必要条件为 na是公比为 q的等比数列（III）证明：若 12a，123，则 na的项只能是 1或者 2，且有无穷多项为 1【答案】 （I）q， 34q（II） （III）见解析【解析】 （I）由题知，在 n中，12341B，A， A， 12q， 34q，（II）证明：充分性： na是公比为 的等比数列且 q为正整数， 12 ， nA， 1nB， nq， （ ， 2， 3 ） 必要性： q ， （ 1， ， ） ， nnBA ，又 a ， 1na ， 1n ， ， 1n，19nnaBqA， 为公比为 q的等比数列（III） 12a，(1,23)n， A，1Bq，对任意 n ， 1naB ，假设 (2) 中存在大于 2的项，设 m为满足 m的最小正整数，则 ，对任意 1k ， ka ，又 12a， 2A且 2m， mBq=，1in， m ，故12mBqA与 12mq矛盾，对于任意 n ，有 na ，即非负整数列 各项只能为 或
