1、2017 届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 14 小题每小题 4 分，共 56 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】有由题意可得： ，则 ( -2,3 .本题选择 B 选项.2. 极坐标方程 表示的圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】将极坐标方程 两边同乘 ，得 ，化为直角坐标方程为 ，整理得 ，所表示圆的半径 。选 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知
2、选项 , , , 中的函数均为偶函数，但只有选项 中的函数在 上单调递增。选 4. 执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 ，则输出的 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。输出 k=4。选 B。5. 设， 是两个向量，则“ ”是“ 且 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不
3、充分也不必要条件【答案】A【解析】由“ ”可推出“ 且 ”；但反之不成立。所以“ ”是“ 且 ”的充分而不必要条件。选 6. 若 ， ， ，则， ，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ， 。选 7. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】由特称命题的否定知，命题“ ， ”的否定是“ ， ”。选 8. 要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位【答案】B【解析】 ，将函数 的图象向右平移 个单位，可得函数 的图象。选
4、9. 已知偶函数 在 上递增，且 ，则实数 的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】偶函数 在 单调递增， 在 上单调递减， ，即 ， ，解得 或 选 10. 设 的内角 ， ， 所对的边分别为， ， ，若 ，则 的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B【解析】 由题意得，因为 ，由正弦定理得 ，所以 ，可得 ，所以 ，所以三角形为直角三角形，故选 B.11. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时， ，排除 ；又 ，故该函数是奇函数，排除 ；又当 时， ，排除 选 12. 已知函数 图
5、象如图所示，则下列关于函数 的说法中正确的是（ ） A. 对称轴方程是 B. 对称中心坐标是C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】D【解析】由图知 ， ，故 。又图象过点 ， ， ， ， ，对于选项 A，由 ，得对称轴为 ，故 不正确；对于选项 B，由 ， ，得对称中心为 ， ，故 不正确；对于选项 C，由 ，得 ，故 在区间 上不单调，故 不正确；选 D。13. 光线通过一块玻璃，强度要损失 设光线原来的强度为 ，通过 块这样的玻璃以后强度为 ，则经过 块这样的玻璃后光线强度为： ，那么至少通过（ ）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下（ ， ）A. B. C. D
6、. 【答案】C【解析】光线经过 块玻璃后，强度变为 ，光线经过 块玻璃后，强度变为 ，光线经过 块玻璃后，强度变为 由题意 ，即 ，两边同取对数，可得 ， ， ，又 ，所以至少通过 块玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下。选 点睛：对于本题中的问题，在实际问题中常用指数函数模型 （其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间）或幂函数模型 （其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间）求解解题时往往用到对数运算，要注意结合已知条件中给定的值对应求解14. 设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 （ 为函数 的导函数） ，在上有且只有两个不同的零点，则称 是 在 上的“关联函数” ，若
7、，是在 上的“关联函数” ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，得 ， 与 在 上是关联函数， 在 上有且只有两个不同的零点， ，解得 实数 的取值范围是 。选 点睛：（1）本题是新信息问题，即在给出的“关联函数”的基础上，将问题转化为构造的函数在给定区间上有且仅有两个零点的问题解决，体现了数学中转化思想的运用。（2）对于二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题目，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件，根据二次方程根的分布转化为不等式（组）求解二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分将答案填在题中横线上15
8、. 设 ，若 ，则 _【答案】-2【解析】 ， 答案：-216. 定积分 _【答案】【解析】 答案：17. 在三角形 中， 为 边上中点， ，则 _【答案】2【解析】试题分析：由于在ABC 中，M 是 BC 的中点，可得 ，而 ，因此可知实数=2 ，故答案为 2.考点：向量的加减法的法则点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，中点公式的应用，得到 ，是解题的关键18. 在 中， ， _；若 ，则 _【答案】 (1). (2). 【解析】由 ，得 ，整理得 ，所以 由得 ，所以 答案： 【答案】 (1). (2). 【解析】角 与角 的终边关于 轴对称， ， ，又 ，且 ， 答案：
9、(1). (2). 20. 若函数 在 上递增，则实数的取值范围为_【答案】【解析】本题考查导数及函数的单调性由 得 ；函数 在 上递增，令 在 上恒成立，即 在在 上恒成立.令 ，则 在 恒成立，所以有 即解得21. 已知函数 的定义域为 ， ， ，若此函数同时满足：当 时，有 ； 当 时，有 ，则称函数 为 函数在下列函数中： ； ； 是 函数的为_ （填出所有符合要求的函数序号）【答案】【解析】对于，函数 为奇函数，当 ，即 时，有 ，所以。又 ，所以为增函数，因此当 ，即 时，有 ，故。因此函数 函数对于，函数 为奇函数，当 ，即 时 ，有 ，所以 。又，所以为增函数，因此当 ，即 时
10、，有 ，故 。因此函数 函数对于 ，函数 为奇函数，当 ，即 时， 有 ，所以 。又函数在定义域 上没有单调性，因此不能由 ，得到 。因此函数不是 函数综上是 函数答案：点睛：本题为新概念问题，在给出了“ 函数”概念的基础上考查学生的理解、运用能力。解答此类问题的关键是对所给概念的理解，并从中抽取出解题的方法及要求，然后通过对所给问题的分析，达到求解的目的。对于本题中给出的“ 函数” ，实际上就是在定义域上单调递增的奇函数，解题时要注意这一点。22. 已知函数 （）当 时，满足不等式 的 的取值范围为_（）若函数 的图象与 轴没有交点，则实数的取值范围为_【答案】 (1). (2). 【解析】
11、 （i）当 时，不等式为 。等价于 或 ，解得 或 ， 的取值范围为 。（ii）函数 的图象与 轴没有交点，函数 与函数 的图象没有公共点。当 时，画出 与函数 的图象如图 ：可得两函数的图象恒有交点，不合题意。当 时，画出 与函数 的图象如图：结合图象可得，要使两个图象无交点，则斜率满足： ，解得 ，故 。当 时，画出 与函数 的图象如图：可得两函数的图象恒有交点，不和题意。综上得 。答案：（i） （ii） 点睛：（1）解绝对值不等式的方法基本性质法：对 ， 或 。平方法：两边平方去掉绝对值符号零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号， 将其转化为与
12、之等价的不含绝对值符号的不等式(组) 求解几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴， 将绝对值转化为数轴上两点的距离求解（2）对于判断两函数图象公共点个数的问题，可在直角坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解三、解答题：本大题共 4 小题，共 54 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤23. 已知函数 （ ）求 的值（ ）求函数 的最小正周期和单调递增区间（ ）求 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （ ） （ ）最小正周期为 单调递增区间为 ，（ ） 在 上最大值为 ，最小值为【解析】试题分析：（1）将所给的函数通过变换得 ，代入可求 （2）根据周期公式可求得最小正周期，将看作一个整体代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间。 （2）由 的范围得到 ，结合图象求得 的范围可得最值。试题解析：（ ）
