1、2018 届北京重点中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版） 2017.11一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 2|1Ax， Ba，若 AB，则 a的取值范围是（ ） A (,)(,)B (,1,)C (1,)D 1,【答案】B【解析】解： :|1x， a， ， (,)a，故选 2下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A3yxB ln()yxC |yxD2yx【答案】D【解析】解： C、 不是奇函数，在 R上单调递增，无极值，故选 3执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（ ） A 2B32C53
2、D85【答案】C【解析】解： 03k，继续，01k，12s，继续，2，继续，213k， 1523s，停业故选 C输出 s为 4下列函数 ()fx图像中，满足1(3)24ff的只可能是（ ） Ax yOB x yOCx yODx yO【答案】D【解析】解：1(3)24ff，说明 ()fx在定义域上不是单调递增或递减，由图像排除 AB，且 C项不符合1(3)4ff，故选： D5将函数 cosyx的图像上所有的点向右平行移动6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是（ ） A1cs26yxB1cos2yxCcos26yxDcos23yx【答案】C【解析
3、】解：6 12coscscs6yxyxyx 右 移 单 位 横 坐 标 缩 短为 原 来 的 【注意有文字】故选 6设 m、 n为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn”是“ 0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若存在 0，使得 mn，则2|0n，若 0mn，并不能得到 与 共线，可能两向量夹角为钝角，故“存在负数 ，使 n”是“ 0”的充分不必要条件故选 A7对于函数 ()=lg|2|1fx，有如下三个命题： (2f是偶函数； )在区间 (,)上是减函数，在区间 (2,)上是增函数； (+fxf在区间 (2,)上是增函
4、数其中正确的命题的序号是（ ） A B C D【答案】A【解析】解： ()2)lg|1gxfx，()gx，正确函数 |2|t在 ,上是减函数，在 (2,)上是增函数，且 lgyt在 (0,)上是增函数， f在 (,)是减函数，在 (,)是增函数，正确 lg|l|2|xfxlg2l1x，在 (,)是减函数，错误故选 A8已知函数21,0()=)xff，若方程 ()=fxa有且只有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是（ ） A 0,)B (,1C (,1)D (,1【答案】D【解析】解： (fx图像如图所示， a， )fx与 ya图像有两个交点，符合题意故选 x y二、填空题：本大题共 6
5、小题，每小题 5 分，共 30 分9命题“0,2x， 00tansix”的否定是_【答案】,， 0ti【解析】解：特称命题变否定时， “”需改成“ ” 10已知平面向量 (3,1)a， (,3)bx，且 ab，则实数 x的值为_【答案】 1【解析】解：， 0ab，即 3x，解出 111函数2yx的图像与 x轴所围成的封闭图形的面积等于_【答案】 6【解析】解：函数2yx开口向下，与 x轴围成的封闭图形面积为123201()d06xx12已知函数2()1fab（ a、 b为实数， 0a， xR） ，若 (1)0f，且函数 fx的值域为 (0,)，则 ()f的表达式 =_ 当 2,x时， ()gk
6、是单调函数，则实数 k的取值范围是_【答案】【解析】解：2()1(0)fxab， (1)0fab， 1ab，又222()fx21baa，min()04fx，联立解出 1a， 2b， ()fx13某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y（万元）与机器运转时间 x（年数， *xN）的关系为2185yx，则当每台机器_年时，年平均利润最大，最大值是_万元【答案】 5； 8【解析】解：251yx2518x当且仅当 时，等号成立，当25x时，max8y，即机器运转 年时，年平均利润最大为 8万元/ 年14函数 ()fx的导函数为 ()fx，若对于定义域内任意 1x， 2
7、1()x，有1212()fxfxf恒成立，则称 为恒均变函数，给出下列函数： ()23f； x；1()f； ex其中为恒均变函数的序号是_ （写出所有满足条件的函数的序号）【答案】【解析】解： ()23fx，1212()fxf，f符合要求2()3x， 2112()()fx21()x，112xf x符合要求()x，12121()ffxx，2214()f不符合要求 ()exf1212x，12exf不符合要求综上所述，符合要求有三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13分）已知函数()sinfxx（）求6f（）求 ()x的单调增区间【答
8、案】 （）1f（）单调递增区间为52,6kkZ【解析】解：（）()sin3fxxsinicosic3x1i2xsin3， 162f（ ）522366kxkxk ，即 ()fx单调递增区间为,Z16 （本小题满分 13分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以 x轴为始作边两个锐角 、 ，它们的终边分别与单位圆交于 A、B两点，已知 A、 B的横坐标分别为5、7210（）求 tan()的值（）求 2+的值 xOBA【答案】 （） tan()3（）24【解析】解：（）在单位圆中， 5cos，25sin1cos，7210， 10，sitanco，its7，tatnan()31（）4si2icos5，|
9、co|in，为钝角，故 cs0，3s25， in()cosinc247235105，(2)为钝角，3417 （本小题满分 1分）已知曲线 :eaxCy（）若曲线 在点 (0,)处的切线为 2yxm，求实数 a和 的值（）对任意实数 ，曲线 C总在直线 :lab的上方，求实数 b的取值范围【答案】 （） 2a， 1m（） 1b【解析】解：（） (0,)在切线 2yx上， m，又 eaxy，当 0时，02， 2， 1（）由题知： eaxb，恒成立， axb，令 t，设 ()tf， ()1f，令 0， ，()0ft， t， 在 ,)单调递减，在 ,单调递增，0min()()e1ftf， 1b18 （
10、本小题满分 3分）已知在 ABC 中，角 、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c， 60A， 32bc，32ABCS（）求 b的值（）求 sin的值【答案】 （） 2（）1si7B【解析】解：（） 60A，3sin2，1sin2ABCSbc 328b， 4， （） 60A，1cos2，22cosba，代入 ，3c，解出 7a，又 sinibAB，217a19 （本小题满分 4分）已知函数 ()exfx，其中 是自然数的底数， aR（）求实数 的单调区间（）当 1a时，试确定函数2()gfx的零点个数，并说明理由【答案】 （）单调递增区间 2,a；单调递减区间 (,2)a（）一个零点【解析】解
11、：（） ()exfx， ()e)xf，令 ()0fx，解出 2xa，解出 ， ()f的单调递减区间为 (,)，单调递增区间为 (,)（）2)exagxa，当 0时， ()0，现考虑函数 exay的零点，令 xat，则 xat，令 ()()th，考虑函数 ety与 的交点，当两者只有一个交点时， （即两者相切） ，e1t，解得 0t，此时 1a，已知 a，故函数 ety与 t无交点，故只存在 x一个零点20（本小题满分 14分）已知集合 2,(2)kAa ，其中 (1,2)iakZ ，由 A中的元素构成两个相应的集合：(,)|SbbA， ,)TbAab其中 是有序数对，集合 S和 中的元素个数分
12、别为 m和 n若对于任意的 ，总有 a，则称集合 具有性质 P（）检验集合 0,123与 ,是否具有性质 并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合S和 T（）对任何具有性质 P的集合 A，证明k(1)2n（）判断 m和 n的大小关系，并证明你的结论【答案】 （）集合 0,123不具有性质 P，集合 1,23具有性质 ，相应集合 (,)S， (,)，集合 T，（）略（） mn【解析】解：（）由题目的约束条件可知，集合 0,123中， 0A，不符合性质 P的要求，其不具有性质 P，而集合 符合性质 要求，相应的集合 (,)S， (3,1)， 集合 2,1T， （）证明： A中元素构成的有序数对 (
13、,)aij，一共存在 2k个，且 0，故 (,)T12aijk ， 时， ， (,)aijT时， (,)aijT，集合 中元素个数最多为21(1)()k个，故(1)2kn，证毕（） m，证明如下：对于 (,)abS，由定义知 aA， b，且 abA， T，如果 (,)与 )cd是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立， ab与 中至少有一个不成立， (,)与 (,)c也是 T的不同元素，即 S中元素的个数，不多于 中元素的个数， mn 对于 ,，由定义知 aA， b，且 abA， ()ab，如果 ,与 (,cd是 T中不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 b中也至少有一个不成立， (,)ab与 (,)c也是 S的不同元素， T中元素个数不多于 中元素的个数，即 nm 综合可知 n
