1、2018 届云南省昆明市第一中学高三第六次月考数学（文）试题（解析版）一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，图中阴影部分所表示的区域为 ，由于 ， ，故 ，故选 A2. 复数 （是虚数单位）的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意， ，虚部为 1.故选 B3. 某地区想要了解居民生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取 的居民家庭进行调查，这种抽样方法是（ ）A. 简
2、单随机抽样 B. 系统抽样 C. 分类抽样 D. 分层抽样【答案】D【解析】由题意，对居民进行职业分类，再进行等量抽取，属于分层抽样。故选 D。4. 已知 ， ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，又当 时， ，所以 ，故选 A。5. 已知圆 ： 与圆 ： 交于 ， 两点，直线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】公共弦方程为： ，即 ，故选 B。6. 一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，该几何体是由一个边长为 的正方体截去一个底面积为 ，高为 的一个三棱锥
3、所得的组合体，如图，所以 ，故选 D点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 函数 的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为 且 ，故选 C8. 若函数 （其中 ）满足对 ，都有 成立，则 的值是（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】由题可知， 是 的一条对称轴，所以 是函数的最值，所以 或 ，故选 B。9. 已知 ， ，则下列大小关系正确的是（
4、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ， ，可取 ， ，则 ，排除 A；，排除 C；，排除 D.因为 ，所以 ，故选 B10. 已知函数 在 处取得极值，令函数 ，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意， ，而 ，解得 ，故 由程序框图可知，当 时，即结束时 ，条件为“ ”故选 B11. 已知正三角形 三个顶点都在表面积为 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选 C。12. 定义在 上的函数 满足 ，对任意给定的不
5、相等的实数 ， ，不等式 恒成立，若两个正数， 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意， 在 上单调递增，所以 ，得 ，则有 ， 表示 到 的斜率。由线性规划可知， 的范围是 ，故选 C。点睛：本题考查函数的综合应用，线性规划的应用。本题中首先由条件得到单调性，解得 ，本题的解题关键是联系线性规划进行后面的解题，由条件得到可行域的式子，目标式子代表斜率。本题作为知识点的综合串联题型，对学生能力要求很高。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知 ， ，则向量在向量 方向上的投影为_【答案】【解析】向量在向量 方向上的投影为
6、.故答案为 .14. 锐角 的内角 ， ， 的对边分别为， ， ，若 ， ， ，则的面积是_【答案】【解析】由正弦定理得： ，有 ，所以 ，所以 ，得 ，所以 。【答案】【解析】由题意， ，所以 ，又由题可知， ，所以 ，所以 。16. 在 中，内角 ， ， 的对应边分别为， ， ，若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】 ，所以 的最小值为 。三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在数列 中， ， .（1）证明 是等差数列；（2）求数列 的前 项和 .【答案】
7、（）详见解析; （） .【解析】试题分析：（1）利用定义，证明等差数列；（2） ，所以 ，等比数列，所以 试题解析：（）因为 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列 ； （）由 ）知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，即 ，所以 ，易知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 18. 如图，在三棱柱 中， ， .（1）证明： ；（2）若 ，求三棱柱 的体积.【答案】 （）详见解析; （）3.【解析】试题分析：（1）证明 平面 ，得 ；（2）。试题解析：（）证明：设点 为 的中点，连接 ， ，由 ， ，知 与均为等边三角形，点 为 的中点，可得 ， ， ， 相交于点 ，所以平面
8、，又 平面 ，所以 （）由（）知 与 均是边长为 是等边三角形， ，又在 中， ，由余弦定理得 ，所以 ，故 ，又，故 平面 ，所以 ，所以，所求三棱柱 的体积为 19. 为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了 10 件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克） ，如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于 18 毫克时，该产品为优等品.（1）试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；（2）若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取 1 件，抽到的 2 件优等品中， “甲产品的含量 28 毫克优等品必须在内，且乙产品的含量 28 毫克优等品不包含在内”为事件 ，求事
9、件 的概率.【答案】 （）甲、乙两种产品的优等品率分别为 ， ;（） .【解析】试题分析：（1）由茎叶图易知，甲、乙两种产品的优等品率分别为 ， ；（2）穷举法，得到。试题解析：（）从甲产品抽取的 件样品中优等品有 件，优等品率为 ，从乙产品抽取的 件样品中优等品有 件，优等品率为故甲、乙两种产品的优等品率分别为 ， （）记甲种产品的 件优等品分别记为 ， ， ， ，且甲产品的含量 毫克优等品设为 ；乙种产品的 件优等品分别记为 ， ， ， ， ，且乙产品的的含量 毫克优等品设为 ；若从中各随机抽取 件，构成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
10、 ， ，共有 种；事件 所含基本事件为： ， ， ，共有 种，所求概率为 20. 已知圆 过点 ，且与直线 相切.（1）求圆心 的轨迹 的方程；（2）直线 与曲线 交于 ， 两点，分别过 ， 作曲线 的切线 ， ，设 ， 的交点为 ，证明： 为定值 .【答案】 （） ;（）详见解析.【解析】试题分析：（1）有定义知，轨迹是抛物线 ；（2）由切点写出切线方程，并由韦达定理，可以得到 为定值.试题解析：（）由已知，点 到点 的距离等于它到直线 的距离，所以圆心 的轨迹为抛物线， ，所以圆心 的轨迹 的方程为： （）设 ， ，由 得 ，所以点 处的切线方程为： ，又因为，所以 ： ，同理 ： ，由
11、得： ， ， ，由 得：，即： ，所以 21. 已知函数 .（1）若曲线 在 处的切线 与直线 垂直，求的值；（2）讨论函数 的单调性；若存在极值点 ，求实数的取值范围.【答案】 （）a=1; （）详见解析.【解析】试题分析：（1）由切线斜率就是切点导数值，易知 ；（2）求导， 分正负两类讨论，得单调性，所以 ，解得 的取值范围为 试题解析：（）依题意 ， ，所以 ，因为 与直线 ： 垂直，得 ，解得 （）因为 当 时， 在 上恒成立，所以 的单调递增区间为 ，无递减区间；当 时，由 ， ，解得 ；由 ， ，解得 ；由 ， ，解得 ；此时 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 综上所述，当
12、时， 的单调递增区间为 ，无递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 若存在极值点 ，由函数的单调性知， 且 ；由 ，解得 所以所求实数 的取值范围为 点睛：本题考查导数的性质应用。本题考查分类讨论解决单调性问题，由导函数得到分类的情况，由目标函数（二次函数）的开口方向，即导函数的恒正和有正负进行分类，得到单调性之后，得到极值点求解即可。 请考生在 22、23 两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数） ，曲线 的极坐标方程为 .（1
13、）写出直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若点 的坐标为 ，直线与曲线 交于 ， 两点，求 的值.【答案】 （） , ;（）8.【解析】试题分析：（1）消去参数，得直线的普通方程，两边同乘 得 ，即 ；（2）直线的参数方程的标准形式为 （为参数）与曲线 联立得： ，设 ， 所对应参数分别为 ， ，则 利用韦达定理即可得解.试题解析：（1）由 （为参数）消去参数，得直线的普通方程为 ，由 ，两边同乘 得 ，即 ，故曲线 的直角坐标方程为 （2）在 （为参数）中，令 ，得直线的参数方程的标准形式为 （为参数） ，代入曲线 ： ，整理得： ，设 ， 所对应参数分别为 ， ，则 ， ，所以， 23. 【选修 4-5：不等式选讲】（1）解不等式 ；（2）已知实数 ， ，满足 ，求 的取值范围.【答案】 （） ;（） .【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由 ， ， ，三式相加得： ，因为 ，所以 ，即可得解.试题解析：（1）由可化为 或 或 ，解得 ，所以，不等式的解集为 （2） 因为 ， ， ，三式相加得： ，即 ， （当且仅当 时，取“=”）又因为所以 ， （当且仅当 时，取“=” ，有无数组解）故 的取值范围为、
