1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2014 年江西，理 1，5 分】 是 的共轭复数，若 ， （ 为虚数单位） ，则 （ ）z2zi2ziz（A） （ B） （C） （D）i1i11i【答案】D【解析】由于 ，可得 又 由解得 ，故选 D2z2zz 1iz【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题（2） 【2014 年江西，理 2，5 分】函数 的定义域为（ ）2lnfxx（A） （B） （C ） （D ）0,10,
2、1,01,01,【答案】C【解析】要使函数有意义，则 ，即 或 ，故函数的定义域为 ，故选 C2x1x,【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础（3） 【2014 年江西，理 3，5 分】已知函数 ， ，若 ，则 （ ）|5xf2gaxR1fga（A）1（B）2（C）3 （D） 【答案】A【解析】 ，若 ，则 ，即 ，则 ，解得 ，故选 A1ga1fg1fa1a10【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础（4） 【2014 年江西，理 4，5 分】在 中，内角 所对应的边分别为 ，若 ，AC,B,abc226ab，则 的面积为（ ）06CAB（A）3 （B）
3、 （C） （D）932323【答案】C【解析】由题意得， ，又由余弦定理可知， ，226cab 2coscabCab ，即 ，故选 C6b13sin22ABCSab【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查（5） 【2014 年江西，理 5，5 分】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的 是（ ）（A） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的
4、上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选 B【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键（6） 【2014 年江西，理 6，5 分】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）2（A）成绩 （B）视力 （C）智商 （D）阅读量【答案】D【解析】表 1： ； 表 2： ；2256104.093X254016.7963X表 3： ； 表 4： ，8.323.48阅读量与性别有关联的可能性最大，故选 D【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力
5、，属于中档题（7） 【2014 年江西，理 7，5 分】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）（A）7 （B）9 （C）10 （D）11【答案】B【解析】由程序框图知： 的值， ，135i0lgllg72S 1371lglg59S而 ，跳出循环的 值为 9，输出 ，故选 B13lg5S ii【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键（8） 【2014 年江西，理 8，5 分】若 ，则 （ ）210fxfxd10fxd（A） （ B） （C） （D）1331【答案】B【解析】若 ，则： ，则 ，显10fxd2fx1222231200
6、3xxdxx然 A 不正确；若 ，则 103d3f，显然 B 正确；若 ，则22221203xxxx 103fxd ，显然 C 不正确；若 ，f13120033dx 10fxd则 ，显然 D 不正确，故选 B2x2222 43xx【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法（9） 【2014 年江西，理 9，5 分】在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆,ABxyA与直线 相切，则圆 面积的最小值为（ ）C240xyC（A） （B） （C） （D ）53462554【答案】A3【解析】 为直径， ， 点必在圆 上，由 向直线做垂线，
7、垂足为 ，则当 恰为圆与AB90OBCOD直线的切点时，此时圆 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为 O 到直线的距离为 ，则圆 的C 45C面积为： ，故选 A245【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系用数形结合的思想，解决问题较为直观（10） 【2014 年江西，理 10，5 分】如右图，在长方体 中， ， ， 1BCDA1B7AD，一质点从顶点 射向点 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理） ，12A4,312E将 次到第 次反射点之间的线段记为 ， ，将线段 竖直放ii ,4iLiLE1234,L置在同一水平线上，则大致的图形是（ ） l3l4 l3l43 4 l2l2l2l1
8、 11 DCBA 432 1（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】根据题意有： 的坐标为： ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ；0, 1,01,700,7的坐标为： ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ；10,121,2,2,12的坐标为 E43（1） 长度计算： l 2221403103lAE（2） 长度计算：将平面 沿 轴正向平移 个单位，得到平面 ；显然1BCDzA2ABCD有： 的坐标为： ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的2,2,42C1,742坐标为 ；显然平面 和平面 关于平面 对称0,74BD1设 与的延长线与平面 相交于： ，根据相识三角形易知：AE2
9、A22,Exy， ，即： ，根据坐标可知， 在长方形28x36Ey8642E2ABCD内根据反射原理， 在平面 上的投影即为 反射光与平面 的交点2BCAABCD所以 的坐标为 因此： F,602221 3013lF（3） 长度计算：设 的坐标为： ，如果 落在平面 ；这个时候有： ，lG,Gxyz 1Gx， ，根据反射原理有： ，于是：向量 与向量 共线；即有：7Gy12z /EEF，AE因为： ； 即有：4,38,6,03,6,GGGFxyzyz，4,312,6,Gyz解得： ， ；故 的坐标为： ，因为： ，故 点不在平面 上，9Gz1,9474G1BC所以： 点只能在平面 上；因此有：
10、 ； ，1DC7Gy1x2zEzyxD1 C1BA1DCBA4此时： ，即有： 解得： ，8,6,08,1GGGFxyzxz 4,3128,1Gxz283Gx；4Gz满足： ， ，故 的坐标为：12， 28,7321281376403l（4） 长度计算：设 点在平面 的投影为 ，坐标为 ，因为光线经过反射后，还会G1ABCDG28,713在原来的平面内；即： 共面，故 的反射线 只能与平面 相交，且交点EFHEH1ABCD只能在 ；易知： 根据以上解析，可知 ， ， ， 要满足以下H1A4 3248l ll23l4关系：；且 ，对比 ABCD 选项，可知，只有 C 选项满足以上条件，故选 C1
11、2l43l【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（11（1） ） 【2014 年江西，理 11（1） ，5 分】 （不等式选做题）对任意 ， 的,xyR|1|1|xy最小值为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】C【解析】对任意 ，,xyR，|1|1|113xxyxy当且仅当 ， 成立，故选 C0,2,y【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法（11（
12、2） ） 【2014 年江西，理 11（2） ，5 分】 （坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 10yx的极坐标为（ ）（A） （B）1,0cosin 1,0cosin4（C）（D）4 2【答案】A【解析】根据直角坐标和极坐标的互化公式 ， ， ，可得xcossiny10yx，即 ， ，故选 Acosin11csin0,2【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角 的范围，属于基础题三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 （12） 【2014 年江西，理 12，5 分】10 件产品中有 7
13、件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 【答案】 12【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 种结果，满足410C条件的事件是恰好有 1 件次品有 种结果，恰好有一件次品的概率是 317C37102P【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题（13） 【2014 年江西，理 13，5 分】若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是 xyeP2xy5【答案】 ln2,【解析】设 ，则 ， ，在点 处的切线与直线 平行， ，Pxyx
14、exyeP210xy2xe解得 ， ，故 l2ln2,【点评】本题考查了导数的几何意义，即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用（14） 【2014 年江西，理 14，5 分】已知单位向量 与 的夹角为 ，且 ，向量 与1e21cos3123ae的夹角为 ，则 123becos【答案】【解析】单位向量 与 的夹角为 ，且 ，不妨 ，1e21cs31,0e， ， ，2,312743,ae 28,3b222283cos7433ba 【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力（15） 【2014 年江西，理 15，5 分】过点 作斜率为 的直线与
15、椭圆 ： 相交于1,M12C210xyab，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为 ,ABMABC【答案】 2【解析】设 ， ，则 ， ，过点 作斜率为 的直线与椭圆 ：1,xy2,xy21xyab21xyab1,M12C相交于 ， 两点， 是线段 的中点，两式相减可得 ，20abABAB20ab ， ， 2c2cea【点评】本题考查椭圆 C 的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） 【2014 年江西，理 16，12 分】已知函数 ，其中 ， sincos2fxaxaR,2（1）当 ， 时，求
16、 在区间 上的最大值与最小值；2a4f0,（2）若 ， ，求 的值0f1f,a解：（1）因 ， ，故2a4 22sincossincosincosinfxxxxx又 ，故 ，因此 ，从而 ，c4x041fmin1f6max2f（2） ，又 ，sincos2cosin2cosincos0faaa ,2故 ，co0 ，sin1aif 2iii1故 ，得 ，从而 1sn26【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题（17） 【2014 年江西，理 17，12 分】已知首项都是 1 的两个数列 ， （ ） ，满足nab0n110nnnabb（1）令 ，求数列
17、的通项公式；cnc（2）若 ，求数列 的前 项和 13nanS解：（1）因 ，且 ，故 ，即 ，所以 是首项为 ，120nabbb12nab12ncnc1ab公差为 2 的等差数列，从而 2nc（2）因 ， ，有 ，ncb13a 23123nS3421nnS所以 ，从而 2412nnS 218n 2913nnS【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题（18） 【2014 年江西，理 18，12 分】已知函数 2fxbxbR（1）当 时，求 的极值；4bfx（2）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围fx10,3解：（1）当 时， 的定义域为 ，2fxx1,
18、2令 ，解得 ， 5121xfx 0fx12x0当 和 时， ，所以 在 和 上单调递减；0x0fxf,1,2当 时， ，所以 在 上单调递增2ff2,0所以，当 时， 取得极小值 ；当 时， 取得极大值 xfx04f（2） 在 上单调递增 且不恒等于 0 对 恒成立fx10,3fx1,3，221522xbxfbxb故 ，因此 因 ，故 50xmin53x139【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题（19） 【2014 年江西，理 19，12 分】如图，四棱锥 中， 为矩形，平面 平面 PABCDPADBC7（1）求证： ；AB
19、PD（2）若 ， ， ，问 为何值时，四棱锥 的体 09C2PC3nPABCD积最大？并求此时平面 与平面 夹角的余弦值BD解：（1）因面 面 ，面 面 ， ，故AIAB面 又 面 ，故 （2）过 作 ，由（1）有 面 ，作 ，连接 ，作POAOOMCMB设 ，则 ，x133PABCDABCDVSP2241416833xx故 即 时， 如图建立空间直角坐标系，则 ，236max269 0,P， ， ，故 ， 0,03,036,3M， ， ，6,PC 6,PD ,0C60,3DC设面 、面 的法向量分别为 ， MC1,mxyzur2,nxyzr由 得 设 ，则 ，故 同理可得 0mPurr110
20、yzx110,1mu1,nr故 ，从而平面 与平面 夹角的余弦值为 6cos,3|nPBCD63【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想（20） 【2014 年江西，理 20，13 分】如图，已知双曲线 的右焦点 ，点2:10xyaF分别在 的两条渐近线上， 轴， ， ( 为坐标原点） ,ABCAFxBO/FA（1）求双曲线 的方程；（2）过 上一点 的直线 ： 与直线 相交于点 ，与00,Pxyl021yaM直线 相交于点 ，证明点 在 上移动时， 恒为定值，并求此定32NPC|MNF值解：（1）因 ， ，故 且 ，因此
21、 ， ,cAa,tB1ctatac2ct3a所以所求方程为 32yx（2）由（1）知 ， ， ， ， ,1:0yl2,0F03,xMy0,2xNy故 0002222 20|3|3| 31 14xyxMFNxy【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题8（21） 【2014 年江西，理 21，14 分】随机将 这 个连续正整数分成 两组，每组1,2,2nNn,AB个数， 组最小数为 ，最大数为 ； 组最小数为 ，最大数为 ，记 ， nA1aaBb1b21a12b（1）当 时，求 的分布列和数学期望；3
22、（2）令 表示事件 与 的取值恰好相等，求事件 发生的概率 CCPC（3）对（2）中的事件 ， 表示 的对立事件，判断 和 的大小关系，并说明理由C解：（1） 的所有可能取值是 ， ， ， 2,34536415P364125， 故 的分布列如右表所示，3610P360的数学期望为 17245152E（2）事件 与 的取值恰好相等的基本事件共 12243nnCP 当 时， n243PC（3）当 时， ，此时 ；即 ；2112P当 时， ，此时 ；即 n 123462nnC 12CPC【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大2 3 4 5P1501
