1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2015 年广东，理 1，5 分】若集合 ， ，则 （ |(4)10Mx|(4)10NxMN）（A） （ B） （C） （D）,41, 【答案】D【解析】 ， ， 故选 D()04,Mx(4)10,4Nx（2） 【2015 年广东，理 2，5 分】若复数 （ 是虚数单位） ，则 （ ）i(32)ziz（A） （B） （C ） （D ）3i32i32i【答案】A【解析】 ， ，故选 A ()iziz（3） 【2
2、015 年广东，理 3，5 分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）（A） （B） （C ） （D）21yx1yx12xyxye【答案】D【解析】A 和 C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选 B（4） 【2015 年广东，理 4，5 分】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰好有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）（A） （B ） （C ） （D）510121【答案】B【解析】 ，故选 B0521CP（5） 【2015 年广东，理 5，5 分】平行于直线 且与圆 相切的直线
3、的方程是（ ）2+1=0xy25xy（A） （B） 0xyxy或 0250xy或（C） （D ）202或 或【答案】A【解析】设所求直线为 ，因为圆心坐标为 ，则由直线与圆相切可得 ，c0, 251cd解得 ，所求直线方程为 ，故选 A5c2525xyxy或（6） 【2015 年广东，理 6，5 分】若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）,48130232zxy（A） （B） （C） （D ）423615【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数 ，则当目标函数过点32zxy， 取最小值为 ，故选 B81,532zxy235（7） 【2015 年广东，理 7，5 分】
4、已知双曲线 的离心率 ，且其右焦点为2:xyCab54e2，则双曲线 的方程为（ ）2(5,0)FC（A） （ B） （C ） （D）2143xy2196xy2169xy2134xy【答案】C【解析】由双曲线右焦点为 ，则 ， 2(5,0)F5c54cea，所以双曲线方程为 ，故选 C229bca2169xy（8） 【2015 年广东，理 8，5 分】若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值（ ）n n（A）至多等于 3 （ B）至多等于 4 （C）等于 5 （D）大于 5【答案】B【解析】当 时，正三角形的三个顶点符合条件；当 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除nA，C，D
5、 四个选项，故选 B二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913）（9） 【2015 年广东，理 9，5 分】在 的展开式中， 的系数为 4x（ -1） x【答案】6【解析】 ，则当 时， 的系数为 4421rrrrCxC22416C（10） 【2015 年广东，理 10，5 分】在等差数列 中，若 ，则 na34575aa28a【答案】10【解析】由等差数列性质得， ，解得 ，所以 345675a 28510（11） 【2015 年广东，理 11，5 分】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，ABBbc3， ，则 = 1s
6、in2B6Cb【答案】【解析】 ，又 ，故 ，所以， 由正弦定理得， ，所以5i,或 6C23AsiniabAB1b（12） 【2015 年广东，理 12，5 分】某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答） 【答案】1560【解析】 403916（13） 【2015 年广东，理 13，5 分】已知随机变量 服从二项分布 ， ， ，则 X(,)Bnp()30EX()20Dp【答案】 3【解析】 ， ，解得 30EXnp(1)20DXnp13p（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）（14） 【2015 年广东，理 14，
7、5 分】 （坐标系与参数方程选做题）已知直线 的极坐标方程为 ，l2sin()24点 的极坐标为 ，则点 到直线 的距离为 A7(2,)4Al【答案】 52【解析】 即直线 的直角坐标方程为2sin()2(sincos)4sincos1l3，点 的直角坐标为 ， 到直线的距离为 10yxy， 即 A2,A2152d（15） 【2015 年广东，理 15，5 分】 （几何证明选讲选做题）如图 1，已知 是圆 的直径， ， 是BO4ABEC圆 的切线，切点为 ， ，过圆心 作 的平行线，分别交 和 于点 和点 ，则 = OC1BOBCECDPO【答案】8【解析】如图所示，连结 ， 两点，则 ，D9
8、0CDA， ，所以 ，90BAB， ABOBC所以 8O三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16） 【2015 年广东，理 16，12 分】在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ，xy2,msin,cox0,2x（1）若 ，求 的值；mntax（2）若 与 的夹角为 ，求 的值3解：（1） ， ， ，即22,sin,cosincosin4xxx mn0，sin04x，又 ， ， 即 ， i0,2x4x04x4xtan14x（2）依题意 ，222sincos sin3icomnx ，又 ， ，即 1sin42x,4x465412（17） 【2015 年
9、广东，理 17，12 分】某工厂 36 名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄1 402 443 404 415 336 407 458 429 4310 3611 3112 3813 3914 4315 4516 3917 3818 3619 2720 4321 4122 3723 3424 4225 3726 4427 4228 3429 3930 4331 3832 4233 5334 3735 4936 39（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计
10、算（1）中样本的均值 和方差 ；x2s（3）36 名工人中年龄在 与 之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到 001% ）？s-+解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 2，6，10，14，18，22，26，30，34 的年龄数据为样本则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，374（2）由（1）中的样本年龄数据可得，则 14036437437409x22224043603409s= 3791（3）由题意知年龄在 之间，即年龄在 之间，040， 374，由（1）中容量为 9 的样本中年龄、在 之间的有 5 人，374，所以在 36 人中年龄在 之间的有 （
11、人） ，则所占百分比为 37， 6209201%5.636（18） 【2015 年广东，理 18，14 分】如图，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直，PDCABCD， ， ，点 是 边的中点，点 ， 分别在线段 ， 上，且4PDC6ABCEFG， 2AF2G（1）证明： ；E（2）求二面角 的正切值；（3）求直线 与直线 所成角的余弦值F解：（1） 为等腰三角形， 为 边的中点，所以PDCD，PEDC， ，ABC平 面 平 面 PAB平 面 平 面且 ， ， 平 面 E平 面 FG平 面 PEFG（2）由长方形 知， ， ， ，平 面 平 面 DCABDC平 面 平 面且 ， A平 面
12、 平 面 平 面 ，PDDC由 ， ， 且 平 面 ， 平 面 P即 为 二 面 角由长方形 得 ， 为 边的中点，则 ，B6AB132243437ECPE， ， ， 7tanPED即二面角 的正切值为 P7（3）如图，连结 ， ，A2FBG， ， 为直线 与直线 所成角BFGC/PAFG由长方形 中 得：D63C， 2635由（2）知 ， ，由题意知 ，4D， 24AP4PC，所以，直线 与直线 所成角的余弦值为 2295cosAP 952（19） 【2015 年广东，理 19，14 分】设 ，函数 1a2()1)xfxea=+-（1）求 的单调区间；()fx（2）证明： 在 上仅有一个零点
13、；,（3）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，且在点 的切线与直线 平行（ 是坐标原点）()yf=Px(,)MmOP，证明： 321mae解：（1） ， ， 时， 恒成立()1)xfx22()=(1)()xxxfeeR()0fx的单调递增区间为 R（2）由（1）可知 在 R 上为单调递增函数，当 ， ，(f a=(+)1)aaafe1， ， 在 仅有一个零点a)0a()fx,)5（3）令点 为 ， 曲线 在点 处的切线与 轴平行， ，P0(,)xy()yfxPx020()=1xfxe， ， 直线 斜率为 ，0=12,aeO21opaek在点 处的切线与直线 平行， ,Mmn 2()mf e要证明
14、 ，即证 321ae32(1)mae要证明 ，需证明 ，设 ， ，()()m()1mge()1mg令 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，0,gg(-,0)+0， (0)g， ，命题得证mem（20） 【2015 年广东，理 20，14 分】已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ，l21:650Cxy-=AB（1）求圆 的圆心坐标；1C（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；AMC（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若k:(4)Lykx=- k不存在，说明理由解：（1）由题意知：圆 方程为： ， 圆 的圆心坐标为 12(3)1C3,0（2）由
15、图可知，令 ， ，,xy221 1|,|()OxyMxy， ， ，22211|OCM13219()4直线 与圆 交于 、 两点，直线 与圆 的距离：LABL0d， ，2110(3)4xy221190(3)()44xx153x轨迹 的方程为： C25(),y（3）直线 ： 与曲线 仅有 1 个交点， 联立方程：Lykx2()x2(4)5(,39ykx，得： ，在区间 有且仅有 1 个解 222(1)(8)160kxkxk5(,3当 时， ，此时， ，仅有一个交点，符合题意=34+=（ ） 425(,3x当 时，令 ，则有：0222()(8)16gxkxkk)0gA解得：， 的取值范围为： 或 5
16、,7k 5,743k（21） 【2015 年广东，理 21，14 分】数列 满足： na *1212,nnaN -+=（1）求 的值；3a（2）设求数列 的前 项和 ；nnT（3）令 ，证明：数列 的前 项和 满足 11,()(2)23nba-=+nanS2lnn+6解：（1）由题意知： ，当 时， ；12124nnaa =121=4a当 时， ， ， =3n32+=323()a（2） ， ， ，121nn 1 1+2nnna1 13243(+) ()()22n nnnna a 是首相为 1，公比为 的等边数列， n 11()2nn nT（3）由（2）得： ，已知不等式：12nnT1(2)()nS l()3n设 ， 在 单调递增，()l),0xfx20xf(fx,+， 在 上恒成立()1l()1令 ， ，1=xnl()lnlnln21l，l23 2311()()()(l)lnnSnn
