1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2015 年重庆，理 1】已知集合 ， ，则（ ）1,23A,B（A） （B） （C） （D）BABBA【答案】D【解析】 ，故选 D=,2,3， 且（2） 【2015 年重庆，理 2】在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）na24a6（A） （B） （C） （D）1016【答案】B【解析】利用 可求得 ，故选 B264+a6（3） 【2015 年重庆，理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温（ ）数据的茎叶图如右
2、，则这组数据的中位数是（ ）（A）19（B）20（C）21.5 （D）23【答案】B【解析】这组数据是 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 中位数是 ，故选 B20+（4） 【2015 年重庆，理 4】 “ ”是“ ”的（ ）1x12log0x（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 ，故选 B12log()0xx（5） 【2015 年重庆，理 5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D ）32312323【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱
3、拼接而成的，其体积为两部分体积之和：，故选 A21(1)233（6） 【2015 年重庆，理 6】若非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）,ab2|3b32aba（A） （ B） （C） （D）424【答案】A【解析】 ，结合 ，可得 ，()(32)()3)0ababA2|3ab2|3abA，故选 Acos,4| （7） 【2015 年重庆，理 7】执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 8，则判断框图可填入的条k件是（ ）（A） （B） （C ） （D）34s56s12s1524s【答案】C【解析】 ， ，10,2sks是 ， 是 14+2ks， 是 16+246ks， 是，判断框内
4、应该填 ，故选 C18+468， 否 =（8） 【2015 年重庆，理 8】已知直线 ： 是圆 ： 的对称轴，过点l10xayR210xy4,Aa作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）CB|A（A）2 （B） （C）6 （D）42 2【答案】C【解析】 ，其圆心坐标为 ，半径 由题意可知直线 是圆22:-1xy,1（ ） 2r:10()lxayR的直径所在直线，它过圆心 ，所以 由几何图,C（ ） 01(4,)aaAC形可知， ，故选 C 2406Ar（9） 【2015 年重庆，理 9】若 ，则 （ ）tant53cos()1in5（A）1 （ B）2 （C）3 （D）4【答案】C【解析】 ，
5、sin5tan2tico53cos()cos()si()sincosinco10255ininn555将 式带入上式可得： ，故选 C3cs()10i（10） 【2015 年重庆，理 10】设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂20,xyabFAF线与双曲线交于 两点，过 分别作 的垂线交于点 若 到直线 的距离小于,BC,ABDBC，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）2ab（A） （B） （C） （D）1,0,1,2,0,2,【答案】A【解析】由题意可得： 在 中，由射影定理有：2(,0),(,),bbAaFcAFcaBaRtAB即点 到直线 的距离为 ，由222 ()BBF
6、DC2()ca题意得： 而双曲线的渐近线斜率2()ca201babca，故选 A1,0(,)bk二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置（11） 【2015 年重庆，理 11】设复数 的模为 ，则 i,abR3iiab【答案】3【解析】复数 的模为 i(,)abR22333abab2(i)3abab（12） 【2015 年重庆，理 12】 的展开式中 的系数是 （用数字作答） 51x8x【答案】 52【解析】 故 的展开式中 的系数为71535 211() 822rrrrrTCxCxr 351()x8x25（13） 【2015
7、年重庆，理 13】在 中， ， ， 的角平分线 ，则 AB012ABPC3ADC【答案】 6【解析】由正弦定理可得： ，2sin45150siniDDBB，再由正弦定理可得： 30C 6iACB考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分（14） 【2015 年重庆，理 14】如图，圆 的弦 相交于点 ，过点 作圆 的切线与 的延长线交于点O,EAODC，若 ， ， ， ，则 P6A9E3P:2:1E【答案】2【解析】由切割线定理可得： 再由相交2 96,3ACDPC 弦定理可得： 2BB（15） 【2015 年重庆，理 15】已知
8、直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为l 1xty极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 则直x C235cos4(0,)4线 与曲线 的交点的极坐标为 lC【答案】 2,【解析】直线 的直角坐标方程为 由2yx2222cos4(csin).xy由 240yx35i0=4y及故直线 与曲线 的交点的极坐标为 lC,（ ）（16） 【2015 年重庆，理 16】若函数 的最小值为 5，则实数 _()1fxxaa【答案】4 或-6【解析】分情况讨论：（1）当 时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知： 在 处取a fxa得最小值 5，所以 ；（2）当 时，利
9、用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像|1|56可知： 在 处取得最小值 5， ，综上，可得实数 或 4fx|1|4aa6三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （17） 【2015 年重庆，理 17】 （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个（）求三种粽子各取到 1 个的概率；（）设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列与数学期望XX解：（）令 表示事件“三种粽子各取到一个” ，
10、则 A123504CPA（） 所有可能取值为 ，且 ， ， X0,1238107PX1283075X218305CPX故分布列见表：且 71302155EX（个） （18） 【2015 年重庆，理 18】 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分）设2sinsi3cos2fxxx（）求 的最小正周期和最大值；f（）讨论 在 上的单调性,63解：（）由题 ，故 的最小正周213cosincosin1cos2fxxxx3in2fx期，最大值为 T23（）由 知 ，从而当 即 时， 单调递增；当,6x0x023x5612xfx即 时， 单调递减因此， 在 单调递增，在23521
11、3f f,单调递减5,1（19） 【2015 年重庆，理 19】 （本小题满分 13 分， （）小问 4 分， （）小问 9 分）如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， 分别为线段 上的点，PABCABC3P2ACB,DE,ABC且 ， 2DE2E（）证明： 平面 ；D（）求二面角 的余弦值P解：（）因 平面 ， 平面 ，故 又 ， ，故2EC为等腰直角三角形，且 因 ， 平面 ， 平面 ，CEPCDPCDPCD所以 平面 DEP（）如图，取 的中点 ，连 由（）知 为等腰直角三角形，故 ，FEFE又 ，故 ，因此 ，从而 1FC2AB/FA23FB32A以 为原点， 的方向分别为 轴的正方向建
12、立空间直角坐标系,xyz则 ， ， ， ， ，故 ， xyz03,001,D0,P1,0D， 设 为平面 的法向量，则1,3DP1,E11,nxyzA1nAP0 1 271575z yxFPEDCBA即 ，取 得 由（）知 平面 ，故 即为平面 的法11203xyz1y12,nDEPCDEPC向量因 ，故所求二面角 的余弦值为 13cos, 6|DEn A36（20） 【2015 年重庆，理 20】 （本小题满分 12 分， （）小问 7 分， （）小问 5 分）设函数23xafRe（）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；f0ayfx1,f（）若 在 上为减函数，
13、求 的取值范围,解：（）由题 ，因 在 处取得极值，故226336xxxaeeafx e f0，得 因此 ， 从而 ， ，所以曲线0f02xf 23xfe 31efe在点 处的切线方程为 即 yx1,f 31yey（）由题知 对 恒成立，故 即 对 恒成立显然f3x260xax31ax3在 单调递减，故 ，所以 ，即 的取值范围为31gx,ma932g92a9,2（21） 【2015 年重庆，理 21】 （本题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分）如图，椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点，且 210xyab12,F2,PQPQF（）若 ， ，求椭圆的标准方程；
14、1|22|P（）若 ，求椭圆的离心率 | e解：（）由题 ，故 又 ，故 ，因此 ，12|4aFa22214|1cPF23c221bac从而椭圆方程为 xy（）连 ，由题 ，故 ，从而1FQ111| |PQ 1| a21|FP，因此 ，所以 ，得2a22224|496cFa2963e63e（22） 【2015 年重庆，理 22】 （本题满分 12 分， （）小问 4 分， （）小问 8 分）在数列 中， ，na12110nnnaN（）若 ， ，求数列 的通项公式；na（）若 ， ，证明： 00,k10100223ka解：（）由 ， 得 因 ，故 ，得 因此 是首项为 3 公比221nnnnna为 2 的等比数列，从而 13a（）由题 ，因 ，故 210nnak101230naa 因 ，即 ，21000nnnnak 101nnk故 ，0 0 00111 10013323kk kkiii i iiaaa k因此 ，从而 0122k0011002kki综上可知 01003ka
