1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2015 年湖北，理 1，5 分】 为虚数单位， 的共轭复数为（ ）i607i（A） （B） （C）1 （D）i 1【答案】A【解析】 ，共轭复数为 ，故选 A6074153ii【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查（2） 【2015 年湖北，理 2，5 分】我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数
2、得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A）134 石 （B）169 石 （C）338 石 （D）1365 石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为 石，故选 B28153469【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础（3） 【2015 年湖北，理 3，5 分】已知 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项()nx式系数和为（ ）（A）（B ）（C）（D ）12 1210292【答案】D【解析】因为 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 ，解得 ，所以二项式()nx 37nC10n中奇数项的二项式系数
3、和为 ，故选 D1092【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力（4） 【2015 年湖北，理 4，5 分】设 ， ，这两个正态分布1(,)XN:2(,)YN:密度曲线如图所示下列结论中正确的是（ ）（A） （B）21()()PY 21()()PX（C）对任意正数 ， （D ）对任意正数 ，t()PtYtt()PXtYt【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于 对称，所以 ，从图中容易得到x12，故选 CXtYt【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数 和标准差 这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态
4、曲线的性质（5） 【2015 年湖北，理 5，5 分】设 ， 若 p： 成等比数列；12,naR 312,naq： ，则（ ）2211312()()()n na a （A）p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 （B）p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 （C）p 是 q 的充分必要条件 （D）p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】A【解析】对命题 成等比数列，则公比 且 ；12:,na 13nqa0na对命题 ，当 0时， 2222 21 1231()()()n na aa 成立；q当 n时，根据柯西不等式，等式2222 21131231()()n na
5、a 成2立，则 naa1321，所以 12,na 成等比数列，所以 是 的充分条件，但不是 的必要pqq条件故选 A（6） 【2015 年湖北，理 6，5 分】已知符号函数 是 上的增函数，,0,sg1,.x()fxR，则（ ）()()1gxfax（A） （B） （C） （D）snsgsgn()snxsgn()s()xfxsgn()sgn()fx【答案】B【解析】因为 是 上的增函数，令 ，所以 ，因为 ，所以 是 上的减函()fRf1a1x数，由符号函数 知， ，故选 B1,0,sgn,.x,0,sgnsgn,.xx（7） 【2015 年湖北，理 7，5 分】在区间 上随机取两个数 ，记 为
6、事件“ ”的概率， 为事件,y1p12y2p“ ”的概率， 为事件“ ”的概率，则（ ）1|2xy3p12xy（A） （B） （C） （D）13p31p312321【答案】B【解析】因为 ，,0,xy对事件“ ”如图（1）阴影部分 ，21S对事件“ ”，如图（ 2）阴影部分 ，xy2对事件“ ”，如图（3）阴影部分 ，3由图知，阴影部分的面积从下到大依次是 ，正方形的面积为 ，根据几何概型公式可231S1得 ，故选 B231p【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小（8） 【2015 年湖北，理 8，5 分】将离心率为
7、 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加1e1Ca()ba(0)m个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则（ ）2e2（A）对任意的 ， （B）当 时， ；当 时， ,ab1b12e12e（C）对任意的 ， （D）当 时， ；当 时，2aab【答案】D【解析】依题意， ， ，211beaa2221mme因为 ，由于 ， ， ，bmb 0a0b当 时， ， ， ， ，所以 ；a01a1mba22bm12e当 时， ， ，而 ，所以 ，所以 bb22a12所以当 时， ，当 时， ，故选 D12e1e3【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础（9） 【2015 年湖北，理 9
8、，5 分】已知集合 ，2(,)1,AxyxyZ，定义集合 ，则(,)|2,|,BxyyxZ2212()(,()BxyAxyB中元素的个数为（ ）A（A）77 （B）49 （C）45 （D）30【答案】C【解析】因为集合 ，所以集合 中有 9 个元素（即 9 个2,1,xyxyA点） ，即图中圆中的整点，集合 中有 25 个元素(,)|2,|,yxZ（即25 个点）：即图中正方形 中的整点，集合ABCD的元素可看作正方形12212(,)(,()ABxyxyxB1ABCD中的整点（除去四个顶点） ，即 个，故选 C745【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重
9、复的元素（10） 【2015 年湖北，理 10，5 分】设 ， 表示不超过 的最大整数 若存在实数 ，使得 ，xRxt1t， 同时成立，则正整数 的最大值是（ ）2tntn（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B【解析】由 得 ，由 得 ，由 得 ，可得 ，所以 ；1t2t2t23t43t45t25t25t由 得 ，所以 ，由 得 ，与 矛盾，故正整数 的最3t34t564t5t6t54t n大值是 4，故选 B【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题二、填空题：共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书
10、写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14 题）（11） 【2015 年湖北，理 11，5 分】已知向量 ， ，则 OAB|3OAB【答案】9【解析】因为 ，OAB， 3229【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题（12） 【2015 年湖北，理 12，5 分】函数 的零点2()4cos()sin|l(1)|xf x个数为 【答案】2【解析】因为， 24cos2sinl12cosin2siln1si2ln1xf xxxx所以函数 的零点个数为函数 与 图像如图，由图知，两函数图像右 2 个交点，f iyl1y所以函数 由 2 个零点fx【点评】本题考查
11、三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用4（13） 【2015 年湖北，理 13，5 分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处A时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶30 B在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 m7 CD【答案】 106【解析】依题意， ， ，在 中，由 ，30BAC15BAB180C所以 ，因为 ，由正弦定理可得 ，即 m，在45660sin45i332中，RtBCD因为 ， ，所以 ，所以 m3002tan3002CDB106D【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角
12、形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解（14） 【2015 年湖北，理 14，5 分】如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （B 在 Ax(1,)Ty,的上方） ，且 （1）圆 的标准方程为 ；（2）过点 任作一条直2ABCA线与圆 相交于 两点，下列三个结论：2:Oxy,MN ； ； N2ABBMA其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）【答案】 （1） ；（2）2xy【解析】 （1）依题意，设 （ 为圆的半径） ，因为 ，所以 ，所以圆心 ，1,Cr 2AB21r1,2C故圆的标准方程为 22xy（2
13、）解法一：联立方程组 ，解得 或 ，因为 在 的上方，2201021xy021xyBA所以 ， ，领直线 的方程为 ，此时 ， ，所以0,2A,BMNx,M,N，2MA， ， ，因为 ， ，B2N21AB21AB所以 所以 ，AM22BA，正确结论的序号是21N解法二：因为圆心 ， ，又 ，且 为 中点， ，1,C0,E2ABEAB0,21，0,21B， 在圆 ， 可设 ， ，M2:Oxycos,inMcos,inN2cos0sin1NA22132，42 si sin522cos0sin1NB22cosin1sin32，4 i sin，同理 所以 ，21si21nAB 21MABNAMB所以
14、，2NM，212AB正确结论的序号是【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题（一）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第 15 题作答结果计分 ）（15） 【2015 年湖北，理 15，5 分】 （选修 4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 ，则 _3BCPAB【答案】 12【解析】因为 是圆的切线， 为切点， 是圆的割线，由切割定理知，APC，因为 ，所以 ，即 ，B3B224PABP
15、AB由 ，所以 PBC 12A【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力（16） 【2015 年湖北，理 16，5 分】 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程为(sin3cos)0( t 为参数) ，l 与 C 相交于 ， 两点，则 1,xty AB|A【答案】 25【解析】因为 ，所以 ，所以 ，即 ；由 ，消去sin3cos0sin3cos030yx3yx1tyt得 ，联立方程组 ，解得 或 ，即 ，t24yx24yx23xy23y2,A
16、，由两点间的距离公式得 3,2B225AB【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题三、解答题：共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17） 【2015 年湖北，理 17，11 分】某同学用“五点法”画函数 在某一个周期()sin()fxAx(0,|)26内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 232356sin()Ax0 5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解析式；()fx（2）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象 若 图()yf()
17、yg()ygx象的一个对称中心为 ，求 的最小值5(,0)12解：（1）根据表中已知数据，解得 数据补全如下表：,6Ax0 23221237125613sin()Ax0 5 0 0且函数表达式为 (5sin()6fx（2）由（1）知 ，得 因为 的对称中心为 ，)2x (sin(2)6gxsinyx(,)k kZ令 ，解得 ， 由于函数 的图象关于点 成中心对称，6xk1kkZ()gx5(,0)12令 ，解得 ， 由 可知，当 时， 取得最小值 5212k2301k6【点评】本题主要考查了由 的部分图象确定其解析式，函数 的图象变换规律sinyAx sinyAx的应用，属于基本知识的考查（18
18、） 【2015 年湖北，理 18，12 分】设等差数列 的公差为 前 n 项和为 ，等比数列 的公、比为nadnSnbq已知 ， ， ， 1ba2qd10S（1）求数列 ， 的通项公式；n（2）当 时，记 ，求数列 的前 n 项和 dncbncnT解：（1）由题意知： ，即 ，得 或 ，故 或104502ad1290ad12ad1912nab1279nnab（2）由 ，知 ， ，故 ，d21na12nb12nc于是 34579nT 234517921n nT 7由-可得 ，故 234521111232n nnnT 1236nnT【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键
19、，注意解题方法的积累，属于中档题（19） 【2015 年湖北，理 19，12 分】 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，PABCDPABCDPPCE作交 于点 ，连接 EFF,.EF（1）证明： 试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直平 E角（只需写出结论） ；若不是，说明理由；（2）若面 与面 所成二面角的大小为 ，求 的值ABC3BC解：解法一：（1）因为 底面 ，所以 ，由底面 为长方形，有 ，而 ，PDPDBADBCDPCD所以 而 ，所以 又因为 ，
20、点 是 的中点，平 面 E平 面 EE所以 而 ，所以 平面 而 ，所以 EP平 面 B又 ， ，所以 平面 BFF由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，CB即四面体 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 F， ， ，（2）如图 1，在面 内，延长 与 交于点 ，则 是平面 与平面 的交线 PBEGDEACD由（1）知， ，所以 又因为 底面 ，所以 DF平 面 PPB 而 ，所以 DG平 面故 是面 与面 所成二面角的平面角，设 ， ，BFEA1有 ，在 RtPDB 中, 由 , 得 , 2B3F则 , 解得 2tant133BPD2所以 故当面 与面 所成二面角的大小为 时
21、，1.2DCBEACD3 2解法二：（1）如图 2，以 为原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角 ,DACP,xyz坐标系 设 ， ，则 ， 1PB(0)(,1)(,0)(,1)BC，点 是 的中点，所以 ， ，于是(,1)BE,2E2D，即 又已知 ，而 ，所以0DFBEF 因 , , 则 , 所以 由 平面F平 面 (01)C0PCPPB平 面 DE， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，即四面体 是一个鳖臑，PC F四个面的直角分别为 DEB， ， ，（2）由 ，所以 是平面 的一个法向量；A平 面 (,)AD由（1）知， ，所以 是平面 的一个法向量 平 面 (,1)EF
22、若面 与面 所成二面角的大小为 ，则 ，DEF321cos|BP8解得 所以 故当面 与面 所成二面角的大小为 时， 212.DCBDEFABC32DCB【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题（20） 【2015 年湖北，理 20，12 分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶制品生产 1 吨 产品需鲜, A牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 产品需鲜牛奶 15 吨，使用设备 15 小时，获利B1200 元要求每天 产品的产量不超过 产品产量的 2 倍，设备每天生产 两种产品时间之和不超过BA,A
23、B12 小时 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 03 05 02该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单位：元）是一个Z随机变量（1）求 的分布列和均值；Z（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率解：（1）设每天 两种产品的生产数量分别为 ，相应的获利为 ，则有 （1）,AB,xyz21.5,0, .xyW目标函数为 102zxy当 时 ， （ 1） 表 示 的 平 面 区 域 如 图 1， 三 个 顶 点 分 别 为 2W (0, )(2
24、.4, 8)(6,0)ABC将 变形为 ，当 时，直线 ： 在 轴上0zxy5620zx2.4, .8xyl512zyxy的截距最大，最大获利 ma.4.816Zz当 时 ， （ 1） 表 示 的 平 面 区 域 如 图 2， 三 个 顶 点 分 别 为 5 (0, )(3, )(7., 0)将 变形为 ，当 时，直线 ： 在 轴上的截02zxy5610zx3, xyl5612zyxy距最大，最大获利 当 时， （1）表示的平面区域如图 3，max3z8W四个顶点分别为 将 变形为 ，(, 0)(, (, 4)(9,)ABCD02zx0z当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，6,4xyl561
25、20zyy最大获利 max618Zz故最大获利 的分布列为8160 10200 10800P03 05 02因此， ()816.2.18.978.E（2）由（1）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 ，1().502.7pPZ由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为 331.097p9【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力（21） 【2015 年湖北，理 21，14 分】一种作图工具如图 1 所示 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，OAB长杆 MN 通过 N 处铰链与 O
26、N 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， 当1DN3M栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动一周（D 不动时，N 也不动） ，M 处的笔尖画出的曲线记为 C以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系OABx（1）求曲线 C 的方程；（2）设动直线 与两定直线 和 分别交于l1:20lxy2:0ly两点若直线 总与曲线 有且只有一个公共点，试探,PQC究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解：（1）设点 ， ，依题意，(,0)|2Dt0(,)(,)NxyM，且 ，2M|1O所以 ，且0(,)(,)tx
27、yt2001,.tyx即 且 由于当点 不动时，点0,2.02.t DN也不动，所以 不恒等于 0，于是 ，故 ，t 0tx00,42xy代入 ，可得 ，即所求的曲线 的方程为201xy2164xyC21.64x（2）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ，都有 l l4x8OPQS当直线 的斜率存在时，设直线 ，由1:()2ykm2,416ykxm消去 ，可得 因为直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，y22(14)8460kx lC所以 ，即 26(1)mk又由 可得 ；同理可得 ,0x,Pk(,)12Qk由原点 到直线 的距离为 和 ，可得OQ2|1md|PQPx 21|2 14PQPQm
28、Sdxkk 将代入得， 22481OSk当 时， ；214k22()()81PQ当 时， 0224814OSkk因 ，则 ， ，所以 ，214k028(1)84OPQSk当且仅当 时取等号所以当 时， 的最小值为 80综合（1） （2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值 8lC【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解10决本题的关键综合性较强，运算量较大（22） 【2015 年湖北，理 22，14 分】已知数列 的各项均为正数， ， 为自然对数na1()()nnbaNe的底数（1）求函数 的单调区间，并比较
29、 与 e 的大小；()1exfx1()n（2）计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明；1ba2231ba21nba（3）令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , ，证明： 12()nnc ncnSTenS解：（1） 的定义域为 ， 当 ，即 时， 单调递增；)fx(,()exf()0fx()fx当 ，即 时， 单调递减 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为0xx ,0) (0,)当 时， ，即 令 ，得 ，即 x()0f1ex1n1en()en（2） ； ；112ba22212()()3ba 由此推测： 33233211()()412(1).nnba下面用数学归纳法证明 当 时，左边
30、 右边 ，成立 n2假设当 时，成立，即 k1(1)kkba当 时， ，由归纳假设可得11 1()kkb所以当 时，也成立 1112211()(2)kkkkbaa 1nk根据（1） （2） ，可知对一切正整数 n 都成立（3）由 的定义，算术-几何平均不等式， 的定义及得nc b123nTc 11113212()()()naaa 1321()4nbb1 2 1 ()34(1)()nbbn 21()()1nbbn 12n 12()(naa 12eena S即 enTS【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题
