1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2015 年福建，理 1，5 分】若集合 （ 是虚数单位） ， ，则 等于（ ）234i,Ai1,BAB（A） （ B） （C） （D ）11, 【答案】C【解析】由已知得 ，故 ，故选 Ci,（2） 【2015 年福建，理 2，5 分】下列函数为奇函数的是（ ）（A） （ B） （C） （D）yxsinyxcosyxxye【答案】D【解析】函数 是非奇非偶函数； 和 是偶函数； 是奇
2、函数，故选 Dicosyxxe（3） 【2015 年福建，理 3，5 分】若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且2:196xE12,FPE，则 等于（ ）1PF2（A）11（B）9（C）5 （D）3【答案】B【解析】由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选 B126PFa236PFa29（4） 【2015 年福建，理 4，5 分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 （万元）x8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 （万元）y6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社
3、区一户收入为 15 万元家ybxa0.76,baybx庭年支出为（ ）（A）11.4 万元 （B）11.8 万元 （C）12.0 万元 （D）12.2 万元【答案】B【解析】由已知得 （万元） ， （万元） ，故8.2610.31.905x6.2758.09.8y，所以回归直线方程为 ，当社区一户收入为 15 万元家庭年支出为0.7.4a.70.4x（万元） ，故选 B5y（5） 【2015 年福建，理 5，5 分】若变量 满足约束条件 ，则 的最,xy20yx2zxy小值等于（ ）（A） （B） （C） （D）22232【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为 ，当 最小时，直
4、线 的纵截距最yxzyxz大，故将 直线 经过可行域，尽可能向上移到过点 时， 取到最小值，最小值2yx 1,2B2为 ，故选 A1522z（6） 【2015 年福建，理 6，5 分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1【答案】C【解析】程序在执行过程中 的值依次为： ； ； ； ； ；,Si,1Si,2Si1,3Si1,4Si0,5Si，程序结束，输出 ，故选 C0,6Si0（7） 【2015 年福建，理 7，5 分】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）,lmmlm/l（A）充分而不必要条件 （ B）必
5、要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 ，因为 垂直于平面 ，则 或 ，若 ，又 垂直于平面 ，则 ，所以“lm/ll/l l”是“ ”的必要不充分条件，故选 B/（8） 【2015 年福建，理 8，5 分】若 是函数 的两个不同的零点，且 这,ab20,fxpq,2ab三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】D【解析】由韦达定理得 ， ，则 ，当 适当排序后成等比数列时， 必为等比abpq0,ab,2a2中项，故 ， 当适当排序后成等差数列时， 必不是等差中项，当 是等
6、差中项时，4q a，解得 ；当 是等差中项时， ，解得 ，综上所述，42a1,4a8a4,1ab，所以 ，故选 D 5bp9p（9） 【2015 年福建，理 9，5 分】已知 ，若点 是 所在1,ABCAttpABC平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）4APP（A）13 （B）15 （C）19 （D）21【答案】A【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ，1,0Bt， ，即 ，所以 ， ，因此0,Ct1,04,1,P,4P,4t1,4PCt，因为 ，所以当 ，即 时取等号，67Btt12t t2的最大值等于 13，故选 A（10） 【2015 年福建，理 10，5 分】若
7、定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足Rfx01ffx，则下列结论中一定错误的是（ ）1fxk（A） （B ） （C） （D ）1fkfk1kf【答案】C【解析】由已知条件，构造函数 ，则 ，故函数 在 上单调递增，且gxfx0gfxgxR，故 ，所以 ， ，所以结论中一定错误的10k10k11k1fk是 C，选项 D 不确定；构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调hfh hxyBCAP3递增，且 ，所以 ，即 ， ，选项 A，B 无法判断，故选10k10hk1fk1fkC第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置（
8、11） 【2015 年福建，理 11，5 分】 的展开式中， 的系数等于 （用数字填写答案） 52x2x【答案】80【解析】 的展开式中 项为 ，所以 的系数等于 8052x23580C2（12） 【2015 年福建，理 12，5 分】若锐角 的面积为 ，且 ， ，则 等于 AB1035AB8CB【答案】7【解析】由已知得 的面积为 ，所以 ， ，所AB1sin2i23sin20,2A以 由余弦定理得 ， 32co49CC 7（13） 【2015 年福建，理 13，5 分】如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，A1,0,2fx若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ABCD
9、【答案】 512【解析】由已知得阴影部分面积为 所以此点取自阴影部分的概率等于 217543xd53412（14） 【2015 年福建，理 14，5 分】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数6,2logaxf01a,的取值范围是 a【答案】 1,2【解析】当 ，故 ，要使得函数 的值域为 ，只需 的值域包含x64xfx4,13log2afxx于 ，故 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以实数 取值范围4,1a13log2af3log2a是 （15） 【2015 年福建，理 15，5 分】一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ，其中*12nxN称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中
10、有时会发生码元错误（即1,2kxn k码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0） ，已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：127x，其中运算 定义为： ，其中运算 定义为：45672310xx0,01,现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成0,1,10 k了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 _k【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为 0，不同数字运算后为 1由 可判断后 4 个数字45670xx出错；由 可判断后 2 个数字没错，即出错的是第 4 个或第 5 个；由2367xx可判断出错的是第 5 个，综上，第 5 位发生码元错误1357
11、三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） 【2015 年福建，理 16，13 分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用4的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 ，则 A543()6P1
12、2（2）依题意得， 所有可能的取值是 1，2，3，又X 55421,(),(3)1663PX所以 X 的分布列为1 2 3p662所以 125()36E（17） 【2015 年福建，理 17，13 分】如图，在几何体 中，四边形 是矩形， 平面ABCDEABCDAB，BG， ， ， 分别是线段 ， 的中点CABECGF（1）求证： 平面 ；/FD（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值解：解法一：（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ，又 是 中点，所以 ，且 ，HBE/GHAB12AB又 是 中点，所以 ，由四边形 是矩形得， ，FCD12FCDACD/CD所以 且 ，从而四边形 是平行四边
13、形，所以 ，/GHGF/F又 平面 ， 平面 ，所以 平面 AEE/E（2）如图，在平面 内，过点 作 ，因为 ，所以 ，因为B/BQBBQAB平面 ，所以 ， ，以 为原点，分别以 的方向为CA,A轴，x轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，yz 0,2,02,1AEF因为 平面 ，所以 为平面 的法向量，设 为平ABE0,2BBEC(,)nxyz=面的法向量，又 ， ，由 得 ，EF,1AF0AF20z取 得 从而 ，2z=,12n 4cos,32|nB所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ABEC解法二：（1）如图，取 中点 ，连接 ，又 是 的中点，可知 ，又M,GFBE/GM
14、AE平AE面 平面 ，所以 平面 在矩形 中，由 ， 分别,DG/ADCDF是 ， 的中点得 ，又 平面 平面 ，所以 平BC/A,F/面 ，又因为 平面 平面 ，所以平面,平面 ，因为 平面 ，所以 平面 FF/E5（2）同解法一（18） 【2015 年福建，理 18，13 分】已知椭圆 ： 过点 ，且离心率为 E21(a0)xyb+=(,2） 2e=（1）求椭圆 的方程；E（2）设直线 交椭圆 于 ， 两点，判断点 与以线段:1lxmyRAB9,4GAB为直径的圆的位置关系，并说明理由解：解法一：（1）由已知得 解得 ，所以椭圆 的方程为 22bca2abcE214xy+=（2）设点 ，
15、， 中点为 由 ，得 ，1(,)Axy2(,)ByA0(,)Hxy214mxy2()30ym所以 ， ，从而 12+=m123=+02所以 2000 009552|()()(1)4416GHxyymy22211-|4AB21(-2122()-4y2012()-)my故 22012|55| ()6myy2235-()6271()所以 ，故 在以 为直径的圆外|GH94,AB解法二：（1）同解法一（2）设点 ， ，则 ， 1()Axy2(,)By19(,)4Gxy29(,)4Gxy由 ，得 ，所以 ， 24m230m12m123从而 12129()4GABxy 12125()()4y121255(
16、)()46yy22536m270()+=所以 ，又 不共线，所以 为锐角故点 在以 为直径的圆外cos,0AB,GABAGB9(4,0)AB（19） 【2015 年福建，理 19，13 分】已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将fx()cosgx=图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 个单位长()gx 2度（1）求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程；fx（2）已知关于 的方程 在 内有两个不同的解 ， ；fxgm0,（i）求实数 的取值范围；m6（ii）证明： 2cos()15m解：解法一：（1）将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原
17、来的 2 倍（横坐标不变）得到 的图像，再()gx= 2cosyx=将 的图像向右平移 个单位长度后得到 的图像，故 ，从而函数2cosy2cos(-)yx()inf图像的对称轴方程为 ()infx ()2xkZ（2） （i） （其中 ）()sicogx15(sincs5xin()x12si,cos5依题意， 在区间 内有两个不同的解 当且仅当 ，故 的取值范围n)m0,|m是 (5,（ii）因为 是方程 在 内的两个不同的解，所以si()x,2 sin()5，当 时， ，即 ；sin()515m()2当 时， ，即 ，132()32()所以 cos)cos( 2sin()115m2解法二：（
18、1）同解法一（2） （i）同解法一（ii）因为 ， 是方程 在区间 内的两个不同的解，所以 ，5sin()xm0,2)sin()5m，当 时， ，即 ；sin()m1(2当 时， ，即 ，所以532()32()cos)cos()(于是 cos()cos)cos()ssin)i2(sin()i 221()(5m15（20） 【2015 年福建，理 20，14 分】已知函数 ， lfxgxkR（1）证明：当 时， ；0xfx（2）证明：当 时，存在 ，使得对任意的 恒有 ；1k0,tfgx（3）确定 的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 ，恒有 0tx2|()|fx-fbc()f所以 c（2）由（1）知 ，由柯西不等式得4，2 22()(491)(231)()1649abcabc即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，228()7abc 82,77bc故 的最小值为 149
