1、题组层级快练( 八十三)1一枚硬币连掷 2 次，恰好出现 1 次正面的概率是( )A. B.12 14C. D034答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“只有 1 次正面”包含的结果一枚硬币连掷 2 次，基本事件有(正，正)，( 正，反) ，(反，正)，( 反，反)共 4 个，而只有 1 次出现正面的包括( 正，反)，(反，正)2 个，故其概率为 .24 122有 80 个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为( )A. B.3979 180C. D.12 4181答案 A解析 两数和为偶数，则两数同奇或同偶，故两数和为偶数的概率为 P .2C402C80
2、2 39793(2017云南统一检测)在 2，0，1，5 这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字 2 是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A. B.34 58C. D.12 14答案 C解析 分析题意可知，共有(0，1，2) ，(0，2，5) ，(1，2，5)，(0，1，5)4 种取法，符合题意的取法有 2 种，故所求概率 P .124(2018广东惠州模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的慨率为( )A. B.13 14C.
3、 D.15 16答案 A解析 设齐王上，中，下三个等次的马分别记为 a1，a 2，a 3，田忌的上，中，下三个等次的马分别记为 b1，b 2，b 3，从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛的所有可能为a1b1，a 1b2，a 1b3，a 2b1，a 2b2，a 2b3，a 3b1，a 3b2，a 3b3，共 9 种由题设知田忌获胜有 3 种情况：a 2b1，a 3b1，a 3b2，故田忌获胜的概率为 ，故选 A.39 135(2018广西南宁一模)某高校要从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加全省大学生运动会中的4100 m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为(
4、)A. B.415 215C. D.421 15答案 C解析 从 6 名短跑运动员中任选 4 人参加 4100 m 接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有 A642A 53A 42252 种，在这 252 种方法中甲跑第二棒的方法共有C41A4248 种，因此所求的概率为 ，选 C.48252 4216(2018郑州市质检)某公司安排 6 位员工在“元旦(1 月 1 日至 1 月 3 日)”假期值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天，则 6 位员工中甲不在 1 日值班的概率为( )A. B.13 23C. D.34 56答案 B解析 该公司安排 6 位员工在“元旦(1 月 1 日至
5、 1 月 3 日) ”假期值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天，基本事件总数 nC 62C42C22，6 位员工中甲不在 1 日值班包含的基本事件个数mC 52C42C22， 6 位员工中甲不在 1 日值班的概率 P .故选 B.mn C52C42C22C62C42C22 237(2017山东，理)从分别标有 1，2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B.518 49C. D.59 79答案 C解析 方法一：从 9 张卡片中依次抽取 1 张，共取 2 次有 C91C81 种不同方法，其中 2 次抽得卡片的
6、奇偶性不同的方法有 2C51C41 种由古典慨型概率公式得 P .2C51C41C91C81 4072 59方法二：由题意知两次取卡片，彼此相互独立，则两次取得卡片奇偶性不同的概率为 .59 48 49 58 598(2018北京朝阳区期末)甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训，在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下，甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85从甲、乙两人的这 5 次成绩中各随机抽取一个，则甲的成绩比乙的成绩高的概率为( )A. B.1225 925C. D.1325 1425答案 A解析 记甲被抽到的成绩为 x，乙被抽到的成绩为 y，用数对(x
7、，y) 表示基本事件，有：(82，95)，(82 ，75)，(82，80)，(82 ，90)，(82 ，85)，(82，95) ，(82，75)，(82 ，80)，(82，90)，(82 ，85)，(79，95)，(79 ，75)，(79 ，80)，(79，90) ，(79，85)，(95 ，95)，(95，75)，(95，80) ，(95，90)，(95，85) ，(87，95) ，(87，75)，(87 ，80)，(87，90) ，(87，85)，基本事件总数 n25.设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件 A，事件 A 包含的基本事件有：(82，75)，(82 ，80)，(82，75)，(82
8、 ，80)，(79 ，75)，(95，75) ，(95，80)，(95 ，90)，(95，85)，(87 ，75)，(87，80)，(87 ，85)，事件 A 包含的基本事件数 m12.所以 P(A) .故选 A.mn 12259从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A. B.110 18C. D.16 15答案 D解析 在正六边形中，6 个顶点选取 4 个，种数为 15.选取的 4 点能构成矩形的，只有对边的 4 个顶点(例如 AB 与 DE)，共有 3 种，所求概率为 .315 1510(2018长沙雅礼中学质检) 现有 10 个数，
9、它们能构成一个以 1 为首项，2 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是( )A. B.12 35C. D.45 710答案 D解析 数列的通项公式为 an(2) n1 ，数列中的偶数项都为负数，小于 8，共有 5 项，奇数项的第 1，3 项小于 8，故小于 8 的数有 7 个，因此概率为 P .71011从 1，2，9 这 9 个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是( )A. B.59 49C. D.1121 1021答案 C解析 基本事件总数为 C93，设抽取 3 个数，和为偶数为事件 A，则 A 事件包括两类：抽取 3 个
10、数全是偶数，或抽取 3 个数中 2 个奇数 1 个偶数，前者有 C43 种，后者有 C41C52 种，所以 A 中基本事件数为 C43C 41C52，所以符合要求的概率为 .故选 C.C43 C41C52C93 112112(2017甘肃模拟)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为 m 和 n，则复数(mni) 2 为纯虚数的概率为( )A. B.13 14C. D.16 112答案 C解析 投掷两颗骰子共有 36 种结果，因为(mni) 2m 2n 22mni ，所以要使复数(mni)2 为纯虚数，则有 m2n 20 ，即 mn，共有 6 种结果，所以复数为纯虚数的概率为 ，故选 C.636 16
11、13一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( )A. B.132 164C. D.332 364答案 D解析 基本事件为(1，1)，(1，2) ，(1，8)，(2 ，1)，(2 ，2)，(8，8) ，共 64 种两球编号之和不小于 15 的情况有三种，分别为(7，8) ，(8，7)，(8 ，8)，所求概率为 .36414(2017惠州调研)设 A，B 两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若 A，B 不选同一位教师，则学生 A 选择数学教师，学生 B
12、 选择英语教师的概率为( )A. B.13 512C. D.12 712答案 A解析 设两位数学教师用 1，2 表示，两位英语教师用 3，4 表示，不妨让 A 先选，B 后选(不重复) ，则他们所有的选择结果如下：(1，2) ，(1，3)，(1，4)，(2 ，1)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3 ，2)，(3，4)，(4 ，1)，(4 ，2)，(4，3) ，共 12 种情况，其中学生 A 选择数学教师，学生 B 选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1 ，3)，(1，4) ，(2，3)，(2，4) ，共 4 种情况，所以所求概率 P .1315.如图是甲、乙两位同学高二上学期
13、历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用 a(3a8 且 aN) 表示被污损的数字则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为( )A. B.13 56C. D.16 23答案 D解析 甲同学的历史平均成绩为 92 分，若甲同学的历史平均成绩不88 90 93 94 955低于乙同学的历史平均成绩， 92，得 a6.因为 3a8，所以86 88 92 98 90 a53a6 且 aN，记甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩为事件 A，则事件 A 包含 4 个基本事件，而基本事件总数共有 6 个，所以事件 A 的概率 P(A) .46 2316(2014课标全国文)甲、乙两名
14、运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案 13解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为(红，白)，( 白，红) ，(红，蓝)，( 蓝，红)，( 白，蓝 )，(蓝，白) ，(红，红)，( 白，白)，(蓝，蓝)，共 9 种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共 3 种故所求概率为 P .39 1317盒中有 3 张分别标有 1，2，3 的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的
15、概率为_答案 59解析 对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有 224 种抽法而有放回的两次抽了卡片共有 339 种基本事件，因此所求事件概率为 1 .49 5918某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A 2，A 3 和 3 个欧洲国家 B1，B 2，B 3 中选择 2个国家去旅游(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率答案 (1) (2)15 29解析 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1，A 2
16、)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共 15 个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共 3 个则所求事件的概率为：P .315 15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B
17、 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A3，B 3)，共 9 个包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共 2 个，则所求事件的概率为：P .2919从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65) ，65，75)，75 ，85内的频率之比为 421.(1)求这些产品质量指标值落在区间75 ，85内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间45 ，75)内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从
18、中任意抽取 2 件产品，求这 2 件产品都在区间45，65)内的概率答案 (1)0.05 (2)23解析 (1)设质量指标值落在区间75 ，85内的频率为 x，则质量指标值落在区间55，65) ，65，75)内的频率分别为 4x，2x.依题意得(0.0040.0120.019 0.030) 104x2xx 1，解得 x0.05.所以质量指标值落在区间75，85 内的频率为 0.05.(2)由(1)得，质量指标值落在区间45 ，55)，55 ，65)，65，75) 内的频率分别为0.3，0.2，0.1.用分层抽样的方法在区间45，75) 内抽取一个容量为 6 的样本，则在区间45，55)内应抽取
19、 6 3 件，记为 A1，A 2，A 3；0.30.3 0.2 0.1在区间55，65)内应抽取 6 2 件，记为 B1，B 2；0.20.3 0.2 0.1在区间65，75)内应抽取 6 1 件，记为 C.0.10.3 0.2 0.1设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间45，65) 内”为事件 M，因为所有的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A2，B 2)，(A 2，C)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C)，(B 1， B2)，(B 1，
20、C)，(B 2，C)，共 15种，事件 M 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共 10 种，所以 P(M) ，1015 23所以这 2 件产品都在区间45，65) 内的概率为 .231(2018广东五校协作体联考) 从 19 这 9 个自然数中任取 7 个不同的数，则这 7 个数的平均数是 5 的概率为( )A. B.23 13C. D.19 18答案 C解析 从 19 这 9 个自然数中任取 7 个不同的数的取法
21、共有 C97 36 种，因为98219283746，所以从(1，9) ，(2，8) ，(3，7)，(4，6)中任选 3 组，则有C434 种，再加上 5，故这 7 个数的平均数是 5 的概率为 ，故选 C.436 192(2018衡水中学调研卷)3 位大学生乘坐同一列“子弹头”CRH1AA 动车，该动车有 8节车厢，则至少有 2 位大学生在同一节车厢的概率为( )A. B.2132 5764C. D.1132 1116答案 C解析 3 位大学生的乘车方式共有 83 种，其中均不在同一节车厢的乘车方式有 A83 种，所以 3 位大学生均不在同一节车厢的概率为 ，故至少有 2 位大学生在A8383
22、 87683 2132同一节车厢的概率为 1 ，故选 C.2132 11323已知直线 l1：x2y1 0，直线 l2：axby10，其中 a，b1，2，3，4，5，6，则直线 l1 与 l2 的交点位于第三象限的概率为( )A. B.34 14C. D.13 12答案 A解析 当 l2 的斜率大于 l1 的斜率时，直线 l1 与 l2 的交点位于第三象限，此时共有六种情况：b1，a1，2，3，4，5，6 ；b2，a 2 ，3，4，5，6；b3，a2 ，3，4，5，6；b4，a3，4，5，6；b 5，a 3 ，4，5，6；b6 ，a4 ，5，6所以所求概率为 ，选 A.2766 344(201
23、5广东文)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( )A0.4 B0.6C0.8 D1答案 B解析 设 5 件产品中合格品分别为 A1，A 2，A 3，2 件次品分别为 B1，B 2，则从 5 件产品中任取 2 件的所有基本事件为A1A2，A 1A3，A 1B1，A 1B2，A 2A3，A 2B1，A 2B2，A 3B1， A3B2，B 1B2，共 10 个，其中恰有一件次品的所有基本事件为：A 1B1，A 1B2，A 2B1，A 2B2，A 3B1，A 3B2，共 6 个故所求概率为 P 0.6.6105(2015课标全国，文)如
24、果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B.310 15C. D.110 120答案 C解析 基本事件的总数为 10，其中能构成一组勾股数的只有3，4，5 ，所求概率为 ，110选 C.6现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率；先由计算器给出0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0，1 表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7
25、527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( )A0.852 B0.819 2C0.8 D0.75答案 D解析 因为射击 4 次至多击中 2 次对应的随机数组为 7140，1417，0371，6011，7610，共5 组，所以射击 4 次至少击中 3 次的概率为 1 0.75，故选 D.5207从1，2，3，4，5中随机选取一个数为 a，从1，2，3中随机选取一个数为 b，则ba 的
26、概率是( )A. B.45 35C. D.25 15答案 D解析 基本事件的个数有 5315，其中满足 ba 的有 3 种，所以 ba 的概率为 .315 158(2017浙江金丽衢十二校二联)4 张卡上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A. B.12 13C. D.23 34答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1，2) ，(1，3)，(1 ，4)，(2，3)，(2 ，4)，(3，4)，共 6 种其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3)，(2 ，4)共 2 种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的
27、概率为 .139有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B.13 12C. D.23 34答案 A解析 由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共 339 种又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为 3，故概率为 .39 1310一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球与 2 个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A. B.35 310C. D.12 625答案 B解析 设 3 个白球分别为 a1，a
28、2，a 3，2 个黑球分别为 b1，b 2，则先后从中取出 2 个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1， a3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2， a3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共 20 种其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a1，b 2)，(a 2， b1)，(a 2，b
29、 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共 6 种，故所求概率为 .620 31011将一个骰子向上抛两次，所得点数分别为 m 和 n，则 n2m 的概率是_答案 56解析 基本事件的总数为 6636，满足 n2m 的数对(n，m)为(6，2) ，(6，1)，(5 ，2)，(5，1)，(4 ，1)，(3，1)，共 6 个，所以所求概率为 1 .636 5612(2018江苏南京调研)某单位要在四名员工 (含甲乙两人)中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是_答案 56解析 在四名员工(含甲乙两人 )中随机选两名，共有 6 种可能，其中甲乙两人都未被选中只有 1 种
30、可能，甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 1 .16 5613(2013江苏)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9) 可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 _答案 2063解析 从正整数 m，n(m7，n9) 中任取两数的所有可能结果有 C71C9163 个，其中m，n 都取奇数的结果有 C41C5120 个，故所求概率为 .206314如图所示是某市 2017 年 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 2月 1 日至 2 月 12 日中的某
31、一天到达该市，并停留 3 天(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有 1 天空气重度污染的概率答案 (1) (2)16 23解析 (1)在 2 月 1 日至今 2 月 12 日这 12 天中，只有 5 日， 8 日共 2 天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率 P .212 16(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有 1 天空气重度污染 ”，即“此人到达该市停留期间 0 天空气重度污染或仅有 1 天空气重度污染” “此人在该市停留期间 0 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日或 8 日或9 日” ，其概率为 .312 14“此人在
32、该市停留期间仅有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 3 日或 5日或 6 日或 7 日或 10 日” ，其概率为 .512所以此人停留期间至多有 1 天空气重度污染的概率为 P .14 512 2315(2017广东深圳)已知复数 zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为 M.设集合P 4 ，3， 2，0，Q 0，1，2，从集合 P 中随机抽取一个数作为 x，从集合 Q中随机抽取一个数作为 y，求复数 z 为纯虚数的概率答案 16解析 记“复数 z 为纯虚数”为事件 A.组成复数 z 的所有情况共有 12 个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i ，0，i，2i
33、，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件 A 包含的基本事件共 2 个：i，2i ，所求事件的概率为 P(A) .212 1616(2018安徽省安师大附中高三阶段测试) 某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 120 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分)50，70) 70，90) 90，110)110，130)130，150 总计频数 b频率 a 0.25(1)求表中 a，b 的值及成绩在90，110) 范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(
34、成绩在90，150内为及格) ；(2)若从茎叶图中成绩在100， 130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于 10 的概率答案 (1)0.65 (2)1021解析 (1)由茎叶图知成绩在50 ，70)范围内的有 2 人，在110，130) 范围内的有 3 人，a0.1，b3.成绩在90，110)范围内的频率为 10.10.250.25 0.4.成绩在90，110)范围内的样本数为 200.48，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P10.10.250.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为(100，102)，(100，106)，(100 ，10
35、6)，(100 ，116)，(100 ，118)，(100，128) ，(102，106)，(102，106)，(102，116)，(102 ，118)，(102，128)，(106，106) ，(106，116)，(106，118)，(106，128)，(106，116)，(106 ，118)，(106，128)，(116，118) ，(116，128)，(118，128) ，共 21 个基本事件，设事件 A“取出的两个样本中数字之差小于等于 10”，则 A(100，102) ，(100，106)，(100，106) (102，106)，(102，106)，(106 ，106)，(106，116)，(106，116)，(116，118)，(118 ，128)，共 10 个基本事件，P(A) .1021
