1、专题层级快练( 七十一)1(2017绵阳二诊)若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 在椭圆上x24 y23的任意一点，则 的最大值为( )OP FP A. B6214C8 D12答案 B解析 由题意得 F(1，0)，设 P(x，y)，则 (x ，y)(x1，y)x 2xy 2，又点OP FP P 在椭圆上，故 1，所以 x2x3 x2 x2x3 (x2) 22，又x24 y23 34 14 142x2，所以当 x2 时， (x2) 22 取得最大值 6，即 的最大值为 6.14 OP FP 2(2018四川成都七中模拟) 若直线 l 过抛物线 C：y 24x 的焦点 F
2、交抛物线 C 于 A，B 两点，则 的取值范围为( )1|AF| 1|BF|A1 B(0，1C1，) D ， 112答案 A解析 由题意知抛物线 C：y 24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，准线方程为 x1.设过点 F的直线 l 的斜率 k 存在，则直线的方程为 yk(x1)代入抛物线方程，得 k2(x1)24x，化简得 k2x2(2k 24)xk 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x21.根据抛物线性质可知，|AF|x 11，|BF| x 21， 1.当直线 l1|AF| 1|BF| 1x1 1 1x2 1 x1 x2 2x1 x2 2的斜率不存在时，直线的方程
3、为 x1，把 x1 代入 y24x 得 y2， 1.故1|AF| 1|BF|选 A.3(2018云南曲靖一中月考) 已知点 P 为圆 C：x 2y 22x4y10 上的动点，点 P 到某直线 l 的最大距离为 6.若在直线 l 上任取一点 A 作圆的切线 AB，切点为 B，则|AB| 的最小值是_答案 2 3解析 由 C：x 2y 22x4y 10，得(x1) 2(y 2) 24，由圆上动点 P 到某直线 l 的最大距离为 6，可知圆心 C(1，2)到直线 l 的距离为 4.若在直线 l 上任取一点 A 作圆的切线AB，切点为 B，则要使|AB|最小，需 ACl，|AB|的最小值是 2 .42
4、 22 34(2018河南百校联盟质检) 已知椭圆 C： 1(ab0)的四x2a2 y2b2个顶点组成的四边形的面积为 2 ，且经过点(1， )222(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 C 的下顶点为 P，如图所示，点 M 为直线 x2 上的一个动点，过椭圆 C 的右焦点F 的直线 l 垂直于 OM，且与 C 交于 A，B 两点，与 OM 交于点 N，四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1，S 2.求 S1S2 的最大值答案 (1) y 21 (2)x22 22解析 (1)(1 ， )在椭圆 C 上， 1，又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为22 1a2 12b22 ， 2a2b2 ，
5、ab ，解得 a22，b 21，椭圆 C 的方程为 y 21.212 2 2 x22(2)由(1)可知 F(1，0)，设 M(2，t)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则当 t0 时，直线 OM 的方程为 y x.所以 kAB ，直线 AB 的方程为 y (x1)，t2 2t 2t即 2xty20(t0)，由 得(8t 2)x2 16x82t 20.y 2t（x 1），x2 2y2 2 0，)则 (16) 24(8 t 2)(82t 2)8(t 44t 2)0，x1x 2 ，x 1x2 .168 t2 8 2t28 t2|AB| .1 kAB28 t2 1 4t2 22t2（t2 4
6、）8 t2 22（t2 4）8 t2又|OM| ，S 1 |OM|AB| .t2 412 12t2 4 22（t2 4）8 t2 2（t2 4）t2 48 t2由 得 xN ，S 2 1 .y 2t（x 1），y t2x ) 4t2 4 12 4t2 4 2t2 4S 1S2 b0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32抛物线 C2：x 2ay 的准线方程为 y .12(1)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程；(2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C1 交于不同的两点 P，Q ，若 O 在以 PQ 为直径的圆的外部，求直线 l 的斜率 k 的取值范围答案 (1) y 21 (2)k
7、 (2， )( ，2)x24 32 32解析 (1)由题意得 ，a2，故抛物线 C2 的方程为 x22y.a4 12又 e ，c ，b1，从而椭圆 C1 的方程为 y 21.32 3 x24(2)显然直线 x0 不满足条件，故可设直线 l：ykx2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)由 得(14k 2)x216kx120.x24 y2 1，y kx 2，)(16k) 2412(14k 2)0，k(， )( ， ) ，32 32x1x 2 ，x 1x2 ， 16k1 4k2 121 4k2根据题意，得 00，2 OP OQ x 1x2y 1y2x 1x2(kx 12)(kx 22)(1
8、k 2)x1x22k(x 1x 2)OP OQ 4 2k 4 0，12（1 k2）1 4k2 16k1 4k2 16 4k21 4k22b0) 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心x2a2 y2b2率为 ，点 A 在椭圆 C 上，|AF 1|2，F 1AF260，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭12圆 C 交于 P，Q 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2 上是否存在点 M(m， 0)，使得 MNPQ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2) 存在 理由略x24 y23解析 (1)由 e 得 a2c. 由 |
9、AF1|2 得|AF 2|2a 2.12由余弦定理得|AF 1|2|AF 2|22|AF 1|AF2|cosF 1AF2|F 1F2|2，即 a23a3c 2，解得c1，a2，b 2a 2c 23.所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)存在这样的点 M 符合题意设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)由 F2(1， 0)，设直线 PQ 的方程为 yk(x 1)，由 得(4k 23)x 28k 2x4k 2120，x24 y23 1，y k（x 1），)得 x1x 2 ，故 x0 .8k24k2 3 x1 x22 4k24k2 3又点 N 在直线 PQ 上，所
10、以 y0 ，所以 N( ， ) 3k4k2 3 4k24k2 3 3k4k2 3因为 MNPQ ，所以 kMN ，整理得 m (0 ， )0 3k4k2 3m 4k24k2 3 1k k24k2 314 3k2 14所以在线段 OF2 上存在点 M(m，0) ，使得 MNPQ，m 的取值范围为(0， )141(2018山西五校联考)设点 F 为椭圆 C： 1(m0) 的左焦点，直线 yx 被椭圆 Cx24m y23m截得的弦长为 .4427(1)求椭圆 C 的方程；(2)圆 P：(x )2(y )2r 2(r0)与椭圆 C 交于 A， B 两点，M 为线段 AB 上任意一437 337点，直线
11、 FM 交椭圆 C 于 P，Q 两点，AB 为圆 P 的直径，且直线 FM 的斜率大于 1，求|PF|QF|的取值范围答案 (1) 1 (2)( ， x24 y23 94 125解析 (1)由 得 x2y 2 ，故 2 2 ，解得 m1，故y x，x24m y23m 1，) 12m7 x2 y2 24m7 4427椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x1 x2 837，y1 y2 637. )又x124 y123 1，x224 y223 1，)所以 0，（x1 x2）（x1 x2）4 （y1 y2）（y1 y2）3则(x 1x 2)(y
12、1y 2)0，故 kAB 1.y1 y2x1 x2所以直线 AB 的方程为 y x ，即 yx ，代入椭圆 C 的方程并整理得337 437 37x28 x0，则 x10，x 2 .3837又 F(1，0)，直线 FM 的斜率大于 1，则直线 FM 的斜率 k ，) 3设 FM： yk(x1)，由 得(3 4k 2)x28k 2x4k 2120，y k（x 1），x24 y23 1，)设 P(x3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则有 x3x 4 ，x 3x4 . 8k23 4k2 4k2 123 4k2又|PF| |x31|，|QF| |x41|，1 k2 1 k2所以|PF|QF|(1k
13、2)|x3x4 (x3x 4)1|(1k 2)| 1|4k2 123 4k2 8k23 4k2(1k 2) (1 )93 4k2 94 13 4k2因为 k ，所以 |F 1F2|2 ，2由椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹 G 是以 F1，F 2 为焦点的椭圆，其方程为 1.y24 x22(2)设直线 l 的方程为 y xm，2代入椭圆方程得( xm) 22x 24，2即 4x22 mxm 240.2由 8m 216(m 24)8(8m 2)0，得 m2b0) 的离心率为 ，且经过点 P(1， )过x2a2 y2b2 12 32它的两个焦点 F1，F 2 分别作直线 l1 与 l2，l 1 交
14、椭圆于 A，B 两点，l2 交椭圆于 C，D 两点，且 l1l 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围答案 (1) 1 (2) ，6x24 y23 28849解析 (1)由 a2c ，所以 a24c 2，b 23c 2，将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c21，故ca 12所求椭圆方程为 1.x24 y23(2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积S6.若 l1 与 l2 的斜率都存在，设 l1 的斜率为 k，则 l2 的斜率为 ，1k则直线 l1 的方程为 yk(x1)设 A(x1，y 1)， B(x2，
15、y 2)，联立得方程组 y k（x 1），x24 y23 1，)消去 y 并整理，得(4k 23)x 28k 2x4k 2120.x 1x 2 ，x 1x2 ，8k24k2 3 4k2 124k2 3|x 1x 2| ，|AB| |x1x 2| .12k2 14k2 3 1 k2 12（k2 1）4k2 3注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用 代替中的 k，得|CD| ，1k 12（k2 1）3k2 4S |AB|CD| ，令 k2t (0，)，12 72（1 k2）2（4k2 3）（3k2 4）S 72（1 t）2（4t 3）（3t 4） 6（12t2 25t 12） 6t12t2 2
16、5t 126 6 ，612t 12t 25 649 28849S ，628849综上可知，四边形 ABCD 的面积 S ，6288494(2017衡水中学调研)已知椭圆 C： 1(ab0) 过点 A( ， )，离心率为 ，x2a2 y2b2 22 32 22点 F1，F 2 分别为其左、右焦点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 y24x 上存在两个点 M，N ，椭圆上有两个点 P，Q 满足 M，N，F 2 三点共线，P，Q，F 2 三点共线，且 PQMN，求四边形 PMQN 面积的最小值答案 (1) y 21 (2)4x22 2解析 (1)由题意得 ，得 bc. 1(ab0)，c1，a 2
17、2，椭ca 22 （ 22）2a2 （32）2b2圆 C 的标准方程为 y 21.x22(2)当直线 MN 斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0，易得 |MN|4，|PQ|2 ，S 四边形2PMQN4 .2当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 yk(x1)(k0)，与 y24x 联立得k2x2(2k 24)xk 20.令 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x1x 2 2，x 1x21，4k2|MN| 4.1 k2 （x1 x2）2 4x1x24k2PQMN ，直线 PQ 的方程为 y (x1) 1k将直线与椭圆联立，得(k 22)x 24x22k 20.令 P(x3，y 3)，
18、Q(x 4，y 4)，则 x3x 4 ，x 3x4 ，4k2 2 2 2k2k2 2|PQ| .1 1k2 （x3 x4）2 4x3x4 22（1 k2）k2 2四边形 PMQN 的面积 S ，42（1 k2）2k2（k2 2）令 1k 2t(t1)，则 S 4 (1 )4 ，42t2（t 1）（t 1） 42t2t2 1 2 1t2 1 2S4 ，其最小值为 4 .2 25(2015浙江文)已知抛物线 C 的顶点为 O(0，0)，焦点为 F(0，1)(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，若直线 AO，BO 分别交直线 l：yx2 于 M，N 两点，
19、求|MN|的最小值答案 (1)x 24y (2)852解析 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x22py(p0) ，则 1，所以抛物线 C 的方程为p2x24y.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 的方程为 ykx1.由 消去 y，整理，得 x24kx40.y kx 1，x2 4y，)所以 x1x 24k，x 1x24.从而|x 1 x2|4 .k2 1由 解得点 M 的横坐标为 xM .y y1x1x，y x 2，) 2x1x1 y12x1x1 x124 84 x1同理，点 N 的横坐标 xN .84 x2所以|MN| |xMx N| | |2 284 x1
20、84 x28 | | .2x1 x2x1x2 4（x1 x2） 16 82k2 1|4k 3|令 4k3t，t0，则 k .t 34当 t0 时，|MN|2 2 ；225t2 6t 1 2当 tb0)的左焦点为 F(c，0)，离心率为 ，点 M 在椭x2a2 y2b2 33圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2y 2 截得的线段长为 c，|FM| .b24 433(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP(O 为原点) 的斜率的取值范2围解析 (1)由已知有 ，又由 a2b 2c 2，可得 a23c 2，b 22c
21、2.c2a2 13设直线 FM 的斜率为 k(k0)，则直线 FM 的方程为 yk(xc) 由已知，有 ，解得 k .(kck2 1)2(c2)2(b2)233(2)由(1)得椭圆方程为 1，直线 FM 的方程为 y (xc) ，两个方程联立，消去x23c2 y22c2 33y，整理得 3x22cx5c 20，解得 x c，或 xc.因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐53标为 .(c，233c)由|FM| ，解得 c1，所以椭圆的方程为 1.（c c）2 (233c 0)2 433 x23 y22(3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为 t，得 t ，即 yt(x1)(x1) ，与椭yx 1圆方程联立 消去 y，整理得 2x23t 2(x1) 26.y t（x 1），x23 y22 1，)又由已知，得 t ，解得 0.于是 m ，得 m .( 32， 1) 2x2 23 ( 23，233)当 x(1，0)时，有 yt(x1)0，因此 m0.于是 m ，得 m .2x2 23 ( ， 233)综上，直线 OP 的斜率的取值范围是 .( ， 233) ( 23，233)
