1、学校教学主楼人员紧急疏散策略建模摘 要本文针对学校教学楼紧急疏散问题进行分析，讨论了通过每个门的人流排数、全部通过的时间等作为评价指标，建立了非线性规划数学模型。应用了 matlab、方程的求解等知识。最后我们把总的时间划分为三部分，即：出教室的时间、一楼教室门到大门的时间、全体人员通过大门的时间；首先根据门的宽度及通过门的速度算出每个教室全部学生出去的时间，然后根据走廊的长度计算出通过走廊的时间，再根据每秒走的台阶个数及台阶的总数计算出通过楼梯时间，最后算出通过门的时间。虽然过程中每层楼都会有等待时间，通过计算及时间的转换，可以得出等待的时间被包含在出主教大门口的时间里，就不用考虑等待时间。
2、问题一先计算出一楼通过教室时间，其最长时间为 30.7s,讨论出教室时是否会不会堵塞，经计算得出出教室的时候会出现堵塞现象，所以取堵塞的时间，例如 D 区堵塞与不堵塞的时间分别为 22.1s、21.36s；通过走廊的时间容易算出，我们考虑第一个人通过走廊的时间，所取的速度比较大（因为第一个人无阻碍，在紧急逃生情况下，所行走的速度比较大）为 3m/s；在通过楼梯时候要考虑通过楼梯的人数，通过每个门（共有 6个门，不考虑 C 区黑板后面的楼梯及 BF 区去之间的门，经观察此铁门长期不可已锈死，所以这 2 个门不考虑，即：有 4 个）的宽度计算出能通过几排人，针对每个楼梯单位排数所通过的人数相等，列
3、方程计算（经计算得出教室距离门的距离对此方法的计算无太大影响）出每个门的人数安排情况，来计算出通过楼梯的时间；通过门口的时间课通过瓶颈效应计算出时间为 205.32s。最终得出时间为 236.02s。问题二在基于问题一的计算方法可以得出不需要电梯的所需时间为 236.02s，由于电梯每运输 10 人消耗 37.2s，基于六楼的特殊结构、五楼上楼消耗的时间得出，只需 6 楼分配 60 人去坐电梯，但由于下楼之后还是在等待，通过问题一的方法可知时间不改变，为 236.02s；对于集散地的选择；可以考虑安全区来得出集散地的选择。关键字：紧急疏散 ；非线性规划；瓶颈效应；- -1一、问题的重述紧急疏散
4、是发生较大突发事件时对周围地区人员进行撤离的一种重要方法。它是危机状况下最有效的、最大可能性保护人民群众的方法之一。例如 2004 年在重庆天原化工厂氯气泄漏事故中紧急疏散了 20 余万人、同年陕京输气管道被挖裂事故紧急疏散了 4 千余人、2008 年四川地震灾害唐家山堰塞湖紧急疏散了 24 万人、2011 年美国飓风紧急疏散了 230 万人等，这些数据都说明紧急疏散在危机时刻的重要作用。紧急疏散不仅需要及时的预警系统，更需要一个强有力的决策系统，疏散方案的选择对人员的有效撤离有至关重要的作用。以学校教学楼为例，如何选择疏散策略，才能最大限度撤离学生？最大限度的将损害降到最低？国内有不少专家对
5、此问题进行了相关研究，例如刘德成发表的“校园紧急疏散模型的研究”，沈文翠等发表的“学校教学楼的紧急疏散模型”、王顺耿发表的“寓安全教育于数学教学中的一个案例一校园紧急疏散数学模型的开发建立”等。以江西理工大学教学主楼为例，学校主楼是一个主要的教学区域，每天都有 95%的教室使用率。主楼共有六层（C、D、E、F 为阶梯教室，C、F 有 5 层，D 只有 2 层，E有 4 层），每层的平面示意图和每个教室的人数容量如图 1 所示。A 区东 西两侧分别有上下楼梯其宽度为 1.64 米和 1.32 米、C 区南侧有一个宽度为 1.35 米上下楼梯、E 区有一个宽度为 2.7 米的上下楼梯、A 区东侧有
6、两个电梯直接到一楼，容量为每台次小于 10 人，乘坐电梯只能从楼顶进入电梯，中间不停。(1)请结合我校教学主楼结构现状，建立数学模型，制定一个合理的学生紧急疏散计划。(2)在考虑使用电梯、选择就地保护和选择撤离集散地的情况下，建立数学模型，制定一个合理的学生紧急疏散计划。二、问题的分析1. 问题一的分析（1）教室疏散要求出从教室疏散到走廊的总时间，也就是求最后一个人出教室的时间 t 是多少。教室门口通常情况下是一个颈瓶，所以在教室门口有可能发生堵塞现象。因此我们考虑堵塞和不堵塞两种情况，并分别求出堵塞时间 和不堵塞时间 ，若是 小于 ，1t2t1t2那在教室门口就没有发生堵塞，颈瓶也就不存在，
7、从教室疏散到走廊的时间为 ；若是 小于 ，那在教室门口就发生堵塞，从教室疏散到走廊的时间为 。2t1 1t- -2（2）一楼从教室疏散到各大门出口从教室疏散出来以后，人流就会向通往下一层的出口（楼梯出口和大门出口） 。我们可以先大致的算出一楼人流的分配，即通往各大门的人数，然后比较离大门的距离是否会影响人通过大门的总时间，若是人流可以衔接上，那距离的影响就可以忽略。此时人流的分配就只与各大门的宽度有关，根据各出口的有效宽度可知道每个出口同时可以通过的人的排数，再由公式 就可算出一楼所有人通过大门所花的总Bcvpnd2t时间 。然后与第二楼的人下楼所需的时间比较，我们就可以知道在二楼的人经走廊总
8、t和楼梯下到一楼的时候，一楼的人是否已经疏散完毕。若没有疏散完毕，则在一楼楼梯口就有可能发生堵塞现象。若是发生堵塞现象，二楼的人就必须等一楼的人疏散，在这里就有一个等待时间。关于等待时间，假若我们单独拿出来算，是比较难算的，因为二楼的人与一楼的人衔接上的时间是比较模糊的一个时间，它夹在二楼的第一个人下来的时间与一楼的人全部疏散完毕的时间的中间。所以我们可以考虑把这段时间放在某一个大的过程中一起来考虑。所以这是我们可以就只考虑一楼的人通过大门出口的时间，因为发生堵塞，因此在一楼最后一个人通过大门时，二楼的第一个人会紧跟在一楼最后通过出口的那个人的后面，这就是一楼与二楼部分的疏散过程。同理考虑二楼
9、以上楼层，由结果可得知在每一层的楼梯口处是否会发生堵塞现象，如果都发生堵塞，那根据以上分析，六层楼的总的疏散过程，就可以统一考虑到一楼的四个大门之中去。（3）六楼总体的疏散过程 基于（2）的思路，六楼总体的疏散过程就是各大门处人数的分配问题，但是，我们求出的总时间应该是四个大门出口的最后一个人通过大门的时间之中最长的一个时间。必然，每个大门的最后通过的人所花的时间不能相差太大，所以，我们可以考虑四个大门的最后通过的人所花的时间相差最短时的时间就是六楼总体的疏散时间。也就是时间的方差最小，即四个时间与四个时间的平均时间之差的平方和最小，因为有未知参数的平方，所以对于这个问题我们可以用非线性规划的
10、方法来求解。则目标函数为方差最小，约束条件为通过每个大门出口的人数总和为六层楼里的实际总人数，即 5367 人，还有人数的正约束，即人数应该都是整数。而在这里，我们可以根据（2）的方法求出人数与时间的关系，最后应用 matlab 软件求解得到结果。2.问题二的分析基于第一问的模型、结果，以及电梯每运输一趟所消耗的时间，可以计算出有电梯之后的分配方案，考虑是否五楼也乘坐电梯，可以通过五楼到达电梯的时间及六楼第一个到达电梯的时间对比下，如果五楼到达电梯的时间大于六楼到达电梯的时间，则只需考虑六楼坐电梯；反之，则考虑五楼坐楼梯或两者均坐电梯。根据不同的楼层- -3乘坐电梯 的方案计算出楼层的分配方案
11、。通过与第一问的结果进行对比得出电梯运输的人数、时间。最后得出是否改变总方案，或许根本就不要用电梯逃生。调查或上网查资料关于赣州的地震情况，说明建立的模型是针对地震还是火灾等其它灾害的，来考虑主教的逃生方案。考虑灾难发生时人出主教多远才是安全的，即安全区。最后确定出逃生路线、区域。三、模型的假设1、假设学生都具有相同的疏散特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；2、假设学生都处于清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，完全服从且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；3、任何个体均遵循普遍原则前进，不试图超越前方个体，亦不会留出过大间距。4、人在教室中均匀分布；5、在疏散过
12、程中，学生人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配；6、第一个学生在不拥挤无阻碍的情况下，运动速度为 3 米/秒；7、学生从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变；8、每个学生所占的空间是相等的，不考虑高矮胖瘦；9、发生灾害要求疏散时每个教室都为满人，不考虑逃课、请假的情况；10、教学楼内安装有应急广播系统，但没有集中火灾报警系统；11、从发布疏散命令时刻起，当可用安全疏散时间小于必需安全疏散时间，为疏散失败。四、符号说明m: 人的肩宽：人的有效肩宽*mn: 人的身体厚度n ：人的有效厚度*:人体的投影有效面积S- -4D:
13、教室出口的宽度:教室出口的有限宽度*DS：教室面积 人 群 密 度:a: 教室长度（长方形）b: 教室宽（长方形）c: 教室边长（六边形）：教室中的总人数pnn: 总人数(0.75m/s)教 室 中 的 速 度:cVd: 门的宽度或墙的厚度B：某一出口同时通过的排数：人在走廊中速度（1.25m/s）tVT：疏散的总时间Q：安全区的距离 教 室 的 疏 散 时 间： 在 不 堵 塞 的 情 况 下 ，1t 室 的 疏 散 时 间： 在 堵 塞 的 情 况 下 ， 教2教 室 的 疏 散 时 间;1T间： 总 体 在 出 口 的 疏 散 时3五、模型的建立与求解1.问题一的模型的建立与求解模型一（
14、教室的疏散过程）- -5教室的紧急疏散情况非常复杂，很难对人群的个体特性进行一一考虑，而且在主教学楼的每个教室的人数相对较大、教室结果特殊，因此我们对教室环境做理想化处理，那我假设人群在教室等单位按照某一密度均匀分布，将人群疏散作为一个整体运动来处理。因为教室的使用率为 95%，所以我们考虑一个平均效果，即每个教室的人数乘以95%为每个教室的实际人数。1.教室中的人流速度的分析与确定考虑到教室的人流速度与人群密度有密切关系，而人群密度，反映的是一个空间内人群的稠密程度， .)m/2（ 人教 室 的 面 积教 室 的 人 数人体投影面积，由人体各方向上的最大生理尺寸决定，常由肩宽 m 和胸厚度
15、n 决定，将人体抽象成矩形，为简便计算和实际应用，我们选取人体的矩形模型，此时人体水平投影面积 S=mn,单位 2;根据参考文献 2，考虑到我国人口素质情况，取肩宽m=0.5m,身体厚度 n=0.25m;另一方面，疏散行走时人的周围往往留有间隙 3，根据我国建筑设计资料集人活动空间尺度中的要求，行走时，人与人前后左右之间距离为40mm,我们规定人员行走水平投影有效面积为 2156.0)4.)(0.(*mnmnS所以我们针对主教学楼不同类型的教室（A、B 区，C 区，D、E 区与 F 区）作为以下分析1 6 07 77 77 77 77 77 77 71 6 0232232A 区B 区C 区F
16、区E 区D 区东西- -6对于 A、B 区的教室，如图1教室的面积 254.630.79mbaS教室的人数 人%)1(pn人 群 密 度 2/65.4.3人S对于 C 区的教室2教室的面积 237.185.6230sin216mcS教室的人数 人1%95)(pn人群密度 人/.37.8S2对于 D、E 区3- -7教室的面积： 293.1860sin21mcS教室总人数： 人%5)3(pn人群密度 ： 人/m164.9.82S2对于 F 区4教室的面积： 287.1395.078.13mbaS教室的人数 人%)6(pn人群密度 ： )/2094.17.83S（ 人对以上四个类型的教室的相关系数
17、，予以下面表格数据汇总：教室类型 A、B 区 C 区 D、E 区 F 区面积 S( )2m63.54 118.37 189.93 139.87- -8人数 )(人pn74 153 221 153人群密度 )/(2m人1.165 1.293 1.164 1.094对于教室内人流速度的确定参照下表 1所以我们取教室中人流的速度 smvc/75.0教室的出口是疏散的瓶颈，在出口处可能发生两种情况：堵塞、不堵塞。在不堵塞的情况下，我们把人流看作水流，有面积相等，经流体力学公式得： 1*tcvDpns则 cvst*1其中， 为人体投影的有效面积， 为教室中的人数， 为出口的有效宽度，*s pn*D为教室
18、中人流的速度。出口的有效宽度 与人的肩宽 以及人与人之间的间隙有关，cv *m所以我们认为 与 有关，即一个人通过所需宽度至少为 。*Dm54.0在堵塞的情况下，总时间可以等效于教室每一个人通过长度为门宽时所用时间的总和除以每个教室出口能通过的人的排数，即 Bcvpnd2t其中， 为墙的厚度，B 为某一出口同时通过的人的排数，经测量墙的厚度 。d md3.0- -9对于 A、 B 区教室o1不堵塞情形： )(31.475.2604*scvDspnt 堵塞情形： )(8.0.32tBd对于 C 区教室o不堵塞情形： )(58.297.0542163*1scvDspnt 堵塞情形： )(.7.02
19、t sBd对于 D、E 区教室o3不堵塞情形： )(36.2175.0421*1scvspnt 堵塞情形： )(.5.302t sBd对于 F 区教室o4不堵塞情形： )(72.195.0361*1scvDspnt 堵塞情形： )(4.27.02t sBd对于以上四个类型教室的疏散时间进行以下表格汇总：教室类型 A、B 区 C 区 D、E 区 F 区不堵塞时间 )(1st14.31 29.58 21.36 19.72堵塞时间 2t14.8 30.6 22.1 20.4- -10疏散时间 )(1sT14.8 30.6 22.1 20.4当 时，教室疏散过程为不堵塞情形，取教室疏散所花总时间 。2
20、t 1tT当 时，教室疏散过程为堵塞情形，取教室疏散所花总时间 。1 2在教室疏散中，通过对数据的比较，我们可以得出，在教室疏散的过程是堵塞的，所以我们取堵塞的时间。由于我们要求 4 个区域的教室都疏散完，所以取最长时间，则 stT6.3021模型二（一楼走廊疏散过程）在主教学楼中，一共有 4 个出口，即 E、F 区之间的朝北大门（M ） 、南大门（M1） 、正对南大门（M ）的后门和北大门（ M ） 。忽略第一个人出教室的时间。23 4下面计算出每个门口的通过人数： 由于教室到门口有一定的距离，则消耗的一定的时间到达门口。由于 A、F 区的大门不考虑，所以考虑到 F 区会有一部分会通过 M2
21、、M3 出去，A 区所有人通过门口的时间为 s, 经测量， F 区教室门口到 A 区门口的路程大致为 8 米左右，5.3825.1480则 F 区教室门口到 A 区门口的时间=50 时，我们考虑把人群疏散到田径场、北区足球场、行政大楼门前。六、 模型的验证问题一：对于问题一的结果为 236.02s，平时在主教楼上课的时候，课间 10 分钟有下课与下课的人群，他们会在楼梯、大门口和教师门口堵塞，但一般可以在课间 10 分钟全部疏散，由于在上下楼的堵塞，会影响下楼梯的排数及人数，最终会影响到总时间，而在问题一中求的结果为 236.02s 因为上下楼梯就消耗了大量的时间，再加上合理的分配，就可以减少
22、时间，所以结果合理。问题二基于对第一问的结果，考虑到坐电梯麻烦且时间长，经计算可知，只需分配 6 楼的人去坐电梯，其它楼层的分配方案不改变，且下楼还是在等待，只是出去的顺序发生改变，时间不改变。七、模型的评价优点：1. 本文的模型采用 MATLAB 软件或 LINGO 软件进行求解，计算出来的值的精确度和稳定性都较高；2. 本文把各楼层的阻塞时间转化为各个楼层的人通过门口的时间，起到了简化计算过程的优点；3. 本文的模型在建立模型时，忽略了一些影响因素，是模型得到了简化；4. 测量了主教学楼的一些实际数据，对于解决问题取到了良好的效果；- -155. 采用非线性规划方法，使计算过程得到简化；缺
23、点： 模型建立时，忽略了一些影响因素，在实际情况中可能存在一定的误差。 在模型的计算时，没有考虑人在紧急事件发生时的反应时间。改进：解题时，在考虑到不同疏散位置的对应的速度时，没有权威的参考文献，实际速度参数都是参照其它疏散模型及实际生活中而得出的，所以应该参阅更有权威性的资料；没有考虑到人在紧急事件发生时，人的反应时间，所以当紧急事件发生时，应该合理的考虑人的反应时间。八、模型的推广本文的模型具有较强的规律性，同时还具有很强的实用性，并且能够推广到其它的问题上。本文的稳定性较高，在一定程度上解决了一类的疏散问题，而且不需要考虑楼层的对称性，就可以得出结论。所以，此模型具有很强的推广意义。参考
24、文献1陈智明，霍然，王浩波，曾德云，某教学楼火灾中人员安全疏散时间的预，火灾科学，第 12 卷第 1 期：第 3 页，2003.2姜启源，数学模型（第三版）M,北京：高等教育出版社，1993.3王顺耿，寓安全教育于数学教学中的一个案例一校园紧急疏散数学模型的开发建立，数学教学，第 11 期：11-25 页，2009.4胡良剑，孙晓君，MATLAB 数学实验M,北京：高等教育出版社，2006.附 录- -16附录一：% 目标函数 241）-t(minifunction f=f1(t) T=(t(1)+t(2)+t(3)+t(4)/4;f=(t(1)-T)2+(t(2)-T)2+(t(3)-T)2
25、+(t(4)-T)2;Aeq=7.14,4.41,5.77,8.82;beq=5367;t,fval=fmincon(f1,0,0,0,0,Aeq,beq,0,0,0,0,)附录二：经过实际测量，我们得出教学主楼主要相关参数如下：教室相关参数：教室 门宽区域参数 长（m）宽（m）边长（m）前（m）中（m）后（m ）走廊宽（m）墙后（m）A 区 2.07AB区 B 区 9.00 7.06 0.74 0.74 1.64 0.3C 区 6.75 1.10 0.3DE 区 8.55 1.08 0.86 0.86 4.48 0.3F 区 13.78 10.15 1.08 0.87 1.75 0.3楼梯参数：参数楼梯位置 AB 之间 AF 之间 BC 之间 DE 之间楼梯宽度（m） 1.64 1.23 1.35 2.70能够通过的排数（个） 3 2 2 5每层楼的台阶数（个） 24 26 24 34- -17各个出口参数：出口 EF 后门 大厅正门 大厅后门 BC 后门宽度（m） 2.56 1.65 1.64 3.00能通过的排数（个） 5 3 3 6
