1、13.2 奇偶性,第1课时 函数奇偶性的概念,我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和谐美、自然美、对称美下图中的图标给我们什么感觉呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？,1偶函数 (1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) ，那么函数f(x)叫做偶函数 (2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称,f(x),y轴,温馨提示：函数f(x)是偶函数对定义域内任意一个x，有f(x)f(x)0f(x)的图象关于y轴对称,2奇函数 (1)定义：如果对于函
2、数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) ，那么函数f(x)叫做奇函数 (2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称,f(x),原点,温馨提示：函数f(x)是奇函数对定义域内任意一个x，有f(x)f(x)0f(x)的图象关于原点对称,3奇偶性 (1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性 (2)几何意义：定义域关于 对称；图象关于原点或y轴对称,原点,温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质,1函数yx4x2 ( ) A是奇函数 B是偶函数 C既是奇函数又是偶函
3、数 D既不是奇函数也不是偶函数 解析：定义域是R，f(x)(x)4(x)2x4x2f(x)，所以是偶函数 答案：B,解析：定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数 答案：D,4(2010北京师大附中高一检测)已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1,2a，则a_，b_.,思路分析：利用函数奇偶性的定义判断 解：(1)定义域为R，f(x)(x)3(x)x3xf(x)，f(x)为奇函数 (2)定义域为x|x1或x1，定义域关于原点不对称， f(x)为非奇非偶函数 (3)定义域为2,2，任取x2,2，则x2,2f(x)0f(x)f(x)，f(x)既是奇函
4、数又是偶函数,温馨提示：证明函数奇偶性必须用定义：任取xD，则xD，f(x)f(x)如果D不关于原点对称，立刻否定有奇偶性因为它不满足任意xD，则xD. 判断函数奇偶性方法很多，如奇函数奇函数奇函数，奇函数偶函数奇函数，奇函数奇函数偶函数等等,思路分析：由题目可获取以下主要信息： 已知函数为分段函数； 判断此函数的奇偶性 解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明,解：(1)当x0. f(x)(x)22(x)3 x22x3f(x)； (2)当x0时，x0， f(x)(x)22(x)3 x22x3(x22x3)f(x)， 综上可知f(x)为奇函数,温馨提示：(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意
5、x与x所满足的对应关系，如x0时，f(x)满足f(x)x22x3，x0满足的不再是f(x)x22x3，而是f(x)x22x3； (2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(x)f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的 (3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断,类型二 函数奇偶性的图象特征 【例3】 (1)如下图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值,(2)如下图，给出偶函数yf(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象思路分析：依据奇、偶函数的图象的对称性，分别作
6、出它们在y轴右侧的部分图象,解：(1)奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对称点P(x，f(x)下图为补充后的图象易知f(3)2.,(2)偶函数yf(x)在y轴右侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称点P(x，f(x)，下图为补充完后的图象易知f(1)f(3),温馨提示：给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y轴的对称点然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它们在另一个半平面的图象,温馨提示：本题主要考
7、查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得,解：(1)函数定义域为R. f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数 (2)函数的定义域为x|x1 不关于原点对称， 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,设奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：如下图，根据yf(x)，x5,5的图象知f(x)0的解集为x|2x0或2x5答案：x|2x0或2x5,已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、bR都满足：f(ab)af(b)bf(a) (1)求f(0)、f(1)的值 (2)证明f(x)为奇函数 解：(1)令ab0，f(0)0f(0)0f(0)0. 令ab1，f(1)1f(1)1f(1)2f(1)， f(1)0. (2)令ab1，则f(1)0. f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x)0f(x)， f(x)为奇函数,3(1)若f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，反之亦真 (2)若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)0. (3)若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数 (4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性,
