1、【学案】1.3.2 奇偶性学习目标(1) 理解函数奇偶性的定义及其图像特征；(2) 能根据定义判断函数的奇偶性；(3) 结合函数的奇偶性研究函数的其他性质.学习重点：函数的奇偶性及其几何意义.学习难点：判断函数的奇偶性的方法与格式.一、学前准备：预习课本 记录下疑点，并思考下面的问题.3942P（1）已知函数 与函数 ，()1fx2()gx写出上面两个函数的单调区间；上面两个函数的图象有对称关系吗？如果有，请给出对称轴或对称点.（2）对于函数 ， 与 是什么关系？()(0,)fxkxR(fx)f（3）对于函数 ， 与 是什么关系？2a二、自主学习函数奇偶性的定义1. 一般地，如果于对于函数 的
2、定义域内 ，都有 ，那么函数()fxx一个 ()fx就叫做偶函数.偶函数的图像关于 对称.()fx y轴2. 一般地，如果对于函数 的定义域内 ，都有 ，那么函数()fxx一个 ()fxf就叫做奇函数.奇函数的图像关于 原点 对称.()fx3. 函数根据奇偶性可分成四类： 奇函数、偶函数、非奇非偶函数、即奇又偶函数 .动动手：1.判断下列函数的奇偶性： 31()fxx2()1fx 0,3,6答：为奇函数，为非奇非偶函数，为偶函数.2.下列命题中正确的是 （2） 、 （4） 、 （6） . （1） 是 上的函数，若 ，则函数 是偶函数；)(xfR)2(ff)(xf（2） 是 上的函数，若 ，则函
3、数 不是 上的奇函数；g(ggR（3）函数 是奇函数；),1,1)( xxf（5）既是偶函数又是奇函数的函数一定是 ；xf,0(（6）已知 是 上的偶函数，则点 必在 的图像上. )(xfR),a)(fy三、师生互动【例 1】判断函数的奇偶性 ； ；32()xf22()1fxx ；*()2fx23,0()0,fx【解析】定义域是 ，所以 没有意义，于是 ，所以 是非奇非偶函|1x()f(1)(ff()fx数来源:高*考试题库定义域是 ， ，所以 是既是奇函数又是偶函数,()0f()fx定义域是 ， ，所以 是奇函数R2x2()xfx()fx定义域是 ，当 时，则 ，所以 ；22()()3()f
4、xxf当 时， ，0所以 ；22()()3()fxfx所以 是奇函数x【例 2】 已知 为 上的奇函数，当 时， ，求 时函数的解析式()fR02()f0x【解析】设 ，则 ， ，0x2()fxx因为 为 上的奇函数，()fx所以 ，2)f即当 时， (动动手：已知 为 上的奇函数，且当 时， ,求 )fxR(0,)x3()1)fx(fx【解析】设 ，则 ， ，03()1f3因为 为 上的奇函数，()f所以 3)(1xfx即当 时， )*【例 3】已知函数 在 上是奇函数，并且在 上是减函数，试说明函数 在fR(0,)(xf上是增函数还是减函数？来源:_st.Com(,0)【解析】函数 在 上
5、是减函数以下证明：)(x,0)设 ，则 ，1221x因为 在 上是减函数，所以 ，()f,21()()ffx又因为 在 上是奇函数，R所以上不等式可变为 ，即 ，21()ff所以 时，有 ，120x(x即函数 在 上是减函数)(xf,0)动动手：已知函数 对任意实数 、 ，都有 ，判断函数的奇偶性(fxab()()fabfb【解析】因为 对任意实数 、 ，都有 ，所以设 ，可得ab)f又设 ，则有 ，0(0)af即 ，来源:|st.Com()ff所以 ，所以 为 上的奇函数x)fxR四、总结提高：判断函数奇偶性的步骤是：1 求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行下一步；如果定义域不关于
6、原点对称，则函数是非奇非偶函数2 判断 或 是否成立，()fxf()fx如果只有 成立，则函数是奇函数；如果只有 ，则函数是偶函数；如果两式都成立，则函数是即奇又偶函数五、反馈练习1yf（x） （xR）是奇函数，则它的图象必经过点（ D ）A （a，f（a） ） B （a，f （a） ）C （a，f（ ） ） D （a，f （a ） ）来源:+s|t.Com12设定义在 R 上的函数 ，则 （ B ）()|fx()xA既是奇函数，又是 增函数 B既是偶函数，又是 增函数0,(0,)C既是奇函数，又是 减函数 D既是偶函数，又是 减函数()3下列说法中，不正确的是（ B ）A. 图像关于原点成中
7、心对称的函数一定是奇函数B. 奇函数的图像一定经过原点C. 偶函数的图像若不经过原点，则它与 轴交点的个数一定是偶数xD. 图像关于 y 轴成轴对称的函数一定是偶函数4若函数 的定义域是 ，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ C ）()fx0,1A. B. C. D. 2(2)yfx()yfx()yfx5已知 为偶函数，当 时， 则 时， （ A ）()fx,f0A. B. C. D.1(1)x(1)x(1)x6若 是偶函数，则 0 来源:高考#试 题( 库2()3ymm7已知 ，若 10，则 -26 58fxabx(2)f2)f8定义在 上的两个函数中， 是偶函数， 是奇函数，并且R(gx，则求 和 的表达式2()(1)fxgx()fxg【解析】因为 是偶函数， 是奇函数，f所以 ， ，()fx()gx又已知等式 21将 换为 时，有 ，x 2()()fxx所以有 2()fg解得 ， 21x()x高;考试题库
