1、学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.2.奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.3.奇偶性： 那么，就说函数f(x)具有奇偶性.4.奇函数的图象关于 对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 ；偶函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 .,返回目录,f(-x)=f(x),f(-x)= -f(x),如果函数f(x)是奇函数或偶函数,原点,任意,任意,奇函数,y轴,偶函数,5.若奇函数f(x
2、)在a,b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在-b,-a上是 函数，且有 .6.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)= .7.若y=f(x)是偶函数，则f(x)与f(|x|)的大小关系是 . 8.若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于 对称.,返回目录,增,最小值-M,0,f(x)=f(|x|),原点,返回目录,学点一 奇偶性的判定,判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=(x-1) ;（2）f(x)= .,【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误.,【解析】（1）先确定函数的定义域，由 0得-
3、1x0，关于原点不对称，函数f(x)= 为非奇非偶函数.（4）由 1-x20 x2-10 x=1.函数的定义域为-1,1, 于是f(x)=0,x-1,1.满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.f(x)既是奇函数，又是偶函数.,返回目录,学点二 由奇偶性求函数解析式,设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)= x2 +x+1,求函数解析式.,【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x0和x0， 0，x=0， -x2+x-1，x0时，f(x)=x|x-2|，求当x0时，f(x)的表达式.,设x0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,f(-x)= -x|-x-2|=-x|
4、x+2|.又f(x)是奇函数，f(-x)= -f(x),-f(x)= -x|x+2|,f(x)=x|x+2|.故当x0时，f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.,返回目录,学点三 奇偶性的证明,函数f(x),xR,若对于任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x)为奇函数.,【分析】因为对于a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b为某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).,【证明】令a=0，则f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0.又令a=-x,b=x，代入f(a+b)=f(a)+f(b)得 f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=
5、f(-x)+f(x), f(-x)= -f(x), f(x)为奇函数.,【评析】证明函数的奇偶性，即证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.这需要对给定函数方程中的x,y赋值，使其变成含f(x),f(-x)的式子，然后判定.,返回目录,设函数f(x)定义在 上.证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数.,证明:由于对任意的x ，必有-x .可见f(-x)的定义域也是 .若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).则F(x)与G(x)的定义域也是 ，显然是关于原点对称的区间,而且F(-x)=f(-x)+f-(-x)=f(x)+f(-x
6、)=F(x),G(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-G(x).所以F（x）为偶函数，而G（x）为奇函数.,学点四 奇偶性与单调性的综合应用,设函数f(x)是定义在(-,0)(0,+)上的奇函数，且f(x)在(0,+)上是减函数，且f(x)-x2,(-x2)-(-x1)=x1-x20又f(x)在(-,0)(0,+)上是奇函数，f(-x1)= -f(x1),f(-x2)= -f(x2),由式得-f(x2)+f(x1)0,F(x2)-F(x1)=,又f(x)在(0,+)上总小于0，f(x1)=-f(-x1)0,f(x2)=-f(-x2)0,f(x1)f
7、(x2)0,又f(x1)-f(x2)0,F(x2)-F(x1)0，且x2-x10,故F(x)= 在(-,0)上是增函数.,返回目录,【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质.,已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f（ ） = -1，当且仅当0x1时，f(x)0, 0,又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)0,0x2-x11-x1x2,0 1,由题意知 0，即f(x2)-f(x1)0,f(x)在(0,1)上为减函数.又f(x)为奇函数，且f(0)=0,f(x)在(-1,1)上单调递减.,返回目录,学点五 奇偶性在求变量范围中的应用,设f(x)在R上是偶函数，在区
8、间(-,0)上递增，且有f(2a2+a+1)0,2a2-2a+3=2（a - ）2+ 0,且f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即3a-20,解之得a .a的取值范围是a .,【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题.,（1）定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)0，求实数a的取值范围；（2）定义在-2,2上的偶函数g(x)，当x0时，g(x)为减函数，若g(1-m)g(m)成立，求m的取值范围.,返回目录,（1）f(1-a)+f(1-a2)a2-1 -1|m|,.,返回目录,1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？（1）对于函数奇偶性的理
9、解函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数.,返回目录,2.奇偶函数的图象有什么几何性质？（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
10、，则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.（2）若奇函数y=f(x)在x=0时有定义，则由奇函数定义知f(-0)=-f(0)，即f(0)=-f(0),所以f(0)=0.（3）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶函数则相反.,返回目录,返回目录,1.如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在y轴一侧的图象，则另一侧的图象可对称画出.2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.3.判断函数的奇偶性时，我们可以根据f(-x)=f(x)，或是根据f(-x)f(x)=0，或是根据f(-x)f(x)=1等途径来判断.4.利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断f(x)与f(-x)的关系，又不能忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、x的任意性等.因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的过程.,祝同学们学习上天天有进步！,
