1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,【教材基础回顾】 1.四个公理 公理1如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条 直线在此平面内. 公理2过_的三点,有且只有一个平面.,两点,不在一条直线上,公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 _过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线_.,有且只有一条,互相平行,2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类:,相交,平行,任何一个平面,(2)异面直线所成的角: 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a a,bb,我们把a与b所成的_ 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角);范围: .,锐角(或直角),(3)等角定
2、理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角_.,相等或互补,3.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系,a=A,1,a,0,a,无数,0,=l,无数,【金榜状元笔记】 1.公理的作用 公理1:可用来证明点、直线在平面内. 公理2:可用来确定一个平面.,公理3: (1)可用来确定两个平面的交线. (2)判断或证明多点共线. (3)判断或证明多线共点. 公理4: (1)可用来判断空间两条直线平行. (2)等角定理的理论依据.,2.异面直线的两个结论 (1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.,【教材母题变
3、式】 1.下列命题中正确的是 ( ) A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形 C.三条直线两两相交则确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域,【解析】选D.对于A,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,故A错误; 对于B,四边形也可能是空间四边形,不一定是平面图形,故B错误;,对于C,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,故C错误; 对于D,平面是无限延展的,两个相交平面把空间分成四个区域,故D正确.,2.在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH相交于点P,那么 ( ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C
4、.点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外,【解析】选A.因为EF平面ABC,而GH平面ADC,且EF和GH能相交于点P,所以P在两面的交线上,因为AC是两平面的交线,所以点P必在直线AC上.,3.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 ( ) A.不存在 B.只有1个 C.恰有4个 D.有无数多个,【解析】选D.设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m,n,直线m,n确定了一个平面.作与平行的平面,与四棱锥的各个侧面相交,则截得的四边形必为平行四边形,而这样的平面有无数多个.,【母题变式溯源】,考向一 平面的基本性质
5、【典例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,ACBD =P,A1C1EF=Q,直线A1C与平面BDEF的 交点为R. 世纪金榜导学号37680226,(1)证明:B,D,F,E四点共面. (2)证明:P,Q,R三点共线. (3)证明:DE,BF,CC1三线共点.,【证明】(1)连接B1D1,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1 BD, 所以EFBD. 所以EF,BD确定一个平面,即B,D,F,E四点共面.,(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1ACC1确定的平面为, 又设
6、平面BDEF为,因为QA1C1,所以Q. 又因为QEF,所以Q. 则Q是与的公共点,同理,P点也是和的公共点, 所以=PQ. 又因为A1C=R,所以RA1C.,所以R且R.则RPQ. 故P,Q,R三点共线. (3)因为EFBD,且EFBD, 所以DE与BF一定相交,设交点为M,因为BF平面BCC1B1,DE平面DCC1D1,且平面BCC1B1平面DCC1D1=CC1, 所以MCC1,所以DE,BF,CC1三线共点.,【一题多变】若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M,证明B,M,D1共线.,【证明】连接BD1,因为BD1与A1C均为正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线,故BD1与A1C
7、相交, 则令BD1与A1C的交点为O,则B,O,D1共线,因为BD1平面BB1D1D, 故A1C与平面BB1D1D的交点为O,与M重合,故B,M,D1共线.,【技法点拨】 1.证明不共线的四点共面 即证由这四点组成的两条直线平行或相交.或由三点确定一个平面,再证明第4个点在该平面上.,2.证明三点共线 先由两点确定一条直线,再证第三个点在这条直线上.往往确定的直线是两平面的交线,只需说明第3个点是这两个平面的一个交点即可.,3.证明线共点 (1)可先证明两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. (2)直线l1,l2交于点N,直线l2,l3交于点M,说明M,N重合.,【同源异考金榜原创】 1.如
8、图,三个平面,两两相交于三条直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.,【证明】若c与b交于一点,可设cb=P. 由Pc,c,得P;又由Pb,b,得P. 所以P()=a.所以,直线a,b,c交于一点(即P点).,2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AA1,BA的中点,F为BC上一点,且2BF=CF,EF与C1D交于一点M.证明:C,A,M三点共线.世纪金榜导学号37680227,【证明】先证明直线EF与C1D为相 交直线,过C作AB的平行线交EF于 点K,连接BK,因为2BF=CF,所以 BF= CF,则AB=2AE=CK,AB CK,
9、四边形ABKC为平行四 边形.设C1D与CA交于点M1, KF交CA于点M2,同理可得 即M1,M2,M是同一点,则C,A,M三点共线.,考向二 异面直线所成的角 【典例2】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,|AB|= |BB1|, 则AB1与BC1所成角的大小为( ),(2)在三棱锥P-ABC中,|PA|=|AB|=|BC|=1,|AC|=|PB| = ,|PC|= ,则异面直线PC与AB所成角的余弦值 为 ( ),【解析】(1)选D.将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,连接C1D,BD,则C1DB1A,BC1D为所求 角或其补角.设|BB1|= ,则
10、|BC|=|CD|=2, BCD=120,|BD|=2 , 又因为|BC1|=|C1D|= ,所以BC1D= .,(2)选A.由条件知:PAAB,PAAC,因为 ABAC=A,所以PA平面ABC,又因为BC 平面ABC,所以PABC. 取BC,PB,AC,AB中点分别为F,E,H,K,则 FE为PBC的中位线,|FE|= ,同理|HF|= ,|EK|= ,在EHK中,EKKH,|KH|= ,|EK|= ,则 |EH|= ,在EFH中,三边关系满足EH2+HF2=EF2,所 以EFH为直角三角形,EFH为所求角,在RtEFH 中,cosEFH= .,【答题模板微课】本例(1)的求解过程 可模板化
11、为: 建模板:将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,连接C1D,BD,平移 则C1DB1A,BC1D为所求角或其补角. 证明,设|BB1|= ,则|BC|=|CD|=2,BCD=120, |BD|=2 ,又因为|BC1|=|C1D|= , 所以BC1D= . 求解,套模板:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1C1的 中点,则异面直线DE与B1C所成角的大小为 ( ),【解析】选C.连接A1D, 平移 则四边形A1B1CD为平行四边形. 因此异面直线DE与B1C所成角为A1DE或其补角. 证明 设正方体的棱长为1,则|A1E|= ,|A1D|=
12、 , |DE|= ,cosA1DE= ,所以A1DE= .,【技法点拨】 1.求异面直线所成角的常见方法 平移法:利用图中已有的平行线平移; 利用特殊点(线段的端点或中点、空间某些特殊点)作平行线平移; 补形平移.,2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作:通过作平行线,得到相交直线. (2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角). (3)求:解三角形,求作出的角.,提醒:在求异面直线所成的角时,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.,【同源异考金榜原创】 1.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD
13、与MN为异面直线; GH与MN成60角;DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是_.,【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DE与MN为异面直线,且所成的角为90,即DE与MN垂直. 答案:,2.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ACBC,2AC=2BC= CC1=4,点N,P分别为CC1与AC的中点,给出以下四个结论:,直线BP与直线B1A1为异面直线; 过B1,N,P三点的平面为NB1P; 三棱锥C1-A1B1N的体积为4; B1P与平面A1PN所成角的正切值为 . 其中正确结论的序号为_. 世纪金榜导学号37680228,
14、【解析】因为P平面A1B1BA,且B平面A1B1BA,B A1B1,所以BP与B1A1为异面直线,正确;由于平面是 无限延展的,所以B,N,P三点确定的平面与平面ACC1A1, 平面ABB1A1也相交,故应为四边形,所以错误;又所以错误;因为,B1C1平面AA1C1C,则B1PC1即为所求线面角, tanB1PC1= 所以正确. 答案:,考向三 空间两直线的位置关系 高频考点,【典例3】(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为( )A. B. C. D.,(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的
15、中点,则下列说法错误的是 ( ) 世纪金榜导学号37680229,A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行,【解析】(1)选D.由题意可得图中GH与MN平行,不合题意; 图中的GH与MN异面,符合题意; 图中GH与MN相交,不合题意; 图中GH与MN异面,符合题意. 则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为.,(2)选D.如图,连接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正确;因为CC1平面ABCD,所以CC1BD, 所以MN与CC1垂直,故A正确; 因为ACBD,MNBD,所以MN与AC垂直,故B正确; 因为A1B1与BD异面,MNBD, 所以MN与A
16、1B1不可能平行,故D错误.,【技法点拨】异面直线的判定方法 (1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.,(2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.,【同源异考金榜原创】 命题点1 异面直线的判定 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是 世纪金榜导学号37680230( ),A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行,【解析】选
17、D.连接D1E并延长交AD于M点,因为A1E=2ED, 可得,M为AD中点,连接BF并延长交AD于N点,因为CF=2FA, 可得N为AD中点,所以M,N重合.且 所以 ,所以EFBD1.,命题点2 平行与垂直的判定 2.如图,正三棱锥A-BCD中,BCAD,点M,E在线段CD上,且|CD|=2|CM|=3|ED|=6,点N,F在线段AB上,且|AB|=2|BN|=3|FA|=6,则下列说法正确的是 世纪金榜导学号37680231( ),A.EFNM B.MNAB C.FECD D.EF与BC所成的角为45,【解析】选B.如图,作NPBC交AC于点P, 作FGBC交AC于点G,连接PM,GE,则
18、NPBCFG,由题意可知PMGEAD,由于BCAD,则NPM和FGE均为直角三角形,因为|NP|=|PM|= |BC|= |AD|=3,NM=3 ,所以NP与 NM所成的角为 ,|FG|= |BC|=2,|GE|= |AD|=4, |FE|=2 ,cosGFE= 1,若EFNM,则GFE= PNM,故A,D错. 连接BM,AM,BM=AM,N为AB的中点,故MNAB,B正确,同 理可得C选项错误.,核心素养系列（四十一） 直观想象空间几何中点线面位置关系中体现的核心素养平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同,借助确定的几何模型,利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.,【典
19、例】(2018郑州模拟)如图所示,四边形ABEF和 ABCD都是梯形,BC AD,BE FA,G,H分别为FA, FD的中点.,(1)证明:四边形BCHG是平行四边形. (2)C,D,F,E四点是否共面?,【解析】(1)因为FG=GA,FH=HD,所以GH AD, 又因为BC AD,所以GH BC, 所以四边形BCHG是平行四边形.,(2)方法一:由BE AF,G为FA中点知BE GF, 所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG, 由(1)知BGCH,所以EFCH, 所以EF与CH共面. 又DFH,所以C,D,F,E四点共面.,方法二:延长FE,DC分别与AB交于点M,M. 因为BE AF,所以B为MA的中点. 因为BC AD,所以B为MA的中点. 所以M与M重合,即FE与DC交于点M(M), 所以C,D,F,E四点共面.,
