1、第二节 直线的交点坐标与距离公式,【教材基础回顾】 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行: 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2, 则有l1l2_,k1=k2,特别地:当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系 为_.,平行,(2)两条直线垂直: 如果两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1l2_. 特别地:如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0时,l1与l2的关系为_.,k1k2=-1,垂直,2.距离公式 (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|= _. (2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax
2、+By+C=0的距离: d=_.,(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 为d=_.,【金榜状元笔记】 1.一条规律 与直线Ax+By+C=0(A2+B20)平行、垂直的直线方程的设法: 平行时设为Ax+By+m=0(mC);垂直时设为Bx-Ay+n=0.,2.三点提醒 (1)在判断两条直线的位置关系时,不要忽略斜率不存在的情况. (2)求点到直线的距离时,直线方程必须是一般式. (3)求两平行直线间的距离,一定要注意将两方程中的x,y系数化为分别相等.,【教材母题变式】 1.设两个点A(-1,1),B(2,2),点P在坐标轴上,使得APB为直角,则这样的点P有
3、( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,【解析】选B.如果点P(x,0),因为APB为直角,所以kPAkPB=-1,即=-1,所以x=0,1 , 如果点P(0,y),则由kPAkPB=-1得 =-1, 所以y=0,3, 所以满足条件的点P有(0,0),(1,0),(0,3).,2.直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值 为 ( ) A.-3 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.由2a+2(-3)=0,得a=3.,3.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为_.,【解析】由平面几何知识得AB平行于直线ax+y+1=0 或AB中
4、点在直线ax+y+1=0上,因为kAB= 所以-a=- ,所以a= ;因为AB中点为(1,3),所以a+3+1=0,所以a=-4. 答案: 或-4,4.已知平行四边形ABCD的两条边所在直线方程分别为 AB:3x+4y-2=0和AD:2x+y+2=0,且它的对角线的交点是 M ,则这个平行四边形的面积为_.,【解析】由3x+4y-2=0与2x+y+2=0联立解得顶点A(-2, 2),因为对角线的交点为M ,所以顶点C(4,-5), 所以可设边BC所在直线的方程为:2x+y+D=0,所以 24+(-5)+D=0,解得D=-3,所以边BC所在直线的方程 为:2x+y-3=0,由直线2x+y-3=0
5、与直线3x+4y-2=0联立,解得顶点B(2,-1),所以由两点间的距离公式得|AB|=5,由点到直线的距离公式得平行四 边形的高为hAB= =2,所以这个平行四 边形的面积为S=52=10. 答案:10,【母题变式溯源】,考向一 直线的交点坐标,两直线的平行与垂直 【典例1】求满足下列条件的直线的方程:,(1)经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+2 019=0. (2)经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y+2 018=0. (3)经过两条直线4x+3y-20=0和2x-y-10=0的交点,且在两坐标轴上的
6、截距相等.,【解析】(1)解方程组 得两条直线的交点 坐标为(-2,2),因为所求直线垂直于直线3x-2y+2 019 =0,所以所求直线的斜率为k=- ,所以所求直线方程 为y-2=- (x+2),即2x+3y-2=0.,【巧思妙解】因为所求直线经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,所以设所求直线的方程为2x-3y+10+(3x+4y-2)=0,即(2+3)x+(-3+4)y+10-2=0,因为所求直线垂直于直线3x-2y+2 019=0,所以(2+3)3+(-3+4)(-2)=0,解得=-12,代回上面的方程并整理得所求直线方程为2x+3y-2=0.,(2)解方程组
7、得两条直线的交点坐标为 (3,2),因为所求直线平行于直线4x-3y+2 018=0, 所以所求直线的斜率为k= ,所以所求直线方程为 y-2= (x-3),即4x-3y-6=0.,(3)解方程组 得两条直线的交点坐标为(5,0),所以过点(5,0)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=0或x+y=5.,【一题多变】将(1)中的条件改为“经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形的面积为1”.,【解析】解方程组 得两条直线的交点坐 标为(-2,2),设所求直线的斜率为k(k0),直线方程为 y-2=k(x+2),所以两个截距分别为2k+2,- ,所以直
8、 线与坐标轴围成三角形的面积为S= |2k+2| |=1, 解方程得k=-2或- ,所以所求直线方程为2x+y+2=0 或x+2y-2=0.,【技法点拨】 判断两直线平行与垂直 已知两直线的一般方程,可利用直线方程求出斜率,然后判断平行或垂直,或利用以下方法求解:,【拓展】常用的直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(mR且mC).,(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(mR). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=
9、0(R),但不包括l2.,【同源异考金榜原创】 1.已知点A(2,-3)是直线a1x+b1y+1=0与直线a2x+b2y+1=0的交点,则经过两个不同点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是 ( ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0,【解析】选A.代入交点A(2,-3),得2a1-3b1+1=0, 2a2-3b2+1=0, 所以P1(a1,b1),P2(a2,b2)在直线2x-3y+1=0上, 所以经过两个不同点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是2x-3y+1=0.,2.点P到点A(1,0)和直线x=-1
10、的距离相等,且P到直线 y=x的距离等于 ,这样的点P共有 ( ) 世纪金榜导学号37680253 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选C.设点P(x,y),由题意知 且,考向二 距离问题 【典例2】(1)已知直线l1:x+y-5=0,l2:x-y+1=0, l3:3x+4y+8=0,l4:3x+4y-7=0,直线l经过l1,l2的交点, 被直线l3,l4截得的线段长为3 ,则直线l的方程 为_.,(2)已知两条平行直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0 间的距离为 ,则直线l1的方程为_.,【解析】(1)由方程组 解得l1,l2的交点为M(2,3).由题意可设直
11、线l的方程为y=kx+m,根据题意得,所以直线l的方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0. 答案:x-7y+19=0或7x+y-17=0,(2)因为l1l2,所以 所以 当m=4时,直线l1的方程为4x+8y+n=0, 把l2的方程写成4x+8y-2=0, 所以 ,解得n=-22或18. 故所求直线l1的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.,当m=-4时,直线l1的方程为4x-8y-n=0, 把l2的方程写成4x-8y-2=0, 所以 ,解得n=-18或22. 故所求直线l1的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0. 答案:2x4y+9=0或2x4y-11=0,【答题
12、模板微课】本例(1)的求解过程 可模板化为: 建模板:由方程组 解得l1,l2的交点为M(2,3),由题意可设直线l的方程为y=kx+m,设方程,根据题意得,所以直线l的方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0 写出方程 答案:x-7y+19=0或7x+y-17=0,套模板:已知直线l经过点P(-2,-3),被两条平行线 x-y+1=0,x-y-3=0截得的线段长为4 ,则直线l的 方程为_.,由题意可设直线方程为y+3=k(x+2),设方程,代入两点间的距离公式得 =4 , 解得k=2 , 几何要素 所以所求直线方程为y+3=(2 )(x+2). 即(2 )x-y+12 =0. 写出方程
13、 答案:(2 )x-y+12 =0,【技法点拨】 与三种距离有关的求解思路 (1)熟记三种距离的公式及适用的条件. (2)利用公式列出关系式后利用平方,分情况去绝对值符号等方法解方程.,【同源异考金榜原创】 1.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是_.,【解析】由题意得,点P到直线的距离为 又 3, 即|15-3a|15,解之得0a10, 所以a的取值范围是0,10. 答案:0,10,2.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是_. 世纪金榜导学号37680254,【解析】依题意知, 解得a=-4,c-2, 即直线6x+a
14、y+c=0可化为3x-2y+ =0, 又两平行线之间的距离为,所以 ,解得c=2或-6. 答案:2或-6,考向三 对称问题,【典例3】(1)设直线l的方程为2x+y+2 019=0,点P(2,3), 则直线l关于点P的对称直线l的方程为_. (2)(2018沧州模拟)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1, -2).则点A关于直线l的对称点A的坐标为_.,(3)(2018淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_.,【解析】(1)设对称直线l上的任意点M(x,y), 则M关于点P的对称点为N(4-x,6
15、-y), 由题意点N在已知直线l上, 所以2(4-x)+(6-y)+2 019=0,即2x+y-2 033=0, 所以对称直线l的方程为2x+y-2 033=0. 答案:2x+y-2 033=0,(2)设A(x,y),再由已知得所以A . 答案:,(3)设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M, 所以 解得a=1,b=0.,又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为 ,即6x-y-6=0. 答案:6x-y-6=0,【技法点拨】 1.解决中心对称问题用中点坐标公式 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点 坐标
16、公式得 进而求解. 2.解决轴对称问题,用以下两点 (1)对称点的连线垂直于对称轴.,(2)对称点的中点在对称轴上. 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).,3.对称问题的实际应用 根据实际问题的背景转化为中心对称问题或轴对称问题.,【同源异考金榜原创】 命题点1 中心对称问题 1.ABC的边AB,AC所在直线方程分别为2x-y+1=0, x+3y-9=0,边BC的中点为D(2,-1),则这个三角形的 面积是_. 世纪金榜导学号37680255,【解析】设点B(x,y)
17、,则C(4-x,-2-y), 所以 解这个方程组得 所以B(-2,-3),C(6,1). 所以边BC所在直线方程为 即x-2y-4=0,由方程组 解得顶点A 所以高为 所以三角形的面积为S= 答案:,命题点2 轴对称问题 2.已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为_. 世纪金榜导学号37680256,【解析】A不在这两条角平分线上,因此l1,l2是另两个角的角平分线所在直线.点A关于直线l1的对称点A1,点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.,设A1(x1,y1),则有 解得 所以A
18、1(0,3). 同理设A2(x2,y2),易求得A2(-2,-1). 所以BC边所在直线方程为2x-y+3=0. 答案:2x-y+3=0,命题点3 对称问题的实际应用 3.一张长方形白纸ABCD,其中AD=1,AB=a(a1).设D1是边AB上一点,记AD1=x.现拿起白纸的顶点D,将点D折向D1,并保证端点D与D1重合.设折后得到的图形中,不在原来的长方形ABCD范围的部分面积为S. 世纪金榜导学号37680257,(1)用a和x表示S. (2)当a=1时,在D1点从A移动到B的过程中,求S的最大值.,【解析】(1)以A为原点,AB为x轴正方向建立平面 直角坐标系,设D1(m,0),则折痕l
19、:y= 情形一:折痕与AD,BC相交,如图.,可以计算得 于是S= (|QR|-|QC|)|PC|=,情形二:折痕与AD,CD相交,此时S=0. 情形三:折痕与AB,CD相交,如图.,可以计算得 S= (|QD1|-|QA|)|PA|= 综上所述,有S(x)=,(2)当a=1时,有S(x)= ,x0,1. 其导函数S(x)=- (3x2+4x-1), 于是当x= 时,S(x)取得极大值,亦为最大值,核心素养系列（四十六） 数学运算对称问题中的数学素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.在轴对称问题的求解过程中,要注意合理选择变量,构造对称性结构,使得运算变得简洁.,【典例】设点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(B0),求点P(x0,y0)关于直线l的对称点Q的坐标.,【解题联想】轴对称问题要用两个要点: 1.对称点连线垂直于对称轴. 2.对称点的中点在对称轴上.,【解析】设Q(x,y), 由轴对称的性质可得方程组由得B(x-x0)-A(y-y0)=0, 由得A(x-x0)+B(y-y0)=-2(Ax0+By0+C),由B+A得 (A2+B2)(x-x0)=-2A(Ax0+By0+C), 所以x=x0-2A 同理可得y=y0-2B 所以对称点Q的坐标为,
