1、第二节 等差数列及其前n项和,【教材基础回顾】 1.等差数列与等差中项 (1)定义: 文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都 等于_一个常数;,第2项,差,同,符号语言:_(nN*,d为常数). (2)等差中项:若三个数a,A,b组成等差数列,则_叫做 a,b的等差中项. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式:an= _. (2)前n项和公式:Sn=_.,an+1-an=d,A,a1+(n-1)d,3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am+ _(n,mN*). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 _.,(n-m)d,ak+al=a
2、m+an,(3)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m, (k,mN*)是公差为_的等差数列. (4)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,也是等差数列.,md,【金榜状元笔记】 1.两个重要技巧 (1)若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a-d,a,a+d. (2)若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.,2.三个必备结论 (1)若等差数列an的项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S偶-S奇=nd, (2)若等差数列an的项数为奇数2n+1,则 S2
3、n+1=(2n+1)an+1; .,(3)在等差数列an中,若a10,d0,则满足 的项数m使得Sn取得最小值Sm.,【教材母题变式】 1.已知等差数列-8,-3,2,7,则该数列的第100项为_. 【解析】依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+995=487. 答案:487,2.某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则剧场总共的座位数为_.,【解析】 设第n排的座位数为an(nN*),数列an为等 差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知 a20=60,得60=a1+2(20-1),解得a1=22,则剧场
4、总共的 座位数为 =820. 答案:820,3.已知等差数列 则前n项和Sn=_. 【解析】由题知公差d=- ,所以Sn=na1+ =(15n-n2). 答案: (15n-n2),4.(2015全国卷改编)设Sn是等差数列an的前n项 和,若a1+a3+a5=3,则S5=_. 【解析】a1+a3+a5=3a3=3a3=1,S5= =5a3=5. 答案:5,【母题变式溯源】,考向一 等差数列的判定与证明 【典例1】(2018南京模拟)已知数列an的前n项和为Sn且 满足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . 世纪金榜导学号37680163,(1)求证: 是等差数列. (2)求an的表达式.
5、,【解析】(1)因为an=Sn-Sn-1(n2), 又an=-2SnSn-1,所以Sn-1-Sn=2SnSn-1,Sn0. 因此 =2(n2).故由等差数列的定义知 是 以 =2为首项,2为公差的等差数列.,(2)由(1)知 +(n-1)d=2+(n-1)2=2n, 即Sn= . 由于当n2时,有an=-2SnSn-1= , 又因为a1= ,不适合上式. 所以,【误区警示】典例易出求an时漏掉验证n=1的情况. 【一题多变】若把典例变为:已知数列an满足:an0,a1= ,an-an+1=2anan+1,(nN*). 求证 是等差数列,并求出an.,【解析】由an-an+1=2anan+1得出
6、 =2,所以是以 为首项,2为公差的等差数列,所以 +(n-1)2=2n+1,所以an= .,【技法点拨】 判定数列an是等差数列的常用方法 (1)定义法:对任意nN*,an+1-an是同一个常数. (2)等差中项法:对任意n2,nN*,满足2an=an+1+an-1. (3)通项公式法:数列的通项公式an是n的一次函数.,(4)前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项为0. 提醒:判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定义法判断.,【同源异考金榜原创】 1.设an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),则下列命题中不正确 的是 ( ) A.an+1-an是等差数列 B
7、.bn+1-bn是等差数列 C.an-bn是等差数列 D.an+bn是等差数列,【解析】选D.对于A,因为an=(n+1)2,所以an+1-an= (n+2)2-(n+1)2=2n+3,设cn=2n+3, 所以cn+1-cn=2.所以an+1-an是等差数列,故A正确. 对于B,因为bn=n2-n(nN*),所以bn+1-bn=2n,设cn=2n,所以cn+1-cn=2,所以bn+1-bn是等差数列,故B正确. 对于C,因为an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),所以an-bn= (n+1)2-(n2-n)=3n+1,设cn=3n+1,所以cn+1-cn=3,所以 an-bn是等差数列,
8、故C正确.对于D,an+bn=2n2+n+1, 设cn=an+bn,cn+1-cn不是常数,故D错误.,2.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=2,Sn= (n2),证明 是等差数列. 世纪金榜导学号37680164,【证明】因为Sn= ,所以2Sn-1Sn+Sn=Sn-1,即Sn-1- Sn=2SnSn-1,故 =2(n2),又 ,因此数 列 是首项为 ,公差为2的等差数列.,考向二 等差数列的基本运算 【典例2】(1)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为 ( ) 世纪金榜导学号37680165 A.1 B.2 C.4 D.8
9、,(2)已知等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为_.,【解析】(1)选C.设公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24, S6=6a1+ d=48,联立得 3-得(21-15)d=24,6d=24,所以d=4.,(2)记等差数列an的前n项和为Sn,公差为d, 由已知得 根据等差数列的前n项和公式,得,由可得 把代入得 . 化简得d=0, 再由得a1= , 所以 答案:60,【一题多解微课】 本例(2)还可以采用以下方法: 【巧思妙解一】 由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, ,可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即 答案:60
10、,【巧思妙解二】由Sn=na1+ d, 得 =a1+(n-1) , 所以 是以a1为首项,为公差的等差数列,从而 成等差数列, 所以 ,所以S2m= +Sm=30+30=60. 答案:60,【技法点拨】 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想.,(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.,【同源异考金榜原创】 1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2=4,S4=22, an=28,则n= ( )
11、 A.3 B.7 C.9 D.10,【解析】选D.因为S4=a1+a2+a3+a4=4a2+2d=22,d=3,a1=a2-d=4-3=1,a n=a1+(n-1)d=1+3(n-1)= 3n-2,由3n-2=28,得n=10.,2.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a5=8,S3=6,则a9=_. 世纪金榜导学号37680166,【解析】设等差数列an的首项为a1,公差为d,则所以a9=a1+8d=16. 答案:16,考向三 等差数列的性质及应用,【典例3】(1)(2018宝鸡模拟)已知等差数列an中,其前n项和为Sn,若a3+a4+a5=42,则S7= ( ) A.98 B.49 C.1
12、4 D.147,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12, S120,S130. 世纪金榜导学号37680167 求公差d的取值范围; S1,S2,S12中哪一个值最大?并说明理由.,【解析】(1)选A.因为a3+a5=2a4,a3+a4+a5=42,所以a4=14,故S7=7a4=714=98. (2)依题意有,由a3=12得a1=12-2d, 即 因为S13=13a70, 因此a60,a70, 故在S1,S2,S3,S12中S6的值最大.,【技法点拨】 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求
13、二次函数最值的方法求解.,(2)邻项变号法: a10,d0时,满足 的项数m使得Sn取得最小 值为Sm.,【同源异考金榜原创】 命题点1 利用性质进行等差数列的基本运算 1.在等差数列an中,a3,a15是方程x2-6x+5=0的根,则S17的值是 ( ) A.41 B.51 C.61 D.68,【解析】选B.由题可得a3+a15=6,所以a1+a17=a3+a15=6. 所以S17= 6=51.,命题点2 根据等差数列的性质求前n项和的最值 2.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于_. 世纪金榜导学号37680168,【解析】因为a4+
14、a6=2a1+8d=-22+8d=-6d=2Sn= -11n+n(n-1)=(n-6)2-36当n=6时,Sn取最小值. 答案:6,核心素养系列（三十） 数学建模等差数列基本运算中的核心素养以学习过的数学知识为基础,把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题数列问题,进而通过数学运算来解释实际问题,并接受实际的检验.,【典例】九章算术是中国古代的数学专著,有题为:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问几何日相逢?,【解析】由题意可知,良马每日行程an构成一个首项为103,公差为13的等差数列.驽马每日行程bn构成一个首项为97,公差为-0.5的等差数列,设数列an,bn的前n项和分别为An与Bn,则An+Bn=2 250,即 整理得 25n2+775n-9 000=0,即n2+31n-360=0,故n=9.即九日相 逢.,
