1、第十一节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性,【教材基础回顾】 1.利用导数研究函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x), f(x)0f(x)在(a,b)上为_. f(x)0f(x)在(a,b)上为_. f(x)=0f(x)在(a,b)上为_.,增函数,减函数,常数函数,2.由导数求单调区间的步骤 (1)求定义域. (2)求导数. (3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.,【金榜状元笔记】 1.两个条件 (1)f(x)0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件. (2)f(x)0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.,2.确定单调区间端点值的三
2、个依据 (1)导函数等于零的点. (2)函数不连续的点. (3)函数不可导的点.,3.三点注意 (1)在函数定义域内讨论导数的符号. (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不能用“”,可用“,”或用“和”. (3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.,【教材母题变式】 1.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是 ( ),【解析】选D.由y=f(x)的图象知,在(-,0)上y=f(x)为正,且逐渐增大,而在(0,+)上y=f(x)为负且逐渐增大.,2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是 ( ) A.(0,1) B.(0,+) C.(1,+) D.(-
3、,0)(1,+) 【解析】选A.函数的定义域是(0,+),且f(x)=1-= ,令f(x)0得0x1.,3.函数f(x)= (a0)的单调递增区间是 ( ) A.(-,-1) B.(-1,1) C.(1,+) D.(-,-1)或(1,+),【解析】选B.函数f(x)的定义域为R,f(x)=,由于a0,要使f(x)0,只需(1-x) (1+x)0,解得-1x1.,4.(2016全国卷)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x 在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是 ( ),【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin 2x-sin x,f(x)=1- cos 2x
4、-cos x, 但f(0)=1- -1=- 0,不具备在(-,+)上单 调递增,排除A,B,D.,方法二:f(x)=1- cos 2x+acos x0对xR恒成立, 故1- (2cos 2x-1)+acos x0, 即acos x- cos 2x+ 0恒成立, 令t=cos x,所以- t2+at+ 0对t-1,1恒成立,构造函数f(t)=- t2+at+ , 开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需,【母题变式溯源】,考向一 利用导函数讨论(或证明)函数的单调性 【典例1】(2016山东高考改编)已知函数f(x)= a(x-ln x)+ ,aR.试讨论f(x)的单调性. 世
5、纪金榜导学号37680073,【解析】f(x)的定义域为(0,+), f(x)= 当a0时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增; x(1,+)时,f(x)0时,f(x)=,(1)当01, 当x(0,1)或x 时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x 时,f(x)0,f(x)单调递减. (2)当a=2时, =1,在x(0,+)内,f(x)0,f(x)单调递增.,(3)当a2时,00,f(x)单调递增; 当x 时,f(x)0,f(x)单调递减. 综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1, +)内单调递减;,当02时,f(x)在内单调递增,在 内单调递减,在(1,+) 内
6、单调递增.,【误区警示】含参问题的三个常见失误:一是忽视函数的定义域(0,+);二是忽视a=0这一特殊情况;三是不知对a按什么标准进行讨论.,【一题多变】1.若典例中的函数变为:f(x)=ex(ax2-2x+2)(a0).试讨论f(x)的单调性.,【解析】由题意得f(x)=exax2+(2a-2)x(a0), 令f(x)=0,解得x1=0,x2= . (1)当0a1时,f(x)的单调递增区间为(-,0)和单调递减区间为,(2)当a=1时,f(x)在(-,+)内单调递增; (3)当a1时,f(x)的单调递增区间为 和 (0,+),单调递减区间为,2.若典例中的函数变为f(x)=(a-1)ln x
7、+ax2+1,aR,试讨论f(x)的单调性.,【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)= +2ax = (1)当a1时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增. (2)当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递减.,(3)当00, 故f(x)在 上单调递减,在 上单调 递增.,【技法点拨】 利用导数讨论(证明)函数f(x)在(a,b)内单调性的步骤 (1)求f(x). (2)确认f(x)在(a,b)内的符号.,(3)得出结论:f(x)0时为增函数,f(x)0时为减函数. 提醒:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,【拓展】化整为零,
8、积零为整分类与整合思想 (1)分类与整合是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用.,(2)在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类与整合思想”.,【同源异考金榜原创】 1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,若函数f(x)的图象如 图所示,则一定有 ( )世纪金榜导学号37680074,A
9、.b0,c0 B.b0 C.b0,c0 D.b0,c0,【解析】选B.因为y=ax3+bx2+cx+d,所以y=3ax2+2bx +c,因为函数y=ax3+bx2+cx+d从左到右先增后减再增, 所以二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上,所以 a0,因为函数y=ax3+bx2+cx+d的极值点都为正,所以 3ax2+2bx+c=0有两个不同的正根,所以 0,所以 c0,- 0,b0.,2.已知函数f(x)=ln x+a(1-x),讨论f(x)的单调性. 【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -a. 若a0,则f(x)0恒成立, 所以f(x)在(0,+)上单调递增.,若a0
10、,则当x 时,f(x)0;x 时, f(x)0,所以f(x)在 上单调递增,在 上 单调递减.,考向二 利用导数求函数单调区间 【典例2】(2017山东高考改编)已知函数f(x)= x3- ax2,aR, 世纪金榜导学号37680075 (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程. (2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的 单调性.,【解析】(1)由题意f(x)=x2-ax, 所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3, 因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y= 3(x-3),即3x-y-
11、9=0.,(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x), 令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增,因为h(0)=0, 所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.,当a0,g(x)单调递增; 当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.,当a=0时,g(x)=x(x-sin x), 当x(-,+)时,g(x)0, 所以g(x)在(-,+)上单调递增.,当a0时,g(
12、x)=(x-a)(x-sin x), 当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增; 当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增.,综上所述: 当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减.,【技法点拨】 利用导数求函数单调区间的三种方法 (1)当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0求出单调区间.,(2)当方程f(x)=0可解时,确定函数的定义域,解方程f(x)=0,求出实数根,把函数的实根按从大到小的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,确定f(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间.,(3)不等式f(x)0或f(x)0及方程f(x)
13、=0均不可解时,根据f(x)的结构特征,构造新函数g(x),通过研究g(x)的单调性来确定f(x)的符号,从而确定f(x)的单调性.,【同源异考金榜原创】 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) 【解析】选D.由题意,知f(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由f(x)0得x2.,2.已知函数f(x)= (k为常数,e是自然对数的底 数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行. (1)求k的值. (2)求f(x)的单调区间.,【解析】(1)由题意得f(x)= 又因为f(1)= =0,故k=
14、1. (2)由(1)知,f(x)= 设h(x)= -ln x-1(x0), 则h(x)= 0,即h(x)在(0,+)上是减函数. 由h(1)=0知,当00,从而f(x)0; 当x1时,h(x)0,从而f(x)0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+).,考向三 利用导数解决函数单调性的应用问题高频考点,【典例3】(1)(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是 ( ) A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(
15、1,+),(2)(2017江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+ex- , 其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)0,则实 数a的取值范围是_. 世纪金榜导学号37680076,【解析】(1)选A.记函数g(x)= ,则g(x)= 因为当x0时,xf(x)-f(x)0时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递减; 又因为函数f(x)(xR)是奇函数,故函数g(x)是偶函数, 所以g(x)在(-,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0. 当00,则f(x)0; 当x0, 综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-,-1) (0,1).,(2)因为f(x)=3x2-
16、2+ex+e-x3x2-2+2 0,所 以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x)=-x3+2x+ - ex=-f(x),f(a-1)+f(2a2)0,所以2a21-a,即2a2+a- 10,解得-1a ,故实数a的取值范围为 答案:,【技法点拨】 1.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x) 0(f(x)0)在区间a,b上恒成立列出不等式.,(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题. (3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)=0,则
17、参数可取这个值.,2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.,提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任意一个非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,【同源异考金榜原创】 命题点1 依据函数的单调性求参数的取值范围 1.已知函数f(x)= -ln x在1,+)上是减函数, 则实数a的取值范围为 ( ) 世纪金榜导学号37680077 A.a1 B.a2 C.a2 D.a3,【解析】选C.由题意得,f
18、(x)= x0,因为 函数f(x)= -ln x在1,+)上是减函数,所以f(x)0在1,+)上恒成立, 即 0在1,+)上恒成立,即2a 在1,+)上恒成立,又因为当且仅当x=1时取等号,所以 a2.,命题点2 比较大小或解不等式 2.已知函数f(x)=ln x-x+ ,若a=f(e),b=f(), c=f(log230),则 世纪金榜导学号37680078( ) A.cba B.cab C.bca D.acb,【解析】选A.f(x)的定义域是(0,+),故f(x)在(0,+)上单调递减,log230log224e. 所以f(log230)f()f(e),即cba.,核心素养系列(十四) 数
19、学抽象利用导数判断函数单调性 问题中的核心素养以导数的正负与函数的单调性的关系为基础,运用导数运算法则、常见函数导数,通过选择合适的方法、法则,经过推理、论证,解决问题.,【典例】(2018娄底模拟)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是( ) A.(-3,0)(3,+) B.(-3,0)(0,3) C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3),【解析】选D.因为当x0,即f(x)g(x)0, 所以f(x)g(x)在(-,0)上单调递增, 又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函 数,所以f(x)g(x)为奇函数,关于原点对称,所以,f(x)g(x)在(0,+)上也是增函数.因为f(3)g(3)=0,所以f(-3)g(-3)=0.所以f(x)g(x)0的解集为x-3或0x 3.,
