1、第五节 对 数 函 数,【教材基础回顾】 1.指数式与对数式的互化 ax=N_(a0且a1),logaN=x,2.对数的性质(a0且a1): (1)零和负数没有对数.(2)1的对数等于_.(3)底的对 数等于_.,0,1,3.对数的运算性质 如果a0且a1,M0,N0,那么:(1)loga(MN)=_. (2)loga =_.(3)logaMn=_.,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,4.对数的换底公式 logab=_(a0且a1,c0且c1,b0).,5.对数函数的图象与性质,(0,+),(1,0),loga1=0,y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,【金榜状
2、元笔记】 1.两个恒等式:=N;logaax=x.,2.三个重要公式 : (1)logablogba=1. (2) (3)logablogbclogcd=logad.,3.一对反函数: (1)函数y=ax与函数y=logax(a0且a1)互为反函数. (2)两函数的图象关于y=x对称,其单调性一致.,4.三个关键点: 画对数函数y=logax的三个关键点为: (a,1),(1,0),【教材母题变式】 1.(log29)(log34)= ( ) A. B. C.2 D.4 【解析】选D.原式=,2.设a=log2,b=log0.5,c=-2,则 ( ) A.abc B.bac C.acb D.c
3、ba 【解析】选C.因为a=log21,b=log0.50,但c1,所以bca.,3.(2017全国卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( ) A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x5z,【解析】选D.令2x=3y=5z=m,分别可求得2x= ,3y= ,5z= , 分别对分母乘以30可得,30logm =logm215,30logm =logm310,30logm =logm56, 故而可得 logm310logm215logm563y2x5z.,【母题变式溯源】,考向一 对数式的化简与求值 【典例1】(1)已知lg x+lg y=2lg(2x-3y),
4、则 =_. (2)求值: 世纪金榜导学号37680039,【解析】(1)因为lg x+lg y=2lg(2x-3y),所以 解得: 所以,答案:2 (2),【技法点拨】 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.,(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,提醒:对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的,不能出现log212=log2(-3)(-4)=log2(-3)+log2(-4)的错误.,【同源异考
5、金榜原创】 1.计算log327+lg 25+lg 4+ 的结果为_. 【解析】log327+lg 25+lg 4+ =3log33+ lg 100+2=3+2+2=7. 答案:7,2.若函数f(x)=2x+4x,则f(log29)=_. 【解析】f(log29)= =9+81=90. 答案:90,考向二 对数函数的图象及其应用 【典例2】(1)若函数y=a|x|(a0且a1)的值域为y|y1,则函数y=loga|x|的图象大致是 ( ),(2)当0x 时,4xlogax,则a的取值范围是 世纪金榜导学号37680040( ),【解析】(1)选B.由于y=a|x|(a0且a1)的值域为y|y1
6、,所以a1,则y=logax在(0,+)上是增函数,又函数y=loga|x|是偶函数,所以图象关于y轴对称.,(2)选B.构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,当a1时不满 足条件,当0 ,所以a的取值 范围为 .,【一题多变】1.若本例(2)变为方程4x=logax在0x上有解,求实数a的取值范围.,【解析】构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,当a1时不满 足条件,当0a1时,画出两个函数在 上的图象(见 典例(2)解析图象),可知,只需两图象在 上有交点 即可,则f g ,即2loga ,则a ,所以a的 取值范围为 .,2.若本例(2)变为:若不等式x2-logax0对
7、x 恒 成立,求实数a的取值范围.,【解析】由x2-logax1时,显然不成立;,当0a1时,如图所示, 要使x2logax在x 上恒成立, 需f1 f2 ,所以有 loga ,解得a ,所 以 a1. 即实数a的取值范围是 .,【技法点拨】 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.,(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. (3)函数过定点问题,主要依据函数y=logax的图象过定点(1,0),通过平移求解.,【同源异考金榜
8、原创】 1.函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a0,且a1)的图象关于直线y=x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)图象必过定点_.,【解析】因为函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a0,且a1)的图象关于直线y=x对称, 所以f(x)=ax,故函数g(x)=f(x-1)-3=ax-1-3,则函数y=g(x)图象必过定点(1,-2). 答案:(1,-2),2.已知函数f(x)= 且关于x的方程f(x)+x- a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是_.世纪金榜导学号37680041,【解析】如图,在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象
9、,其中a表示直线在y轴上的截距.由图可知,当a1时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个交点.答案:a1,考向三 对数函数的性质及其应用 高频考点,【典例3】(1)(2016全国卷)ab0,0cb,(2)设函数 若f(a)f(-a),则实数a 的取值范围是 ( )世纪金榜导学号37680042 A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+) C.(-1,0)(1,+) D.(-,-1)(0,1),(3)(2017全国卷)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x), 则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
10、 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,【解析】(1)选B.对于选项A,a= ,b= ,c= , logac=1 =logbc,所以选项A错误;对于选项B,因为 0b0, 所以logcab0,所以acbc, 因此选项C错误;显然选项D错误.,(2)选C.由题设可知 或 解上式得a1或-1a0.,(3)选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以 f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误;又f(x)=(0x2),在(0,1)上单调递增,在1,2) 上单调递减,A,B错误.,【一题多解微课】解决本题(3)还可以采用以下方法: 选C.利用对数的运算性质化简f(
11、x)的解析式,利用二次 函数的对称性,因为f(x)的定义域为(0,2),f(x)= ln(2x-x2),令y=2x-x2=-(x-1)2+1,则y=2x-x2关于直线 x=1对称,所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故D错,误,C正确,所以y=f(x)在(0,1)和(1,2)上单调性相反, 故A,B错误.,【技法点拨】 1.比较对数值的大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.,(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,2.解对
12、数不等式的类型及方法 (1)形如logaxlogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.,3.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 (1)判断函数的定义域. (2)注意底数与1的关系,再看是否为复合函数,进而求解单调区间.,【拓展】反函数 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称.,(3)如果f(x)图象上有一点为(a,b),则(b,a)一定在其反函数图象上. (4)互为反函数的两个函数单调性相同.,【同源异考金榜原创】 命
13、题点1 比较对数值、幂指数的大小 1.已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=-f , b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为世纪金榜导学号37680043( ) A.abc B.bac C.cba D.cab,【解析】选C.由题意:a=f =f(log25),且:log25log24.12,1log24.120.8,结合函数的单调性有: f(log25)f(log24.1)f(20.8), 即abc,cba.,命题点2 解简单的对数不等式 2.若loga(a2+1)loga(2a)0,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B. C. D.(0,1)(1,+
14、),【解析】选C.由题意得a0且a1,故必有a2+12a,又 loga(a2+1)1,所以01,所以a .综上, a1.,命题点3 对数函数性质的综合应用 3.若f(x)=ln(x2-2ax+1-a)在区间(-,0上递减,则a的取值范围为_. 世纪金榜导学号37680044,【解析】令u=x2-2ax+1-a,配方得u=x2-2ax+1-a=(x-a)2 -a2-a+1,故对称轴为x=a,显然当对称轴a0时,u=x2- 2ax+1-a在区间(-,0上单调递减,又真数x2-2ax+1- a0,二次函数u=x2-2ax+1-a在(-,0上单调递减,故 只需当x=0时,若x2-2ax+1-a0,则x(-,0时,真数,x2-2ax+1-a0,代入x=0,解得a1,所以a的取值范围是 0,1). 答案:0,1),核心素养系列（八） 数学运算对数函数问题中的核心素养以对数运算法则、对数的运算性质、对数函数的图象与性质为基础,通过一系列的运算、化简、推理,解决新问题.,【典例】设f(x)= 且f(1)=6, 则f(f(-2)的值为 ( ) A.12 B.18 C. D.,【解析】选A.因为f(x)= 所以f(1)=2(t+1)1=6,所以t=2, 所以f(-2)=log3(4+2)=log360,f(f(-2)= f(log36)=2 =12.,
