1、第五节 直接证明与间接证明,【教材基础回顾】 1.直接证明 (1)综合法 定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等,经过一系列的_,最后推导出所要证明 的结论成立,这种证明方法叫做综合法.,推理论证,框图表示: (其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论). 思维过程:由因导果.,(2)分析法 定义:一般地,从_出发,逐步寻求使它 成立的_,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公 理等)为止,这种证明方法叫做分析法.,要证明的结论,充分条件,框图表示: (其中Q表示要证明的 结论). 思维过程:执果索因.,2.
2、间接证明 反证法:一般地,假设原命题_(即在原命题的条 件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出_, 因此说明假设错误,从而证明_的证明方法.,不成立,矛盾,原命题成立,【金榜状元笔记】 证明方法的应用策略 1.分析法与综合法的应用特点:对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路,再运用综合法证明;或两种方法交叉使用.,2.分析法证明的注意点:要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”.,3.利用反证法证明的特点,要假设结论错误,并用假设的命题进行推理,如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.,【教材母题变式】 1.若a
3、,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca. 证明过程如下: 因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac. 又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立, 所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是 ( ) A.分析法 B.综合法 C.分析法与综合法并用 D.反证法,【解析】选B.由因导果是综合法.,2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“已知 abc,且a+b+c=0,求证 ”索的因应该是( ) A.a-b0 B.a-c0 C.(a-b)(a-c)0
4、D.(a-b)(a-c)0,【解析】选C.由abc,a+b+c=0,得b=-a-c,a0,c0,只需证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,只需证 a(a-c)-b(a-c)0,只需证(a-c)(a-b)0.,3.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设 ( ) A.三个内角都不大于60 B.三个内角都大于60 C.三个内角至多有一个大于60 D.三个内角至多有两个大于60,【解析】选B.三角形三个内角至少有一个不大于60的对立面为三个内角都大于60.,【母题变式溯源】,考向一 综合法的应用高频考点,【典例1】(1)(2018宜昌模拟)设a,b,c均为正数, 且a+b+
5、c=1,证明: ab+bc+ca ; ,(2)设数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1, nN*,且a1,a2+5,a3成等差数列.世纪金榜导学号37680210 求a1的值; 求数列an的通项公式; 证明:对一切正整数n,有,【解析】(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得 a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca . 当且仅当“a=b=c”时等号成立;,因为 当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立, 故 +(a+b+c)2
6、(a+b+c), 即 a+b+c. 所以 1.,(2)当n=1时,2a1=a2-4+1=a2-3, 当n=2时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7, 又因为a1,a2+5,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+5),解得a1=1;,因为2Sn=an+1-2n+1+1, 所以当n2时,有2Sn-1=an-2n+1, 两式相减整理得an+1-3an=2n,则 即 又因为 +2=3,所以是首项为3,公比为 的等比数列,所以 即an=3n-2n,n=1时也适合此式,所以an=3n-2n;,由得 当n2时, 2,即3n-2n2n, 所以 所以,【一题多变】例(1)条件不变,证明a2+b2+c2
7、 . 【证明】因为a+b+c=1, 所以1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, 因为2aba2+b2, 2bcb2+c2,2aca2+c2, 所以2ab+2bc+2ac2(a2+b2+c2), 所以1a2+b2+c2+2(a2+b2+c2), 即a2+b2+c2 .,【技法点拨】 综合法证明题的一般规律 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,【同源异考金榜原创】 命题点1
8、 与不等式有关的证明 1.设a,b,c都是正数,求证:,【证明】因为a,b,c都是正数, 所以 , , 都是正数. 所以 2c,当且仅当a=b时等号成立,2a,当且仅当b=c时等号成立,+ 2b,当且仅当a=c时等号成立. 三式相加,得2 2(a+b+c), 即 a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.,命题点2 与数列有关的证明 2.已知a1=1,an=2an-1+1(n2).世纪金榜导学号37680211 (1)证明an+1是等比数列并求通项an. (2)证明:,【证明】(1)因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),又 因为a1=1,a1+1=20,所以数列an+1是
9、以2为首项,2 为公比的等比数列,所以an+1=2n即an=2n-1.,(2)因为 所以,考向二 分析法的应用 【典例2】(2016全国卷)已知函数f(x)= M为不等式f(x)2的解集. (1)求M. (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,【解析】(1)当x 时,f(x)=2x2,解得 x1. 综上可得,M=x|-1x1.,(2)当a,b(-1,1)时,有(a2-1)(b2-1)0, 即a2b2+1a2+b2, 则a2b2+2ab+1a2+2ab+b2, 则(ab+1)2(a+b)2, 即|a+b|ab+1|.,【一题多变】 1.若本例(2)中a,b(1,+),证明,【证明】要证
10、 只需证 只需证a+b-1-ab1,b1,所以a-10,1-b0, 即(a-1)(1-b)0成立, 所以原不等式成立.,2.若本例(2)中,a0,证明 【证明】因为a0, 所以要证 只需证,即证2a+2+2 4(a+1), 只需证 a+1, 即证a(a+2)(a+1)2, 即证01, 而01显然成立,所以原不等式成立.,【技法点拨】 分析法证明不等式的适用范围、思路及格式 (1)分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.,(2)分析法的思路 “执果索因”,逐
11、步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.,(3)分析法的格式 通常采用“欲证只需证已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.,【同源异考金榜原创】 1.已知a0,证明 世纪金榜导学号37680212,【证明】要证 a+ -2, 只需证 -(2- ). 因为a0,所以 -(2- )0, 所以只需证,即2(2- ) 8-4 ,只需证a+ 2. 因为a0,a+ 2显然成立 所以原不等式成立.,2.已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为14, 且a1,a3,a7恰为等比数列bn的前三项.世纪金榜导学号37680213
12、(1)分别求数列an,bn的前n项和Sn,Tn. (2)记数列anbn的前n项和为Kn,设cn= 求证: cn+1cn(nN*).,【解析】(1)设公差为d,则 解得d=1或d=0(舍去),a1=2, 所以an=n+1,Sn= . 又因为a1=2,d=1,所以a3=4,即b2=4. 所以等比数列bn的首项为b1=2,公比q= =2, 所以bn=2n,Tn=2n+1-2.,(2)因为Kn=221+322+(n+1)2n, 故2Kn=222+323+n2n+(n+1)2n+1, -得-Kn=221+22+23+2n-(n+1)2n+1, 所以Kn=n2n+1,则cn= 要证明cn+1cn(nN*)
13、,只需证cn+1-cn0,即证 显然成立.所以cn+1cn(nN*).,考向三 反证法的应用 【典例3】 等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ ,S3=9+3 .世纪金榜导学号37680214,(1)求数列an的通项an与前n项和Sn. (2)设bn= (nN*),求证:数列bn中任意不同的三 项都不可能成为等比数列.,【解析】 (1)由已知得 所以d=2,故an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ).,(2)由(1),得bn= =n+ . 假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等) 成等比数列, 则bq2=bpbr,即(q+ )2=(p+ )(r+ ), 所以(q2-pr)
14、+ (2q-p-r)=0.,因为p,q,rN*,所以 所以 =pr,(p-r)2=0. 所以p=r,这与pr矛盾,所以数列bn中任意不同 的三项都不可能成为等比数列.,【误区警示】利用反证法证明问题时,要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理,否则,将出现循环论证的错误.,【技法点拨】 反证法的应用策略 (1)反证法的适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法求证.,(2)反证法关键:是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾;与假设矛盾;与定义、公理、定理矛盾;与事实矛盾等方面.,【同源异考金榜原创】 1.实数a,b,c不全为0等价于
15、 ( ) A.a,b,c均不为0 B.a,b,c中至多有一个为0 C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0,【解析】选D.“不全为0”的含义是至少有一个不为0.,2.设an是公比为q的等比数列. 世纪金榜导学号37680215 (1)推导an的前n项和公式. (2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.,【解析】(1)设an的前n项和为Sn. 则Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn, 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn=a1(1-qn),当q1时, 当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1, 所以,(2)
16、假设数列an+1是等比数列, 则(a1+1)(a3+1)=(a2+1)2, 即a1a3+a1+a3+1= +2a2+1, 因为an是等比数列,公比为q,所以a1a3= ,a2=a1q,a3=a1q2, 所以a1(1+q2)=2a1q. 即q2-2q+1=0,(q-1)2=0,q=1, 这与已知q1矛盾, 所以假设不成立,故数列an+1不是等比数列.,核心素养系列（三十八）逻辑推理不等式证明中的核心素养通过不等式的证明掌握逻辑推理的基本形式,表述论证的过程;能理解数学知识之间的联系,对式子进行等价变形,进而通过证明不等式,体验逻辑推理的核心素养.,【典例】若a,b,c是不全相等的正数,求证:,【证明】要证 只需证lg lg abc, 只需证 abc.,因为a,b,c是不全相等的正数,所以.所以显然有 abc成立,原 不等式得证.,
