1、第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示,【教材基础回顾】 1.函数与映射的概念,映射函数,f:AB 特征:(1)A,B为_集合;(2)A中_元素对应B中_元素. y=f(x) 特征: A,B为非空_. 定义域:_x的取值范围为A. 值域:函数值的集合_.,非空,任一,唯一,数集,自变量,f(x)|xA,2.函数的表示法:_、_、_. 3.分段函数 若函数在定义域的不同子集上,因_不同而分 别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.,列表法,解析法,图象法,对应关系,【金榜状元笔记】 1.函数三个要素:定义域、对应法则和值域. 2.两个重要关系:定义域就是集合A,值域是集合B的子
2、集.,3.一种优先意识:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数的研究,必须坚持定义域优先的原则. 4.分段函数的两个关注点:(1)分段函数是一个函数.(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集.,【教材母题变式】 1.下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是( ),【解析】选B.对于A.函数y=( )2的定义域为 x|x-1,与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数; 对于B,定义域和对应法则都相同,是相等函数;对于 C.函数y= +1的定义域为x|x0,与函数y=x+1的定 义域不同,不是相等函数;对于D,定义域相同,但对应 法则不同,不是相等函数.,2.函数f(x)= 的定义
3、域为 ( ) A.0,2) B.(2,+) C.0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+),【解析】选C.由题意知 得 所以函数的定义域为0,2)(2,+).,3.设函数f(x)= 则f(f(3)等于( ),【解析】选D.由题意知f(3)= 所以f(f(3)=,4.(2015全国卷)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=_. 【解析】因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a(-1)3-2(-1),解得:a=-2. 答案:-2,【母题变式溯源】,考向一 求函数的定义域 【典例1】(1)函数f(x)= 的定义域为( ) A.(2,3) B.(2,4
4、C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6,(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( ) 世纪金榜导学号37680015 A.(-1,1) B. C.(-1,0) D.,【解析】(1)选C.由函数y=f(x)的表达式可知,函数f(x) 的定义域应满足条件:4-|x|0, 0,解之得 -4x4,x2,x3,即函数f(x)的定义域为(2,3) (3,4.,【巧思妙解】选C.(特值验证)易知x=3时函数无意义, 排除B,x=5时 无意义,排除D,若令x=4,知函数式 有意义,故排除A,选C.,【一题多变】若将本例(1)中的函数变为f(x)=(a0且a1)
5、 ,如何求定义域?,【解析】当a1时,由loga(x-1)0,得x-11, x2;又由4-|x|0得-4x4,所以当a1时,2x4.当01时,为2,4;当0a1时,为(1,2.,(2)选B.令u=2x+1,由f(x)的定义域为(-1,0)可知 -1u0,即-12x+10,得-1x- .,【技法点拨】 具体函数定义域的常见类型 (1)分式函数.(2)无理函数.(3)对数函数.(4)三角函数.(5)实际问题中的函数.,【拓展】抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(
6、x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.,【同源异考金榜原创】 1.函数f(x)= 的定义域为( ) A.-2,0)(0,2 B.(-1,0)(0,2 C.-2,2 D.(-1,2,【解析】选B.由 得-1x2,且x0.,2.若函数y=f(x)的定义域是1,2 018,则函数g(x)=的定义域是_. 世纪金榜导学号37680016,【解析】因为y=f(x)的定义域为1,2 018, 所以g(x)有意义,应满足 所以0x2 017,且x1. 因此g(x)的定义域为x|0x2 017,且x1. 答案:x|0x2 017,且x1,考向二 求函数的解析式 【典例2】(1)已知函数f(2x+1)=4x
7、2-6x+5,则f(x)=_. (2)已知f(x)满足2f(x)+f =3x,则f(x)=_.,(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当 0x1时,f(x)=x(1-x),则当-1x0时,f(x)= _.,【解析】(1)(换元法)令2x+1=t(tR),则x= ,所 以f(t)=4( )2 -6 +5=t2-5t+9(tR),所以 f(x)=x2-5x+9(xR). 答案:x2-5x+9(xR),【答题模板微课】 换元法在求函数解析式中的模板化过程 本例(1)的求解过程可模板化为: 建模板:“令2x+1=t(tR),则x= ”设元,“f(t)=4( )2-6 +5 =t
8、2-5t+9(tR)” 换元 “所以f(x)=x2-5x+9(xR)” 替换 套模板:已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式.,设t= +1,则x=(t-1)2,t1, 设元 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2 =t2-1. 换元 故f(x)=x2-1,x1. 替换,(2)(方程组法)因为2f(x)+f =3x, 所以将x用 替换,得2f +f(x)= , 由解得f(x)=2x- (x0), 即f(x)的解析式是f(x)=2x- (x0). 答案:2x- (x0),【误区警示】切记定义域优先原则,此类问题易忘记注明函数的定义域.,(3)(转换法)
9、当-1x0,则0x+11,故f(x+1)= (x+1)(1-x-1)=-x(x+1),又f(x+1)=2f(x),所以当 -1x0时, f(x)=- . 答案:-,【技法点拨】注意换元后要注意新元的取值范围.,【同源异考金榜原创】 1.已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_.,【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0), 由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx(a0). 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,所以 解得a
10、=b= . 所以f(x)= x2+ x(xR). 答案: x2+ x(xR),2.已知f =lg x,则f(x)=_. 世纪金榜导学号37680017,【解析】令 +1=t,得x= ,代入得f(t)=lg ,又 x0,所以t1,故f(x)的解析式是f(x)=lg (x1). 答案:lg (x1),考向三 分段函数的应用 高频考点,【典例3】(1)设函数f(x)= 则f(-2)+f(log212)= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,(2)(2015全国卷)已知函数f(x)= 且f(a)=-3,则f(6-a)= 世纪金榜导学号37680018( ),【解析】(1)选C.由已知得f(-2)
11、=1+log24=3,又log2121, 所以f(log212)= =6,故f(-2)+f(log212)=9. (2)选A.当a1时不符合题意,所以a1,即-log2(a+1)=-3, 解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=- .,【技法点拨】 分段函数问题的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.,(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.,【同源异考金榜原创】 命题点1 由分段函数解析式,求函数值(或
12、最值) 1.定义ab= 设函数f(x)=ln xx,则 f(2)+f = 世纪金榜导学号37680019( ) A.4ln 2 B.-4ln 2 C.2 D.0,【解析】选D.2ln 20,所以f(2)= 2ln 2=2ln 2. 因为 ln 0,所以 =-2ln 2.则f(2)+ f =2ln 2-2ln 2=0.,命题点2 分段函数与方程的交汇问题 2.已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为 世纪金榜导学号37680020( ) A.-3 B.-1或3 C.1 D.-3或1,【解析】选D.f(1)=lg 1=0,所以f(a)=0. 当a0时,则lg a=0,a=1;
13、当a0时,则a+3=0,a=-3. 所以a=-3或1.,核心素养系列（四）数学抽象函数新定义问题中的核心素养以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题.,【典例】设函数f(x)的定义域为D,若对任意的xD,都存在yD,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”,下列所给出的五个函数: f(x)=x2;f(x)= ; f(x)=ln(2x+3);f(x)=2x-2-x; f(x)=2sin x-1, 其中是“美丽函数”的序号有_.,【解析】由已知,在函数定义域内,对任意的x都存在着y,使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数,即f(y)=-f(x).故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件.,中函数的值域为0,+),值域不关于原点对称,故不符合题意; 中函数的值域为(-,0)(0,+),值域关于原点对称,故符合题意;,中函数的值域为(-,+),值域关于原点对称,故符合题意; 中函数的值域为R,值域关于原点对称,故符合题意; 中函数f(x)=2sin x-1的值域为-3,1,不关于原点对称,故不符合题意. 答案:,
