1、1课时分层作业(十一) 抛物线的几何性质(建议用时：40 分钟)基础达标练一、填空题1抛物线焦点在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A， AF5，则该抛物线的方程是_解析 设抛物线的标准方程为 y22 ax(a0)，设 A(m，3)由抛物线定义得 5 AF ，|ma2|又(3) 22 am， a1 或 a9，故所求抛物线的标准方程为 y22 x 或 y218 x.答案 y22 x 或 y218 x2抛物线 y24 x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB4 ，则焦点到弦 AB 的距离为3_解析 由题意我们不妨设 A(x,2 )，则(2 )24 x， x3，直线 AB 的方程为3 3x3，
2、抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦 AB 的距离为 2.答案 23在抛物线 y216 x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦 AB 所在直线的方程是_解析 显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为 k，则直线方程为y1 k(x2)，由Error!消去 x 得 ky216 y16(12 k)0， y1 y2 2( y1， y216k分别是 A， B 的纵坐标)， k8，代入得 y8 x15.答案 y8 x154已知过抛物线 ： x 的焦点 F 的直线交抛物线 于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两y22点，若 x1 x27，则 AB 的值为_. 【导学号：71392104】解析 因为
3、 x ，所以 y22 x，所以抛物线 的准线方程为 x ，根据抛y22 12物线的定义知 AF x1， BF x2，所以 AB AF BF1( x1 x2)1(7)8.12 12答案 85直线 y k(x1)与抛物线 y28 x 有两个交点，则实数 k 的取值范围是_2解析 联立直线与抛物线方程，得Error!所以 ky28 y8 k0.由题意得Error!解得 k ，且 k0.2 2所以实数 k 的取值范围是( ，0)(0， )2 2答案 ( ，0)(0， )2 26已知抛物线 E： y24 x 的焦点为 F， P 是 E 的准线 l 上一点， Q 是直线 PF 与 E 的一个交点若 ，则直
4、线 PF 的方程为_. PQ 2QF 【导学号：71392105】解析 抛物线 E： y24 x 的焦点 F(1,0)，设 Q 到 l 的距离为 d，则 QF d. ，| | | | d，直线的倾斜角为 45或 135，直线的斜PQ 2QF PQ 2QF 2率为1，直线的方程为 x y10 或 x y10.答案 x y10 或 x y107如图 243 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m水位下降 1 m 后，水面宽_ m.图 243解析 建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22 py(p0)由题意A(2，2)，代入 x22 py，得 p1，故 x22
5、 y.设 B(x，3)，代入 x22 y 中，得x ，故水面宽为 2 m.6 6答案 2 68已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x 上一动点 P 到直线l1和直线 l2的距离之和的最小值是_解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1，由抛物线定义知，点P 到直线 l2的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，作 PA l1垂足为 A，则点 P 到 l1， l2的距离之和 d PA PF，当 P， A， F 三点共线时， d 取得最小值，最小值即为点 F 到直线 l1的距3离，由点到直线的距离公式得 dmin 2.|41 30 6|42
6、( 3)2答案 2二、解答题9已知抛物线 y22 px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边 OA与 OB 的长分别为 1 和 8，求抛物线的方程. 【导学号：71392106】解 设直线 OA 的方程为 y kx， k0，则直线 OB 的方程为 y x，1k由Error! 得 x0(舍)或 x ，2pk2 A 点坐标为 ， B 点坐标为(2 pk2，2 pk)，(2pk2， 2pk)由| OA|1，| OB|8，可得Error!解方程组得 k664，即 k24.则 p2 ，又 p0，则 p ，16k2(k2 1) 45 255故所求抛物线方程为 y2 x.45510已知过抛
7、物线 y22 px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1， y1)，2B(x2， y2)(x1 x2)两点，且| AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 ，求 的值OC OA OB 解 (1)直线 AB 的方程是 y2 ，与 y22 px 联立，从而有2(xp2)4x25 px p20，所以 x1 x2 ，由抛物线定义得，| AB| x1 x2 p p9，5p4 5p4所以 p4，从而抛物线方程为 y28 x.(2)由于 p4,4 x25 px p20 可化简为 x25 x40，从而 x11， x24， y12， y2 4 ，从而 A(
8、1，2 )， B(4，4 )；设 C(x3， y3)，则 ( x3， y3)(1，2 )2 2 2 2 OC 2 (4,4 )(4 1,4 2 )，又 y 8 x3，即2 (2 1) 28(4 1)，即2 2 2 23 2(2 1) 24 1，解得 0 或 2.能力提升练1等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22 px(p0)， O 为抛物线的顶点， OA OB，则 AOB 的面积为_4解析 由条件，不妨设 lOA为 y x，解方程组Error!得 x2 p，所以 A(2p,2p)故S AOB 2(2p)(2p)4 p2.12答案 4 p22过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜
9、角为 45的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)因为直线倾斜角为 45，过抛物线焦点，所以可设直线方程为 y x ，代入抛物线方程得 2 px，即 x23 px 0，故p2 (x p2)2 p24x1 x23 p，由抛物线的定义可知，| AB| x1 x2 x1 x2 p4 p8，因此 p2.p2 p2答案 23已知抛物线 y x2与双曲线 x21( a0)有共同的焦点 F， O 为坐标原点， P18 y2a2在 x 轴上方且在双曲线上，则 的最小值为_OP FP 解析 抛物线 y x2的焦点 F 为(0,2)，
10、则双曲线 x21 中， c2，则 a23.18 y2a2即双曲线方程为 x21，设 P(m， n) ，则 n23 m23，y23 (n 3)则 ( m， n)(m， n2)OP FP m2 n22 n 1 n22 n 2 n1 ，所以当 n 时， 的最n23 4n23 43(n 34)2 74 3 OP FP 小值为 32 .3答案 32 34如图 244，抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A， B两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC x 轴证明：直线 AC 经过原点 O. 【导学号：71392107】图 244证明 法一：设直线 AB 的方程为 y
11、k ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C .(xp2) ( p2， y2)联立方程，得Error!5消去 x，得 y2 p20， y1y2 p2， kOA ， kOC .2pyk y1x1 y2 p2 2py1又 y 2 px1， kOC kOA， AC 经过原点 O.21y1x1当 k 不存在时， AB x 轴，同理可得 kOA kOC，所以 AC 经过原点 O.法二：因为抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F ，由于直线 AB 斜率不确定，所以经(p2， 0)过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x my ，代入抛物线方程消去 x 得 y22 pmy p20.若p2设 A(
12、x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1， y2是该方程的两个根，所以 y1y2 p2.因为 BC x 轴，且点 C 在准线 x 上，所以点 C 的坐标为 ，故直线 CO 的p2 ( p2， y2)斜率为 k ，即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O.y2 p2 2py1 y1x1法三：如图，过 A 作 AD l， D 为垂足，则 AD EF BC，设 AC 与 EF 相交于点 N，则 ，ENAD CNAC BFAB .由抛物线的定义可知 AF AD， BF BC， EN NF.NFBC AFAB ADBFAB AFBCAB即点 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O.
