1、保山市 2018 届普通高中毕业生第二次市级统测理科数学一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数 2(1)zi的虚部为（ ）A-2 B i C 2i D02.已知集合2(,)143xy， 2(,)|Bxy，则 AB中元素的个数为（ ）A3 B2 C1 D03.我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径 12 寸，球壁厚 0.3 寸，1 立方寸金重 1 斤，试问金球重是多少斤？（注 3） （ ）A125.77 B
2、864 C123.23 D369.69 4.P为双曲线 C：21(0)9xya上一点， 1F， 2分别为双曲线的左、右焦点， 1260FP，则12F的值为（ ）A6 B9 C18 D365.若 x， y满足约束条件 22(1)()1xy，则 2xy的最小值为（ ）A 21 B 3 C D 326.已知等差数列 na的前 项和为 nS， 19a， 54S，则 nS取最大值时的 n为（ ）A4 B5 C6 D4 或 57.某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为 1 的等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积为（ ）A 32 B 2 C 21 D 138.如图所示，其功能是判断常数 P是
3、否为完全数的程序框图，若输出的结果是 P是完全数，则输入的 P可以是（ ）A5 B12 C16 D289.四棱锥 PCD中， A平面 D，底面 AB是边长为 2 的正方形， 5PA， E为 C的中点，则异面直线 E与 所成角的余弦值为（ ）A 130 B 15 C 139 D 13910.已知函数 322()fxmxn在 x时有极值 0，则椭圆2xymn的离心率为（ ）A 23 B 79 C 23或 79 D 911.在 BC中，若 23()|AAB，则 1tantB的最小值为（ ）A 5 B 25 C 6 D 6212.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位
4、或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过 5 次飞行后，停在数轴上实数 3 位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ）A5 B25 C55 D75二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.甲同学在“附中好声音”歌唱选拔赛中，5 位评委评分情况分别为 76，77，88，90，94，则甲同学得分的方差为 14.函数 2()cos3in2fxx0,的最大值是 15.数列 na的通项公式 sicos3nna，其前 项和为 nS，则 2018 16.已知 F是抛物线 C： 28yx的焦点，点 A的坐标为 (2,6)，点 P是 C上的任意一点，当 P在
5、点 1时，PA取得最大值，当 P在点 2时， FP取得最小值，则 1， 2两点间的距离为 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数 3()sincos2fxxx2sin(3)x.（）求函数 f的最小正周期及对称中心；（）设 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 3， ()2fC，且 sin2iBA，求 a， b的值.18.某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取 100 名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.分组 频数 频率 分组 频数 频率135,08 0.08 135,04 0.042)17 0.17 2
6、)18 0.18,40 0.4 ,37 0.379015)21 0.21 9015)31 0.317,12 0.12 7,7 0.076)2 0.02 6)3 0.03总计 100 1 总计 100 1理科 文科（）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；（）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关：数学成绩 120分 数学成绩 120分 合计理科文科合计 200（）设文理科数学成绩相互独立，记 A表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于 120 分” ，估计 A的概率.附：22()(nadbcK20(Pk0.100 0.050 0.02
7、5 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.82819.如图，已知四棱锥 PABCD的底面为菱形，且 60ABC， E是 DP中点.（）证明： /PB平面 ACE；（）若 ， 2PB，求平面 EAC与平面 PB所成二面角的正弦值.20.已知平面内动点 M到两定点 1(,0)F和 2(,)的距离之和为 4.（）求动点 的轨迹 E的方程；（）已知直线 1l和 2的倾斜角均为 ，直线 1l过坐标原点 (0,)O且与曲线 E相交于 A， B两点，直线2l过点 (,0)F且与曲线 是交于 C， D两点，对任意 ,， 2FCD是否为定值？若为定值，证明并求出该定值；若不
8、是定值，请说明理由.21.已知函数 21()lnfxx.（）试讨论函数 的单调性；（）设实数 k使得122()xe(ln2)xkx对 (0,)恒成立，求实数 k的最大值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 21xty（ 为参数） ，在以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 2sinco.（）求曲线 C的直
9、角坐标方程和直线 l的普通方程；（）若直线 l与曲线 相交于 A， B两点，求 AO的面积.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()12fxxa.（）当 a时，求 ()f的解集；（）当 ,x时， x恒成立，求实数 a的取值范围.保山市 2018 届普通高中毕业生第二次市级统测理科数学参考答案一、选择题1-5: ABCDB 6-10: BBDCB 11、12：BD二、填空题13. 52 14. 14 15. 201593 16. 5172三、解答题17解：（）2 23()sincossin(3)sincosi2fxxxx311sin2cosi6，所以最小正周期 T；由2xkZ，得对称轴中心为
10、1.k， ，（）由3()2fC得3sinsin21626C， ，106 3 ， ， ， ，siniBA，由正弦定理得 2ba，由余弦定理22 2cos3coscaCba， ，由解得 1.b，18.解：（）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于 105 分的频率为 0.350.5，故理科数学成绩的中位数的估计值为15(0.3)10.6254分 （）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：数学成绩 120 分 数学成绩 分 合计理科 25 75 100文科 22 78 100合计 47 153 200220(578)0.5.761413K，故没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关 （）记 B 表示
11、“ 文科数学成绩大于等于 120 分”，C 表示“理科数学成绩大于等于 120 分”，由于文理科数学成绩相互独立，所以 A 的概率 ()()0.25.0PCPBA 19 （）证明：如图 3，连接 D， CF，连接 E，四棱锥 B的底面为菱形， F为 D中点，又 E是 P中点，在 P 中， F是中位线， /FB ，又 E平面 AC，而 平面 ACE， /P 平面 ACE （）解：如图，取 AB的中点 Q，连接 P， C， ABCD为菱形，且 60C， AB 为正三角形， QAB 设 2P， 2P ， 3 ，且 为等腰直角三角形，即 90APB，Q，AB平面 C，且 1Q，22P， P ，如图，建
12、立空间直角坐标系，以 为原点， BA所在的直线为 x轴， QC所在的直线为 y轴， QP所在的直线为 z轴，则 (0)Q， ， ， (10)A， ， ， (30)C， ， ， (1)P， ， ， (0)B， ， ， (230)D， ， ，312E， ， 32AE， ， ()， ， ()， ， (1)PC， ，设 11()nxyz， ， 为平面 AEC的一个法向量，则10nAEC，即1302yzx，可取 1(3)， ，设 22nxyz， ， 为平面 PBC的一个法向量，则 20PCBA，即230yzx，可取 2(1)n， ，于是1212|5|cos7nA， 所以平面 EC与平面 PB所成二面角的
13、正弦值为267 20 （）解： 12|4MF由 题 设 知 ： ， 则根据椭圆的定义得：动点 M的轨迹 E是以定点1(0)F，和 2(1)， 为焦点的椭圆，且 1ac， ，3abc ，可得动点 M的轨迹 E的方程为2143xy （）证明：由题设可设直线 12l和 的参数方程分别为1cosinxtlty，： （ 为 参 数 ） ，；2cosinxtlty，： （ 为 参 数 ） ，.将直线 12l和 的参数方程分别和椭圆2143联立后整理得：2(3cos4in)1t；22(3cosin)(6cos)90tt.则由参数 t的几何意义、根与系数的关系及椭圆的对称性有： 20 022|3cos4inO
14、ABt tA（ 其 中 为 点 对 应 参 数 )；212 129|iFCDt tCD（ 其 中 ， 分 别 为 点 ， 对 应 参 数 )，故222| 43cosin=93AB 21解：（）函数 ()fx的定义域为 (0)()， ， ， 又221(1)() 0xfx， 在 0)， ， ， 上为单调减函数， （）12(eln1xxk对 (0)x， 恒成立 令 )lngx，得()gx，当 (01， 时， 0x， 在 (01)， 上为单调减函数， 当 )x， 时， ()g， x在 ， 上为单调增函数， (g在 1时取得最小值 min()(1)l2g， 0x时，1()lnelxxf， 由（）有 ()
15、f在 0)， 上为单调减函数， 1x时， ()0f，当 1x， 或 x， 时，均有2()exx， 而 时，12()e)0x，即 1时，12(e)xx的最小值为 0， 故实数 k的最大值为 ln 22 【选修 44：坐标系与参数方程】解：（）由曲线 C的极坐标方程为 2sinco，得2cosin，所以曲线 的直角坐标方程是2xy由直线 l的参数方程为 1ty， ，（t 为参数） ，得直线 l的普通方程 10xy （）由直线 l的参数方程为21xty， ，（t 为参数） ，得21ty， ，（t 为参数） ，代入2xy，得 260tt，设 AB， 两点对应的参数分别为 12t， ，则 12126ttA， ，所以221|()4(6)416ttt，因为原点到直线 10xy的距离|12d，所以|2632AOBSdA 23 【选修 45：不等式选讲】解：（）当 1a时，由 ()1fx ，可得 |1|2|1x ，23x， 或2x ，或 3x， ，解求得1，解求得 1，解求得 1，综上可得不等式的解集为)3， ， （）当 1x， 时， ()1fx 恒成立，即 |2|1|xax ，当 0)， 时， aR；当 1x， 时，则 2 或 2x ， ax 或 3 恒成立， 0a 或 3 ，综上， (03)a， ，
