1、2018 届云南省保山市普通高中毕业生市级统测试卷-理科数学（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，集合 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于集合 B， ，故 ，所以 .2. 若复数满足 ，则复数的虚部为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意 ，故虚部为 .3. 若 的展开式中各项系数的和为 32，则该展开式的常数项为( )A. 10 B. 6 C. 5 D. 4【答案】A【解析】令 ，得 ，故常数项为 .4. 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，有
2、命题 ， ， ，则 ；命题 ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等，给出下列结论：命题“ ”是真命题；命题“ ”是假命题命题“ ”是真命题；命题“ ”是假命题其中正确的结论是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如下图可知，命题 为假命题；根据线面角的定义和公里四平行公理可知，命题 为真命题.故为假命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题.5. 已知平面向量 ， ，向量 与 垂直，则向量 的模长为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意 ，解得 ，故模 .6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 的值为( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】
3、D【解析】 ，判断是， ，判断是， ，判断是， ，判断否，输出 .7. 正项等比数列 满足 ， ，则 ( )A. 26 B. 52 C. 78 D. 104【答案】C【解析】依题意有 ，解得 .故 .8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“一楔体，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？” “术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”(译文：算法：下底长乘以 2，再加上上棱长，它们之和用下底宽乘，再乘以高，除以 6).现有一楔体，其三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该楔体的体积为( )A. 5 B. 10 C. D. 【答案】B
4、【解析】根据译文算法，体积为 .9. 已知函数 的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A. 函数 的最小正周期为B. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到C. 函数 的图象关于直线 对称D. 函数 在区间 上单调递增【答案】C【解析】根据题目所给图像上两个零点的坐标，补全函数图像如下图所示，由图像显然可知 是函数的零点，不是对称轴，故 选项错误.10. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 为( )A. 50 B. 55 C. 100 D. 110【答案】D【解析】依题意 ，化简得 ，故.A. B. C. D.11. 双曲线 ，过虚轴端点且平行 轴的直线交 于 两点， 为双曲线的
5、一个焦点，且有 ，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 代入双曲线方程，解得 ，不妨设 ，依题意有 ，即 ，化简得 .【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查垂直关系的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法.题目中首先叙述了一条直线和双曲线相交与两点，所以我们根据题意，先求出这两个点的坐标，然后利用两个向量垂直，数量积为零建立方程，将方程化为离心率的形式即可求得离心率.12. 若实数满足方程 ，实数 满足方程 ，则函数 的极值之和为( )A. B. C. D. 4【答案】D【解析】依题意，是 交点的横坐标， 是 交点的横坐标， 互为反函数，图像关于 对
6、称，由 解得 ，故 .由于 为奇函数，极值点关于原点对称.当 时， ，令 ，解得 ，极值为 ，当 时，同理求得极值为 ，故两个极值之和为 .【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数互为反函数，考查函数导数与极值问题呢，考查数形结合的思想方法，考查函数零点问题的处理方法.首先是 两个数是两个方程的根，先转化为一条直线 与两个函数的交点，根据反函数图像的对称性，可求得对称中心为 ，由此求得 的值.再利用导数的知识求得两个极值并相加.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 满足 的整数点 的个数为_.【答案】4【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，整数点有 共 个.14
7、. 已知圆 与直线 有公共点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】依题意知圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离 ，解得 .15. 记曲线 与直线 ， 和 轴围成的区别为 ，现向平面区域内随机投一点，则该点落在 内的概率为_.【答案】【解析】 ， ，故概率为 .【点睛】本题主要考点有两个，一个是定积分的计算，另一个是几何概型的计算.在利用定积分计算面积的过程中，首先要画出函数的图像，求出交点的坐标，确定好被积分的区间，要注意是上面函数减去下面函数.求出面积后利用几何概型求出面积比即可求得概率的值.16. 已知函数 ，函数 在区间 上零点的个数是_.【答案】3【解析】依题意令 ， ，即 与 在
8、 上交点个数问题.由于 在定义域的每个区间 上为增函数，而对 ，其导函数也为增函数，画出它们的图像如下图所示，由图可知，交点有三个，故填 .【点睛】本题主要考查函数的图像与零点问题.首先求解出 的表达式，并令其等于零，然后进一步变成两个函数的交点问题来研究.本题比较复杂在 的图像与性质 .先考虑其定义域为 ，在其定义域的每个区间上，根据复合函数的单调性可知函数是单调递增的，而另一部分 ，利用导数可判断出也是递增函数，画出两个函数的草图，即可知图像交点有 个.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，有 .(1)求角 的值；(2)
9、若 ， 的面积为 ，求边长 .【答案】(1) (2) ，【解析】 【试题分析】 （1）根据三角形内角和定理和二倍角公式，将题目所给等式化为，求出 的值，进而求得角 的值 .（2）先由 求出 的值，利用三角形的面积公式求得 ，再由正弦定理建立另一个方程，联立方程组求得 的值.【试题解析】(1) ， ， ， (舍)， .又 ， .(2)由于 ， ， ， ，由正弦定理，得 ， ， ，由得 ， .18. 为弘扬“中华优秀传统文化” ，某中学在校内对全体学生进行了一次相关测试，规定分数大于等于 80分为优秀，为了解学生的测试情况，现从近 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行分析，按成绩分组，得
10、到如下的频率分布表：分数频数 5 35 30 20 10（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这次测试的平均分；（3）将频率视为概率，从该中学中任意选取 3 名学生， 表示这 3 名学生成绩优秀的人数，求 的分布列和数学期望.【答案】(1)见解析(2)74.5(3) 【解析】 【试题分析】 （1）先计算出每组的频率，计算出频率/组距，由此可画出频率分布直方图.（2）用每组的中点作为代表，用中点值成立频率然后相加，可估计平均数.（3）相当于 次独立重复实验，利用二项分布的知识可求得分布列与数学期望.【试题解析】(1)由题意可知分布在 ， ， ， ， 内的频率为 ， ， ， ， ，作
11、频率分布直方图如图所示.(2) .(3)记事件“随机选取一名学生的成绩为优秀”为事件 ，则 ，易知 ，则 ， ， ，的分布列为0 1 2 3.19. 如图，在四棱椎 中，底面 为菱形， 为 的中点.(1)求证： 平面 ；(2)若 底面 ， ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的正弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【试题分析】 （1）连接 交 于点 ，连接 ，根据三角形的中位线和线面平行的判定定理可证得 平面 .（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，并利用向量夹角公式，计算得二面角的余弦值，然后进一步求得其正弦值.【试题解析】(1)证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，由底面 为菱形，可知点 为 的中点，
