1、二次函数复习,二次函数知识点:,1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a,b,c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的应用题 8、二次函数的综合运用,1、二次函数的定义,定义: y=ax bx c ( a 、 b 、 c 是常数, a 0 ) 定义要点:a 0 最高次数为2 代数式一定是整式 练习:1、y=-x,y=2x-2/x,y=100-5 x, y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数?,3若 是关于x的二次函数,则a= _.,2,2,-2,2
2、、二次函数的图像及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,知识要点分块 (一) 谁是控制图像的“幕后高手”,1. a决定开口方向: a0开口_;(如图1) a0开口_;(如图2)相同,抛物线的形状_;越大,开口越_。,(图1),(图2),向上,向下,相同,小,2. a、b决
3、定对称轴的位置: b=0对称轴是_;(如图1) a、b同号对称轴在y轴的_侧;(如图2) a、b异号对称轴在y轴的_侧。(如图3),y轴,左,右,即:左同右异,3. c决定抛物线与y轴的交点: c=0抛物线过_;(如图1) c0抛物线交于y轴的_;(如图2) c0抛物线交于y轴的_。(如图3),原点,正半轴,负半轴,4. 与x轴的交点个数:=0抛物线与x轴只有_个交点 ;(如图1)0抛物线与x轴有_个交点;(如图2)0抛物线与x轴有_个交点。(如图3),一,两,0,(即没有交点),2,顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式为_ 求出表达式后化为一般形式.,3,交点式:已知抛
4、物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_ 求出表达式后化为一般形式.,1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),3、求抛物线解析式的三种方法,练习:根据下列条件,求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;,(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;,(四)一些常见二次函数图像的解析式 1. 如图1:若抛物线的顶点是原点,设 2. 如图2:若抛物线过原点,设 3.如图3:若抛物线的顶点在y轴上,设,4
5、.如图4:若抛物线经过y轴上一点,设 5.如图5:若抛物线知道顶点坐标(h,k),设,例2:某工厂大门是一抛物线水泥建筑物,如图所示,大门底部宽AB=4m,顶点C离地面高度为4.4m,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4米,请判断这辆车能够顺利通过大门?,4、a,b,c符号的确定,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:,(1)a的符号:,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a0,开口向下,a0,(2)C的符号:,由抛物线与y轴的交点位置确定.,交点在x轴上方,c0,交点在x轴下方,c0,经过坐标原点,c=0,(3)b的符号:,由对称轴的位置确定,对称轴在y轴
6、左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,(4)b2-4ac的符号:,由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,(5)a+b+c的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定。 当x=1时,y0,则a+b+c0 当x=1时,y0,则a-b+c0 当x=-1,y0,则a-b+c0 当x=-1,y=0,则a-b+c=0,、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则a、b、c的符号为( )A、a0,c0 B、a0,c0 D、a0,b0,
7、c0,2、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则a、b、c的符号为( )A、a0,b0,c=0 B、a0,c=0C、a0,b0,c=0,3、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则a、b、c 、 的符号为( )A、a0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0,B,A,C,o,o,o,练习:,熟练掌握a,b, c,与抛物线图象的关系,(上正、下负),(左同、右异),c,4.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点和二、三、四象限,判断a、b、c的符号情况:a 0,b 0,c 0.,=,5.抛物线y=ax2+bx+c(a0)
8、的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足的条件是:a 0,b 0,c 0.,=,6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a0,b0,c0,那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限,先根据题目的要求画出函数的草图,再根据 图象以及性质确定结果(数形结合的思想),四,7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论: a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,要点:寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想。,5、抛物
9、线的平移,左加右减,上加下减,练习 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象; 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,练习:(3)由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.,y=x2-5x+6,6二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,二次函数y=axbxc的图象和x轴交点的横坐标
10、,便是对应的一元二次方程axbxc=0的解。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,二次函数与一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,与x轴有两个不 同的交点 (x1,0) (x2,0),有两个不同的解x=x1,x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,
11、此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.,(2)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,(-2、0)(5/3、0),1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或
12、(1,-5)所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.,7二次函数的综合运用,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,例2、如图,隧道的截面由抛物线ADE和矩形ABCD构成,矩形长BC为8米,宽AB为2米。以BC所在的
13、直线为X轴,线段BC的中垂线为Y轴,建立平面直角坐标系,Y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点的O的距离为6米 。 (1)求抛物线解析式。 (2)一辆货运卡车高4.5米,宽2.4米,它能通过该隧道吗? (3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4米的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗?,建立合适的平面直角坐标系,简化函数解析式,是解题的关键。,练习:如图所示是抛物线形状的拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽 米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽 米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米的速度上升,求过警戒线后几小时淹到拱桥顶?,例三、如图有一个边长为5cm的正方形ABCD,和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线上,当C、Q两点重合时,PQR以1cm秒的速度向左开始匀速运动,设与正方形重合部分面积为Scm2。当时,求S与t的函数关系,并求出何时S最大?_,3. 二次函数图像如图所示:,思维拓展,(2)根据图像说明,x为何值时,y=0?,(3)根据图像说明,x为何值时,y0?,(1)求它的解析式,(2)x=0或x=-4,(3)-4x0,求k的值,所示的直角坐标系中,铅球的运行路线近似为抛物,线,求铅球的落点与丁丁的距离,一个1.5m的小朋友跑到 离原点6米的地方(如图), 他会受到伤害吗?,学以致用,