1、第六章 线性空间自测题一、选择题1 设 M 是 R 上全体 n 阶矩阵的集合，定义 (A)=|A|,AM，则 是 M 到 R 的一个（ ）.A单射 B满射 C双射 D既非单射也非满射2把复数域 C 看成 R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.A一维 B二维 C 三维 D无限维3R 是复数域，P 是任一数域，则集合 RP 对于通常的数的加法与乘法是（ ）.AC 上的线性空间 BR 上的线性空间 CQ 上的线性空间 D不构成线性空间4已知 P2 的两组基： 与 ，12(,)a12,b12,c12,d则由基 、 、 的过渡矩阵为（ ）.12到 基A B 212dcba 21121badcC D2
2、121 21215全体正实数集集合 R+中，加法与数乘定义为：ab=ab, k 。 a=ak，其中 a、 b R +，kR ， 则 R+构成 R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）.A维数=0，没有基 B维数=1，1 是基 C维数=1，2 是基 D维数=2，3、5 是基6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成 P 上线性空间的是（ ）.A B 1nWPA2nWA为 上 三 角 形 矩 阵C D3047. 数域 P 上线性空间 的维数为 ，且 中任意向量可由V12,nrV，线性表出，则下列结论成立的是（ ）.12,nA B C Drrrr8. 设 ，则 （ ）.1324,Wx)dim(2
3、1WA2 B3 C4 D59. 已知 在 R 上构成线性空间，则 的基为（ ）.a),(A B C D),1,)3,2(a)3,0(,2),01(10. 若 均为线性空间 的子空间，则下列等式成立的是（ ）.2WVA B 2121)( 2121)(WWC D121)(W21)(W11已知 ，下列集合中是 的子空间的为（ ）. 3,x3RA B C D01230x31x1231x12下列集合有（ ）个是 的子空间.nR；1212(,)|,0ni nwxxx ；2|i ；3(,)|,ababR；412|niwxx 为 整 数A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个13. 设 都是三维向量空间 的基
4、，且312,与 V，则矩阵 是由基12123123,10P到（ ）的过渡矩阵.123,A B C D,12,3231,321,二、判断题1设 V 是 n 维线性空间， ，且 V 中的每一个向量均可由它们线性表12n， ， ，示，则 . （ ）12n， ， ， V是 的 一 组 基2 （1，1，1） ， =（1，-1，1） ， =（-1 ，1，1）是三维空间 R3 的一组基.（ 23 ）3若 V1,V2 为有限维线性空间 V 的子空间，则 V1 V2 也是 V 的子空间. （ ）4设 是线性空间 V 的一组线性无关向量，则1234， ， ，L（ ）=L （ ， ） L（ ， ） . （ ）， ，
5、 ， 12345设 V1、V 2、V 3 是线性空间 V 的三个子空间，且 V1V 2= ，V 2V 3= ，V 1V 3=00，则和 V1+V2+V3 是直和. （ ）06. 中的子集 为子空间. （ ）nR, 1,(0.)naaR，7. 中的子集 为子空间. （ ）n1,21.nii，8. 中的子集 为子空间. （ ）nR1,21(.)0niaa9. 的向量 线性相关. （ ）31233,4(,5)(4,7)10. 的向量 线性相关. （ ）(,),01,911. 的向量 的线性相关. （ ）3R1230(1)()12. 设 是线性空间 的两个子空间，那么它们的和 也是 的一个子空间.2,
6、WV12+WV（ ）13. 设 是线性空间 的两个子空间，那么它们的交 也是 的一个子空间.12, 12（）14. 设 都是数域 上的线性空间 的有限维子空间，那么 也是有限维的，12,WPV12W并且 . （ ）1212dim()di()im()di()W三、填空题 1设 -1= .则是 一 双 射 ,:M2设 V 是三维线性空间，则 V 的二维子空间有 无数 个.3设有 P2 的一组基 ，则向量 =（a，b）在这组基下的坐标为 .12,0,14. （1，2，3） ， =（3，-1 ，2） ， =（2，3，x）, 则 x= 5 时， 、 、2 12线性相关.5向量组 （1，0，0） ， =（
7、0，1，0） ， =（3， -1，0）的极大无关组是 .26. 向量空间 V 的基 到基 的过渡矩阵为 .,n， ， 1,n7. 复数域 作为实数域 上的向量空间，则 ,它的一个基为 .CRdimC复数域 作为复数域 上的向量空间，则 ,它的一个基为 .8. 设 是向量空间 的一个基，由该基到 的过渡矩阵为12,n V21,n.9. 设 与 都是 上的两个有限维线性空间，则 .VWPWV10. 数域 上任一 维向量空间都与 .（不同构，同构）nP11. 任一有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 .12. 令 是数域 上一切满足条件 的 阶矩阵 所成的线性空间，则 = .SAAS
8、dim13. 令 是数域 上一切满足条件 的 阶矩阵 所成的线性空间，则 = .14. 令 是数域 上一切 阶上三角形矩阵所成的线性空间，则 = .ni四、简答题1证明：x 2+x，x 2-x，x+1 是线性空间 Rx3 的一组基，并求 2x 2+7 x +3 在这组基下的坐标.2. 证明： 是 的一个基，并求多项式 与 在该,13C112基下的坐标.3. 已知 , ，求 在基 下的坐标.123(,)(,)(2)(6,914)123,4. 已知 是线性空间 的一组基，143P求向量 在基 下的坐标.,23,5设有 P4 的两个子空间， ，02,2, 31141 xxxW，求 的基与维数. 0,
9、32143212 xxWW与6设 ，(,0),(,),1(,)2(1,7)，求 及 .1212(,)(,)L)dim(21)di(217设 0A(1) 证明： 中与可以交换的矩阵集合 W 是 的子空间；2P 2P(2) 求 W 的基和维数；(3) 写出 W 中矩阵的一般形式.8设 nA(1)证明：全体与 A 可交换的矩阵组成 的一子空间，记作 ;n()CA(2)当 A=E 时，求 ;()C(3)当 时，求 的维数与一组基 .1002An ()CA9设 U 与 W 分别 n 阶对称集合与 n 阶反对称集合构成的 的子空间，nP证明： =UW.P10已知 的两个子空间 ， ，n1VAP2VA证明：
10、 1211在线性空间 中，求由线性方程组： 所确定的 的子4P01354421xx4P空间 的一组基和维数.W12. 求齐次线性方程组 解空间的一组基与维数.03241xx13. 求齐次线性方程组 解空间的一组基与维数.23214xx14. 求齐次线性方程组 解空间的一组基与维数. 07938543214xx15设在线性空间 中，有向量组 ， ， , 4R1(,2)2(,)3(0,2)，求 的一组基与维数.4(,20)1234(,)L16. 已知向量组 =(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)， =(1,2,1,1)， =(2,4,2,2)，试求134它们的生成子空间 ( , , , )
11、的维数和一组基.123417. 考虑 中以下两组向量3R；123(,)(,)(,1)123(,)(1,)(2,01)，（1）证明 和 都是 的基；123,123,3R（2）并求出由基 到 的过渡矩阵.,18. 已知 中的两向量组 ， 3R123(,0),123(0,),（1）证明它们都是 的基；（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵；3（3）如果 在基 下的坐标为（3，1，2） ，求 在基 下的坐标.1,123,19设 中的两组基分别为 , ， ,3R02,103.（1）求由基 的过渡矩阵；123,0,2123,到 基（2）已知向量 在基 下的坐标为 ，求 在基 下的坐标.123,30123,
