1、第三章习题解答习题 3.11、试说明行列式与矩阵是两个完全不同的概念解：虽然在形式上矩阵与行列式相近，但行列式经过计算最后得到一个数，而矩阵不论经过什么变换或运算，其结果都仍然还是矩阵。2、举例说明矩阵的相等与行列式的相等有哪些不同？解：两个矩阵相等当且仅当它们的结构相同，并且所含的对应元素也全部相同；而行列式只要计算结果相同，就认为这两个行列式相等。例如：与 的计算结果都是 5，所以这两个行列式相等，而作为矩阵10232与 是两个不同的矩阵1012033、试问如下的两个矩阵是否相等，为什么？（1） 与 ；（2） 与101解（1）这两个矩阵不相等，因为它们的结构不同，一个是 22 矩阵，另一个
2、是 23矩阵。（2）这两个矩阵也不相等，虽然它们的结构相同，但对应元素不完全相同。4、设 ， ，问 a， b， c， d 为何实数时有 A = B2abcdA3514B解：欲使 A = B，必须有 a+b =3，2c+d =5，ab = 1，cd = 4，解之得：a=2， b=1，c=3 ，d=15、计算（1） ；（2）12(,) nab12(,)nnab（3） ；（4）51401620237721233212133（5） ；12131232(,)axx（6）45111320327解：（1）原式 12 nabab（2）原式132123ab（3）原式04678307515914512362（4）
3、原式 0（5）原式 2 2 21121313323()()()axaxaxaxa（6）原式64519787246、计算（1） ；（2） ；（3） （n 是正整数）02110（4） （n 是正整数） ；cosiin（5）10解（1）原式 100（2）原式 102（3）原式231110000nnn （4）原式2cosincosincosiniii22sicosicos33ininiicosi （5）原式21010n222001n322 000n33231n4323001n443246100n41210 nnC7、设 ， ，求3521476A2014538B3AB解： ，那么5285373194B6
4、7155392848、证明：若 都与 A 可交换，则 与 A 都可交换12, 121,B证明： 12 2() ()B12112112()() ()B9、若 ，证明AE2AE证明： 22 2111142()()()()()BBBE2 2EE，由于()A所以 22 24()BA10、设 A 是一实对称矩阵，证明：如果 ，则20证明：由于 A 是实对称矩阵，所以由 得 ，设 ，A()ijna()ijc那么 ，但120rkkrkrnkcaaijji所以 ，22101, kkkcaan但诸 都是实数，所以必有 ij 212012, kn进一步有 ，从而有1220, kk A11、证明：若 A 为 n 阶
5、方阵，则 都是对称矩阵， 是反对称A矩阵。证明： ()()()()AA()A12、如果 A 与所有的 n 阶方阵都可交换，则 A 一定是数量矩阵证明：记 表示第 i 行第 j 列交叉处的元素为 1，其它元素都是零的 n 阶矩阵，并记ijE，那么()ija111 111 000000 jn jiiji ijijnnjn nja aAEaaa 1111 110100 00 jniijijjijnij nnjnaaaEAa 由于 ，所以当 时有 ，即 A 是对角矩阵ijijji0ij记2 3 10100001 100000, , nFFF那么 1 12 232 10000 na aAFa 1 221
6、321000 0 naFAa 由于 ，所以 ，212a同理由 得 ，由 得 ，从而得3AF31nAF1,nna，所以 A 是数量矩阵。12 na13、对矩阵进行分块，然后计算 AB：（1）101033224,B（2）0101301010,AB解：（1）记 12 303 21,AOA12 30014,BB则 11123232323AOBABO而 ，10430104562132110200AB所以 04156（2）记 123223300010021,AOA123104,B于是 1321122AOBA1 204011031B所以 4210A14、设 A、B 分别是 mk 和 kn 矩阵，将 A 按行
7、分块为 ，B 按列分块为12nA，则1(,) n112122212 12(,) nnnnABABAB证明：显然 AB 的结果是 mn 矩阵，于是等式中的每一项的计算结果都具有这个结构。其次，由于 AB 的第一列是 A 的第一行乘 B 的第一列为第一元素、A 的第二行乘 B 的第一列为第二元素、A 的第 n 行乘 B 的第一列为第 n 元素；这个结果相当于 ；同理1AAB 的第二列是 ，AB 的第 n 列是 ，即按列分块，AB 等于2B；12(,) n同理：AB 的第一行是 A 的第一行乘 B 的第一列为第一元素、A 的第一行乘 B 的第二列为第二元素、A 的第一行乘 B 的第 n 列为第 n
8、元素；这个结果相当于 ；进而1A有 AB 的第二行是 ， ，AB 的第 n 行是 ，即按行分块， AB 等于2 12nAB而 正是按乘法规则计算的结果，所以1212212 nnABA成立。112122212 12(,) nnnnBABAB习题 3.21、数量矩阵 kE 何时可逆？何时不可逆？当 kE 可逆时，求它的逆矩阵。解：当 kE 可逆时，设 kE 的逆矩阵为 A，则 ，所以 A 也是数()kEkE量矩阵，并且 ，这说明 k 不等于零。所以 kE 可逆的条件是 k 不为零，当 k 为零1AkE时，kE 不可逆，当 kE 可逆时，其逆矩阵为 。12、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵（
9、1） ；（2） ；（3） ；（4）01cosini102解：（1） （2）两个矩阵的行列式都等于零，所以这两个矩阵都不可逆；（3）的矩阵行列式的值为 1， （4）的矩阵行列式的值等于 8，所以这两个矩阵都可逆。2001cosincoscosini ini 210sicosisi230cininis 2101osscsii2nosii 210cosinsis 10cin所以1oscosinici1010021210213336460061021所以2402613、设 ，当 a、b、c、d 适合什么条件时 A 可逆？当 A 可逆时，求 。Ac 1解：因为 A 可逆的充分必要条件是 A 的行列式不等
10、于零，即 ，所以当0adbc时，A 可逆，此时0adbc112212,cbAa于是 121| dcdba 4、试证明若矩阵 A 可逆，则 也可逆，并求 的逆矩阵。证明：由推论 3.2.7 知 ，当 A 可逆时，所以 的行列式都不为零，|E,A所以 也可逆，并且， ，所以11()(|)|1()|1()|5、试证明：如果 ，则 可逆，并且30AE12()EA证明：事实上 2223() E所以 2100| |,|E6、若 n 阶矩阵 A、B 都可逆，那么 AB 也可逆吗？解：AB 未必可逆，例如，则 A，B 都可逆，但 却不可逆。1010, 1B7、证明（1）如果 A 是可逆对称（反对称）矩阵，那么
11、 也是对称（反对称）矩阵；A（2）不存在奇数阶可逆反对称矩阵证明：（1）如果 A 是对称矩阵，即 ，于是 ；11()如果 A 是反对称矩阵，即 ，于是1 1所以 也是对称（反对称）矩阵；1（2）如果 A 是奇数阶反对称矩阵， ，那么A|()|n于是 ，所以 A 不可逆。0|8、证明： ，其中 A 是 n 阶方阵12|,()n证明：由推论 3.2.7 知 ，并且由 ，那么|E|nk，即|(|)|nnAEA|所以 。1|9、设 A 是 n 阶实方阵，如果 ，则称 A 是正交矩阵，证明如果 A 是正交矩阵，1则 或 。1|证明：由于 ，所以 ，于是11E 21|E所以 或 。|习题 3.31、求下列
12、矩阵的逆矩阵（1） ；（2） ；（3） （4）341021120357186解：（1） 230123101231044 41 3920101061016453553 26401所以 1321264453（2） 10301101030382717821031029087290732931340108所以 1034392078291（3）11100021 1110020021 1120020021 12 00200211 所以 11201（4）2101521023 73835780456161 1360131601071804242582552 136013160100424187235858 1
13、36013102094213734241 1375102000357324241 406018241 所以 42043065718812、解矩阵方程 12310543x解：012011642530 7140707521756266 71407703425215166所以系数矩阵的逆矩阵为 ，于是34215176123 152275x3、利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵（1） ；（2） （3）04312051210000 nnaaa这里 都不为零12, na解：（1） ，由例 5 得：12003434 0AB11 12012034343 但 ，12424213463031 461292520 所以
14、140 20334 313022 （2） 11 112210250005313ACACBB 其中 ；1122A11253521 37120195CB 所以 127129505033（3）这个矩阵不能用分块形式求逆，事实上，如果可以分块，则只能分成下面形式：，其中 ， 12 1100000 nnnaAaa 121nnaa这样与单位矩阵比较时就带来困难，因为单位阵按这种方式分块，其中的 n1阶子块就不是单位阵，两边比较就相当困难，还不如直接用初等变换。 12 11 10 0001 00 01 nnn naa a 1 12 11 20 010 000 nn nna aa a 所以1 11 12 11 20000 nnnna aaaa a 4、设 A、B 分别是 r、s 阶可逆矩阵，令 ，证明 P 是可逆矩阵，并求0APCB1P证明：由于 ，所以 P 可逆，并设00|C，那么则12X121121 2 00 rsEAXAPCBXCB 所以有 11211120,r sXE由于 A、B 可逆，所以 ，进而 ， ，所2,12BCA以 1110APBC
